材料力學(xué)-第五版-第六章

第六章彎曲變形1第六章彎曲變形§6-1

工程中彎曲變形問(wèn)題§6-2

撓曲線(xiàn)的微分方程§6-3

用積分法求彎曲變形§6-6

提高彎曲剛度的一些措施§6-5

簡(jiǎn)單超靜定梁

§6-4用疊加法求彎曲變形2

工程中有些受彎構(gòu)件在載荷作用下雖能滿(mǎn)足強(qiáng)度要求，但由于彎曲變形過(guò)大，剛度不足，仍不能保證構(gòu)件的正常工作，成為彎曲變形問(wèn)題。出現(xiàn)“爬坡”現(xiàn)象

使齒輪嚙合力沿齒寬分布極不均勻，加速齒輪的磨損?！?-1工程中彎曲變形問(wèn)題3§6-2撓曲線(xiàn)的微分方程直梁在對(duì)稱(chēng)平面xy內(nèi)彎曲時(shí)其原來(lái)的軸線(xiàn)AB將彎曲成平面曲線(xiàn)AC1B。梁的橫截面形心(即軸線(xiàn)AB上的點(diǎn))在垂直于x軸方向的線(xiàn)位移w稱(chēng)為撓度(deflection)，橫截面對(duì)其原來(lái)位置的角位移q稱(chēng)為橫截面的轉(zhuǎn)角(angleofrotation)。第五章梁彎曲時(shí)的位移4彎曲后梁的軸線(xiàn)——撓曲線(xiàn)(deflectioncurve)為一平坦而光滑的曲線(xiàn)，它可以表達(dá)為w=f(x)，此式稱(chēng)為撓曲線(xiàn)方程。由于梁變形后的橫截面仍與撓曲線(xiàn)保持垂直，故橫截面的轉(zhuǎn)角q也就是撓曲線(xiàn)在該相應(yīng)點(diǎn)的切線(xiàn)與x軸之間的夾角，從而有轉(zhuǎn)角方程：第五章梁彎曲時(shí)的位移5直梁彎曲時(shí)的撓度和轉(zhuǎn)角這兩個(gè)位移不但與梁的彎曲變形程度(撓曲線(xiàn)曲率的大小)有關(guān)，也與支座約束的條件有關(guān)。圖a和圖b所示兩根梁，如果它們的材料和尺寸相同，所受的外力偶之矩Me也相等，顯然它們的變形程度(也就是撓曲線(xiàn)的曲率大小)相同，但兩根梁相應(yīng)截面的撓度和轉(zhuǎn)角則明顯不同。第五章梁彎曲時(shí)的位移(a)(b)6在圖示坐標(biāo)系中，撓度w向下為正，向上為負(fù)；

順時(shí)針轉(zhuǎn)向的轉(zhuǎn)角

為正，逆時(shí)針轉(zhuǎn)向的轉(zhuǎn)角

為負(fù)。第五章梁彎曲時(shí)的位移7撓曲線(xiàn)近似微分方程的導(dǎo)出在§5-2(P142頁(yè))中曾得到等直梁在線(xiàn)彈性范圍內(nèi)純彎曲情況下中性層的曲率為這也就是位于中性層內(nèi)的撓曲線(xiàn)的曲率的表達(dá)式。第五章梁彎曲時(shí)的位移8在橫力彎曲下，梁的橫截面上除彎矩M=M(x)外，還有剪力FS=FS(x)，剪力產(chǎn)生的剪切變形對(duì)梁的變形也會(huì)產(chǎn)生影響。但工程上常用的梁其跨長(zhǎng)l往往大于橫截面高度h的10倍，此時(shí)剪力FS對(duì)梁的變形的影響可略去不計(jì)，而有第五章梁彎曲時(shí)的位移9從幾何方面來(lái)看，平面曲線(xiàn)的曲率可寫(xiě)作式中，等號(hào)右邊有正負(fù)號(hào)是因?yàn)榍?/r為度量平面曲線(xiàn)(撓曲線(xiàn))彎曲變形程度的非負(fù)值的量，而w"是q=w'沿x方向的變化率，是有正負(fù)的。第五章梁彎曲時(shí)的位移10第五章梁彎曲時(shí)的位移再注意到在圖示坐標(biāo)系中，負(fù)彎矩對(duì)應(yīng)于正值w"

，正彎矩對(duì)應(yīng)于負(fù)值的w"

，故從上列兩式應(yīng)有由于梁的撓曲線(xiàn)為一平坦的曲線(xiàn)，上式中的w

2與1相比可略去，于是得撓曲線(xiàn)近似微分方程11撓曲線(xiàn)近似微分方程的積分及邊界條件求等直梁的撓曲線(xiàn)方程時(shí)可將上式改寫(xiě)為后進(jìn)行積分，再利用邊界條件(boundarycondition)確定積分常數(shù)。第五章梁彎曲時(shí)的位移§6-3用積分法求彎曲變形12當(dāng)全梁各橫截面上的彎矩可用一個(gè)彎矩方程表示時(shí)(例如圖中所示情況)有第五章梁彎曲時(shí)的位移以上兩式中的積分常數(shù)C1，C2由邊界條件確定后即可得出梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線(xiàn)方程。13邊界條件(這里也就是支座處的約束條件)的示例如下圖所示。第五章梁彎曲時(shí)的位移14若由于梁上的荷載不連續(xù)等原因使得梁的彎矩方程需分段寫(xiě)出時(shí)，各段梁的撓曲線(xiàn)近似微分方程也就不同。而對(duì)各段梁的近似微分方程積分時(shí)，都將出現(xiàn)兩個(gè)積分常數(shù)。要確定這些積分常數(shù)，除利用支座處的約束條件(constraintcondition)外，還需利用相鄰兩段梁在交界處的連續(xù)條件(continuitycondition)。這兩類(lèi)條件統(tǒng)稱(chēng)為邊界條件。第五章梁彎曲時(shí)的位移15

例題6-1試求圖示等直梁的撓曲線(xiàn)方程和轉(zhuǎn)角方程，并確定其最大撓度wmax和最大轉(zhuǎn)角qmax。第五章梁彎曲時(shí)的位移16解：該梁的彎矩方程為撓曲線(xiàn)近似微分方程為以x為自變量進(jìn)行積分得于是得該梁的邊界條件為：在x=0處

，w=0第五章梁彎曲時(shí)的位移17從而有轉(zhuǎn)角方程撓曲線(xiàn)方程根據(jù)該梁邊界條件和全梁橫截面上彎矩均為負(fù)值，以及撓曲線(xiàn)應(yīng)光滑連續(xù)描出了撓曲線(xiàn)的示意圖。第五章梁彎曲時(shí)的位移18可見(jiàn)該梁的qmax和wmax均在x=l的自由端處。于是有第五章梁彎曲時(shí)的位移19由此題可見(jiàn)，當(dāng)以x為自變量對(duì)撓曲線(xiàn)近似微分方程進(jìn)行積分時(shí)，所得轉(zhuǎn)角方程和撓曲線(xiàn)方程中的積分常數(shù)是有其幾何意義的：此例題所示的懸臂梁，q0=0，w0=0，

因而也有C1=0，C2=0。第五章梁彎曲時(shí)的位移20兩式中的積分在坐標(biāo)原點(diǎn)處(即x=0處)總是等于零，從而有事實(shí)上，當(dāng)以x為自變量時(shí)第五章梁彎曲時(shí)的位移21

例題6-2試求圖示等直梁的撓曲線(xiàn)方程和轉(zhuǎn)角方程，并確定其最大撓度wmax和最大轉(zhuǎn)角qmax。第五章梁彎曲時(shí)的位移22解：該梁的彎矩方程為撓曲線(xiàn)近似微分方程為以x為自變量進(jìn)行積分得：第五章梁彎曲時(shí)的位移23該梁的邊界條件為在x=0處w=0，在x=l處w=0于是有即從而有轉(zhuǎn)角方程撓曲線(xiàn)方程第五章梁彎曲時(shí)的位移24根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知，兩支座處的轉(zhuǎn)角qA及qB的絕對(duì)值相等，且均為最大值，故最大撓度在跨中，其值為第五章梁彎曲時(shí)的位移25

例題6-3試求圖示等直梁的撓曲線(xiàn)方程和轉(zhuǎn)角方程，并確定其最大撓度wmax和最大轉(zhuǎn)角qmax。第五章梁彎曲時(shí)的位移26解：約束力為兩段梁的彎矩方程分別為為了后面確定積分常數(shù)的方便，右邊那段梁的彎矩方程M2(x)仍取x截面左邊的梁為分離體，使方程M2(x)中的第一項(xiàng)與方程M1(x)中的項(xiàng)相同。第五章梁彎曲時(shí)的位移27兩段梁的撓曲線(xiàn)近似微分方程亦需分段列出，并分別進(jìn)行積分：撓曲線(xiàn)近似微分方程積分得左段梁右段梁第五章梁彎曲時(shí)的位移28值得注意的是，在對(duì)右段梁進(jìn)行積分運(yùn)算時(shí)，對(duì)于含有(x-a)的項(xiàng)沒(méi)有以x為自變量而是以(x-a)作為自變量進(jìn)行積分的，因?yàn)檫@樣可在運(yùn)用連續(xù)條件w1'|x=a=w2'|x=a及w1|x=a=w2|x=a確定積分常數(shù)時(shí)含有(x-a)2和(x-a)3的項(xiàng)為零而使工作量減少。又，在對(duì)左段梁進(jìn)行積分運(yùn)算時(shí)仍以x為自變量進(jìn)行，故仍有C1=EIq0，D1=EIw0。第五章梁彎曲時(shí)的位移29該梁的兩類(lèi)邊界條件為支座約束條件：在x=0處w1=0，在x=l處w2=0連續(xù)條件：在x=a處

，w1=w2第五章梁彎曲時(shí)的位移由兩個(gè)連續(xù)條件得：由支座約束條件w1|x=0=0得從而也有30由另一支座約束條件w2|x=l=0有即從而也有第五章梁彎曲時(shí)的位移31從而得兩段梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線(xiàn)方程如下：左段梁右段梁第五章梁彎曲時(shí)的位移32左、右兩支座處截面的轉(zhuǎn)角分別為當(dāng)a>b時(shí)有第五章梁彎曲時(shí)的位移33顯然，由于現(xiàn)在a>b，故上式表明x1<a，從而證實(shí)wmax確實(shí)在左段梁內(nèi)。將上列x1的表達(dá)式代入左段梁的撓曲線(xiàn)方程得根據(jù)圖中所示撓曲線(xiàn)的大致形狀可知，最大撓度wmax所在

處在現(xiàn)在的情況下應(yīng)在左段梁內(nèi)。令左段梁的轉(zhuǎn)角方程

等于零，得第五章梁彎曲時(shí)的位移34由上式還可知，當(dāng)集中荷載F作用在右支座附近因而b值甚小，以致

b2和

l2相比可略去不計(jì)時(shí)有它發(fā)生在處。而此時(shí)處(跨中點(diǎn)C)的撓度wC為第五章梁彎曲時(shí)的位移35當(dāng)集中荷載F作用于簡(jiǎn)支梁的跨中時(shí)(b=l/2)，最大轉(zhuǎn)角qmax和最大撓度wmax為可見(jiàn)在集中荷載作用于右支座附近這種極端情況下，跨中撓度與最大撓度也只相差不到3%。因此在工程計(jì)算中，只要簡(jiǎn)支梁的撓曲線(xiàn)上沒(méi)有拐點(diǎn)都可以跨中撓度代替最大撓度。第五章梁彎曲時(shí)的位移36

由于梁的撓曲線(xiàn)近似微分方程式是線(xiàn)性微分方程式，梁截面的剪力、彎矩、轉(zhuǎn)角和撓度都是載荷的線(xiàn)性函數(shù)。因此可用迭加法計(jì)算梁的變形。即，由載荷系引起的撓度曲線(xiàn)就等于由各載荷單獨(dú)作用時(shí)所引起的撓度曲線(xiàn)的迭加。

當(dāng)梁上作用有各種不同的載荷時(shí)，M(x)就有比較多的項(xiàng)，若繼續(xù)采用積分法計(jì)算梁的變形，其計(jì)算過(guò)程就比較繁瑣，為此，在工程中常采用疊加法?！?-4用疊加法求彎曲變形37

運(yùn)用疊加法，可以求出載荷共同作用下的撓度和轉(zhuǎn)角。其步驟如下:1.求出各載荷單獨(dú)作用時(shí)的變形；2.求其代數(shù)和。38例6-4簡(jiǎn)支梁承受均布載荷ｑ和集中力P的作用，EI為常數(shù)求：梁中點(diǎn)C的撓度。從表(6)、(7)查得：(↓)總撓度為：解首先把作用在粱上的載荷系分解為只有均布載荷q作用(b)和只有集中力P作用(c)兩種情形。(↓)39例6-5求外伸梁在均布載荷作用下梁中點(diǎn)E的撓度。解把外伸梁變換為簡(jiǎn)支梁AB，根據(jù)力線(xiàn)平移定理，在簡(jiǎn)支梁上除作用有均布載荷q外，在點(diǎn)A和B處還作用有集中力P＝qa和集中力偶查表（6）、（5）得：兩個(gè)力偶Ｍ0產(chǎn)生撓度大小相等方向一致40

例題6-6試按疊加原理求圖a所示等直外伸梁其截面B的轉(zhuǎn)角qB，以及A端和BC段中點(diǎn)D