考研數(shù)學(xué)(數(shù)學(xué)三)模擬試卷408(題后含答案及解析)

考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)三）模擬試卷408(題后含答案及解析)題型有：1.選擇題2.填空題3.解答題選擇題下列每題給出的四個選項中，只有一個選項符合題目要求。1．設(shè)A．沒有不可導(dǎo)的點．B．只有1個不可導(dǎo)的點．C．共有2個不可導(dǎo)的點．D．共有3個不可導(dǎo)的點．f（x）=min{sinx，cosgf}，則f（x）在區(qū)間[0，2π]內(nèi)正確答案：C解析：在[0，2π]上，畫出y=sinx與y=cosx的圖形，立即可得y=f(x)的圖形．由圖形直接看出，兩個交點為y=f(x)圖形的尖點，因而是不可導(dǎo)點，其他均為可導(dǎo)點．應(yīng)選(C)．2．設(shè)y=y（x）是由方程y2+xy+x2+x=0所確定的滿足y（一1）=1的隱函數(shù)，則A．1．B．2．C．一2．D．一1．正確答案：D解析：由y(x)所滿足的隱函數(shù)方程知函數(shù)y=y(x)在x=一1的鄰域內(nèi)任意次可導(dǎo)，將隱函數(shù)方程求導(dǎo)一次與兩次可得y(x)的一、二階導(dǎo)函數(shù)y’(x)與y”(x)分別滿足2yy’+xy’+y+2x+1=0，2yy”+xy”+2(y’)z+2y’+2=0，在以上二式中分別令x=一1并利用y(一1)=1可知y’(一1)=0，y”(一1)=一2．再利用洛必達法則即可得到故應(yīng)選(D)．3．設(shè)δ＞0，f（x）在（一δ，δ）有連續(xù)的三階導(dǎo)數(shù)，f’（0）=f”（0）=0且則下列結(jié)論正確的是A．f(0)是f(x)的極大值．B．f(0)是f(x)的極小值．C．(0，f(0))是y=f(x)的拐點．D．x=0不是f(x)的極值點，(0，f(0))也不是y=f(x)的點拐．正確答案：C解析：當(dāng)0＜|x|＜δ0時，即f”‘(x)＞0(0，f(0))是y=f(x)的點拐．故應(yīng)選(C)．4．級數(shù)的收斂域為A．(0，4)．

B．[0，4)．C．(0，2)．D．[0，2)．正確答案：A解析：因題設(shè)的冪級數(shù)是缺項冪級數(shù)，故可直接用比值判別法討論其收斂性．首先當(dāng)x一2=0即x=2時級數(shù)收斂．當(dāng)20＜x＜2或2＜x＜4時級數(shù)絕對收斂．又當(dāng)x=0和x=4時得正項級數(shù)是發(fā)散的．綜(0，4)，故選(A)．x≠2時，由此可知當(dāng)0＜|x一2|＜合可得級數(shù)的收斂域是5．設(shè)A，B，C都是n階矩陣，滿足ABAC=E，則下列等式中不正確的是A．ATBTATCT=E．B．BAC=CAB．C．BA2C=E．D．ACAB=CABA．正確答案：C解析：顯然A，B，C都可逆，因此B．如果A，B乘積不可交換(C)就不成立．由ABAC=E可推出CABA=E，(A)A2BTATCT=E．由ABAC=E可推出A一1=BAC和A一1=CAB，得(B)BAC=CAB．由ABAC=E可推出ACAB=E，CABA=E，得BA2C=E=ABACBA=A兩邊轉(zhuǎn)置得(D)ACAB=CABA．6．設(shè)A．如果α4不能用B．如果α1，α2，α3線性α4線性C．如果α3不能用α1能用α2，α3，α4線性D．如果r(α1，α1+α2，α2+α3)=r(α4，α1+α4，α2+α4，α3+α4)，則α4能用α1，α2，α3線性α1，α2，α3，α4都是α1，α2，α3線性α2，α3，α4線性3維非零向量，則下列α1，α2，α3線性α1，α2，命題中錯誤的是表示，則相關(guān)．相關(guān)，相關(guān)，則相關(guān)．α1，α2線性表示，α4不能用α2，α3線性表示，則表示．表示．正確答案：B解析：只要α2，α3線性α1，α2，α4線性0)，α4=(0，0，1)．說明(A)，(C)的正確都可無關(guān)，則任何3維向量都可它們線性表示。(A)是其逆2是非零向量，α3不能用α2線性表示(因為α3不能用α1，α2線性表示)，則α2，α3線性無關(guān)．而α4不能用α2，α3線性α2，α3，α4線性無關(guān).(D)：r(α2，α2，α3)=r(α1，α1+α2，α2+α3)=r(α4，α1+α4，α2+α4，α3+α4)=r(α4，α1，α2，α3)，因此α4能用α1，α2，α3線性表示。相關(guān)，就有α1，α2，α3和α2，α3,α4都線性α1=(1，0，0)，α2=α3=(0，1，3個3維向量否命題．(C)：α相關(guān)，但推不出相關(guān)．例如根據(jù)同一事實：如果線性以用表示，7．設(shè)總體X服從參數(shù)λ=2的指數(shù)分布，X1，X2，…，Xn是來自總體X

的簡單隨機樣本，和S2分別為樣本均值和樣本方差，已知E[（3一a）S2—]=A，則a的值為A．一B．1．C．1．D．2．正確答案：A解析：故選(A)．8．設(shè)X1，X2，…，X6獨立同分布．且X1～N（0，4），Y=a（X1+2X2）2+b（2X3+3X4）2+c（3X5+4X6）2～χ2（3）則a，b，c的值分別為A．B．C．D．正確答案：D解析：由于獨立正態(tài)隨機變量的和仍服從正態(tài)分布，故有根據(jù)χ2分布的典型模式所以應(yīng)有故選(D)．填空題9．設(shè)函數(shù)在x=1處連續(xù)，則A=________．正確答案：解析：利用洛必達法則求極限因為10．曲線的凸區(qū)間是________．正確答案：(一∞，一3)．解析：本題主要考查曲線凹凸性的概念以及利用二階導(dǎo)數(shù)的符號判定曲線的凹凸性．不難求得于是當(dāng)x∈(一∞，一3)時)，y”＜0，當(dāng)x∈(一3，+∞)時y”＞0．由此可見曲線的凸區(qū)間是(一∞，一3)．11．設(shè)a是一個常數(shù)，則I=∫一∞+∞正確答案：解析：12．設(shè)某產(chǎn)品的需求函數(shù)Q=q（p），它對價格的彈性為ε（0＜ε＜1）．已

知產(chǎn)品收益R對價格的邊際效應(yīng)為c（元），則產(chǎn)品的產(chǎn)量應(yīng)是________個單位．正確答案：解析：需求對價格的彈性是其中Q為需求量即產(chǎn)量，p為價格．依題意，有，即pQ’=一εQ．收益函數(shù)R=pQ，它對價格的邊際即由題意有13．已知則A一1=________．正確答案：解析：14．?dāng)S一枚不均勻的硬幣，設(shè)正面出現(xiàn)的概率為P，反面出現(xiàn)的概率為q=1一p，隨機變量X為一直擲到正面和反面都出現(xiàn)為止所需要的次數(shù)，則X的概率分布為________．正確答案：P{X=k}=pg(pk一2+qk一2)．k=2，3，…．解析：易知X的取值為2，3，…．而{X=k}表示前k一1次出現(xiàn)的是正面而第k次出現(xiàn)的是反面，或前k一1次出現(xiàn)的是反面，而第k次出現(xiàn)的是反面，于是有P{X=k}=pk一1q+qk一1p=pg(pk一2+qk一2)，k=2，3，…．解答題解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．若曲線y=cosx（0≤x≤）與x軸、y軸及直線x=所圍圖形的面積被曲線y=asinx,y=bsinx（a＞b＞0）三等分，求a與b的值．正確答案：面積圖形如右圖．先求y=asinx與y=cosx的曲線在區(qū)間的交點橫c由asinx=cosx，得c=x=而曲線y=cosx與兩圍圖形面積=1，所以=∫0c(cosx一asinx)dx=(sinx+acosx)|0c=sinc+acosc一a由利用輔助三角形可得同理，y=bsinx與y=cosx交點的橫坐標(biāo)16．設(shè)函數(shù)f（x）在x=1的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且有（Ⅰ）求f（1）及（Ⅱ）求f’（1），若又設(shè)f”（1）存在，求f”（1）．正確答案：又在x=0的某空心鄰域內(nèi)f(x+1)+3sin2x≠0，現(xiàn)利用等價無窮小因子替換：當(dāng)x→0時，17．求二元函數(shù)F（x，y）=xye一（x2）+y2在區(qū)域D={x，y）|x≥0，y≥0}上的最大值與最小值．正確答案：區(qū)域D在平面直角系0xy上的第一象限，區(qū)域D有兩條界Γ1={(x，0)|x≥0}與Γ2{(0，y)|y≥0}，它們分別是平面直角系0xy的x軸與y軸的正半軸．在這兩條邊界上F(x，y)=0．又因由于當(dāng)x2+y2→+∞時|F(x，y)|=0，于是在區(qū)域D內(nèi)，由于僅有唯一解(x，y)=這表明F(x，y)在區(qū)域D內(nèi)僅有唯一駐點在此點處注意比F(x，y)在D的兩條邊界上的函數(shù)值以及當(dāng)(x，y)在邊

區(qū)域內(nèi)趨向無限遠處函數(shù)F(x，y)的極限值都要大，可見是F(x，y)在D上的最大值．又因在D上F(x，y)非負，所以其最小值在x軸與y軸的正半軸上取到，即F(x，y)在D上的最小值為0．18．求級數(shù)的收斂域．正確答案：令問題轉(zhuǎn)化為求冪級數(shù)的收斂域．先求收斂區(qū)間，再考察收斂區(qū)間的端點．求解如下：19．設(shè)f（x）在[0，1]上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，且f（0）=0，f（1）=1，試證：對任意正數(shù)a，b，在（0，1）內(nèi)存在不同的兩點ξ，η，使正確答案：按要證的結(jié)論，我們需要找一點c∈(0，1)，分別在[0，c]與[c，1]上用拉格朗日中值定理問題轉(zhuǎn)化為如何取c，只需取c使得也即只需取c使得因為a＞0，b＞0，定有又f(x)在[0，1]上連續(xù)，f(0)=0，f(1)=1，由介值定理可知，取這樣的c，命題即得證．20．設(shè)4階矩陣A=（α1，α2，α3，α4），方程組Ax=β的通解為（1，2，2，1）T+c（1，一2，4，0）T，c任意．記β=（α3，α2，α1，β一α4）．求方程組Bx=α1一α2的通解．正確答案：首先從AX=β的通解為(1，2，2，1)T+c(1，一2，4，0)T可得到下列信息：①Ax=0的基礎(chǔ)解系包含1個解，即4一r(A)=l，得r(A)=3．即r(α1，α2，α3，α4)=3．②(1，2，2，1)T是Ax=β解，即α1+2α1+2α3+α4=β．③(1，一2，4，0)T是Ax=0解，即α1—2α2+4α3=0．α1，α2，α3線性相關(guān)，r(α1，α2，α3)=2．顯然B(0，一1，1，0)T=α1一α2，即(0，一1，l，0)T是Bx=α1一α2的一個解．由②，B=(α3，α2，α1，β一α4)=(α3，α2，α1，α1+2α2+2α3)，于是r(B)=r(α3，α2，α1，α1+2α2+2α3)=r(α1，α2，α3)=2．則Bx=0的基礎(chǔ)α2+4α3=0說明(4，一2，1，0)T是Bx=0的解；又從B=(α3，α2，α1，α1+2α2+2α3)容易得到B(一2，一2，一1，1)T=0，說明(一2，一2，一l，1)T也是Bx=0的解．于是(4，一2，1，0)T和(一2，一2，一l，1)T構(gòu)成Bx=0的解系．Bx=α1一α2的通解為：(0，一1，1，0)T+c1(4，一2，1，0)T+c2(一解系包含解的個數(shù)為4一r(B)=2個．α1一2基礎(chǔ)2，一2，一1，1)T，c1，c2任意．21．設(shè)A為n階實對稱矩陣，滿足A2=E，并且r（A+E）=k＜n．①求二次型xTAx的規(guī)范形．②證明B=E+A+A2+A3+A4是正定矩陣，并求|B|．正確答案：①由于A2=E，A的特征是A+E的特征值只能是2和0．A+E也為實對稱矩陣，它相似于Λ的秩等于r(A+E)=k．于是A+E的特征值是2(k重)和0(n一k重)，從而A的特征值是1(k重)和一l(n一k重)．A的正，負關(guān)系指數(shù)分別為k和n一k，xTAx的規(guī)范形為y12+y22+…+yk2一yk+12一…一yn2．②B是實對稱矩陣．由A2=E，有B=3E+2A，B的特征值為5(k重)和1(n一k重)都是正數(shù)．因此B是值λ應(yīng)滿足λ2=1，即只能是1和一1．于對角矩陣Λ，慣性

正定矩陣．22．設(shè)X，Y相互獨立且同服從[0，θ]（θ＞0）上的均勻分布，求E[min（x，Y）]，E[max（X，Y）]．正確答案：由于X，Y相互獨立，且都服從[0，θ]上的均勻分布，故可得(X，Y)的聯(lián)合密度23．設(shè)隨