專題9 數(shù)列基本運算-解析版

專題9數(shù)列基本運算數(shù)列運算是數(shù)列問題的基礎(chǔ),對數(shù)列通項、前n項和及數(shù)列性質(zhì)的研究都離不開數(shù)列的運算,這對于進一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)中的級數(shù)運算尤其重要.對數(shù)列的遞推運算、通項運算、前n項和運算的研究,有遞推法、累加法、累乘法、待定系數(shù)法、特征根法等;對數(shù)列求和研究,有倒序相加法、錯位相減法、裂項法、公式法等.每個方法解決的對象特征不同,方法使用的步驟不同,稍微有一點不對,則前功盡棄,比如錯位相減法,有許多學(xué)生對“錯位”概念不予理睬,結(jié)果常犯錯誤.一種方法要多次應(yīng)用才能掌握,數(shù)列關(guān)系中有結(jié)構(gòu),運算需要智慧,否則就成為一個卡殼點.一、條件變形與目標(biāo)結(jié)構(gòu)對接問題1:數(shù)列an滿足a1=32A.0B.1C.2D.3【解析】卡殼點:面對an應(yīng)對策略:先倒過來,再裂項.問題解答:將an+1-1=再裂項得1a再移項本質(zhì)結(jié)構(gòu)就出來了:1a這樣所求目標(biāo)的求和就可以轉(zhuǎn)化了:1a1a…1a累加可得1a令n=2019,則m又a1=32,所以m的整數(shù)部分為1.【反思】在代數(shù)式變形過程中“倒過來”“再裂項”“再移項”是代數(shù)變形的智慧點.智慧思維導(dǎo)圖：二、數(shù)列項之積累乘運算之技問題2:已知數(shù)列an滿足a1=a∈(I)求證:b1(II)設(shè)Tn為數(shù)列bn的前n項和,求證:【解析】卡殼點:目標(biāo)結(jié)構(gòu)明顯需要累乘運算,在推理運算中缺少經(jīng)驗與操作技術(shù).應(yīng)對策略:利用不等關(guān)系放縮,形成累乘結(jié)構(gòu).問題解答:(I)因為an>0,所以從而an+1?14所以bn=a所以b1(II)由(I)知,an所以bn又an+1-因此T【反思】第(I)問,目標(biāo)累乘結(jié)構(gòu)是明顯的,將累乘結(jié)果有理化是一個智慧點,也是代數(shù)式變形能力的重點.三、數(shù)列求和裂頂運算之技問題3:已知數(shù)列an滿足a(I)求數(shù)列an的通項a(II)若數(shù)列bn滿足bn=an2-an,數(shù)列bn【解析】卡殼點:第(II)問中裂項結(jié)構(gòu)看不出.應(yīng)對策略:看出裂項結(jié)構(gòu),通過代數(shù)式變形,掌握部分分式技術(shù).問題解答:(I)當(dāng)n=1時,aa1此式與已知條件式相減得(2n所以an+1=(II)bnSnTn=3【反思】運算思維在(*)處容易出現(xiàn)障礙,此時要認真觀察式子結(jié)構(gòu),想一想,有沒有什么可能的情況,因為最終要通過裂項消除,這其中一定有什么規(guī)律沒有發(fā)現(xiàn)!四、數(shù)列求和錯位相荿之技面對數(shù)列條件中復(fù)雜的代數(shù)結(jié)構(gòu),將其向何處變化、變形、變換?若不能駕馭,也無能力和方法,究其原因,一是小學(xué)、初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)不扎實,代數(shù)式變形能力弱;二是基本運算能力弱,連分式運算變形能力都欠缺,如何能發(fā)現(xiàn)問題結(jié)構(gòu)的本質(zhì)呢?問題4:已知等比數(shù)列an的公比q>1,且a3+a4+a5=117,a4+18(I)求q的值;(II)求數(shù)列bn【解析】卡殼點:對數(shù)列項的結(jié)構(gòu)挖掘不到位.應(yīng)對策略:對條件“數(shù)列bn+1-bnan的前n項和為2所以a3+a由a3+a因為q>1,所以q(II)設(shè)cn=bn+1-b由cn=S由(I)可知an=3n-1設(shè)Tn則13兩式相減得23因此Tnb1即b【反思】當(dāng)運算到步聚(*)時,得到一個等差等比結(jié)構(gòu)求和,需要用錯位相減法,有許多學(xué)生將其進行倒序得到步驟(**)的工作不會做,結(jié)果是可以想象的.五、多角度去尋找代數(shù)結(jié)構(gòu)面對數(shù)列條件中項與項的關(guān)系、項與前n項和的關(guān)系,以及所求目標(biāo)是探究結(jié)論中的代數(shù)式時,首先要認清結(jié)構(gòu),看不出結(jié)構(gòu)特征是最大的痛點,沒有意識去挖掘、去變形、去找規(guī)律,這是產(chǎn)生痛點的根本原因.問題5:已知數(shù)列an的前n項和為Sn,a1(I)求c的值;(II)求數(shù)列an【解析】卡殼點:受數(shù)列思維定式千擾,無法看出條件的本質(zhì)結(jié)構(gòu).應(yīng)對策略:當(dāng)c確定后(c=1),對問題解答:(I)S2-2S(II)因為c=1,所以n用右邊除以整個等式就顯化了結(jié)構(gòu)Sn+1n+1-Snn=1【反思】(1)數(shù)列運算離不開對給定信息結(jié)構(gòu)的分析與變形,思維定式是很可怕的.（2）學(xué)會多角度思考問題,對某一個目標(biāo)也應(yīng)多角度變形,找到本質(zhì)特征.六、數(shù)列主干條件結(jié)構(gòu)變形之技瞄準(zhǔn)數(shù)列運算的智慧點(代數(shù)式變形中的“目標(biāo)結(jié)構(gòu)”)是數(shù)列運算的重中之重.問題6:設(shè)數(shù)列an滿足a1=2,an【解析】卡殼點:對條件關(guān)系式結(jié)構(gòu)挖掘不到位.應(yīng)對策略:先倒過來,再分離.問題解答:由anan-1+令bn=n思路一易得b1當(dāng)n?2時,b當(dāng)n=1時,上式也滿足,所以b因此an思路二令bn+λ=1所以bn-1是以12為公比的等比數(shù)列,故有b因此an【反思】由給定信息轉(zhuǎn)化為遞推式是常規(guī)思路,面對an=2強化練習(xí)1.已知數(shù)列an是一個遞增數(shù)列,滿足an∈N*,A.4B.6C.7D.8【解析】是正整數(shù)，不代表的公差就是1，將看成函數(shù)，即有.代替，就有，即.到這里一切明朗多了，這是一個重要的遞推關(guān)系，讓取1和2試試，返回數(shù)列，有，.由于最小為1，則最小就為3，1和3之間只有一個正整數(shù)，故為2，那么就是5，同樣5和3之間只有一個正整數(shù)，所以只可以是4.【反思】對數(shù)列中復(fù)合運算符號“”深入理解、轉(zhuǎn)化與推理.數(shù)學(xué)中邏輯推理思維是最基本的思維，對給定信息進行綜合分析更是能力所在.2.設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn,已知a4-13+2007A.S2007=2007,aC.S2007=2008,【解析】思路一看到兩等式右邊特征：，，“1”與“-1”之和為0，想到將兩式相加，并因式分解得，走到這一步進人“死胡同”，既無法判斷，的大小，也無法確定大小.思路二看到兩等式左邊特征為都有一個公因式，于是提取公因式看一看，，，，.認真分析一下，中括號內(nèi)均為正數(shù)，而右邊的“1”和“-1”暗示著“正”與“負”，于是有，，從而有，選擇或，但是如何確定的值？思路三看到兩等式左邊的特征都是“”的結(jié)構(gòu)，這一結(jié)構(gòu)告訴我們什么呢？把“（）”換成變量看一看，，這是一個三次函數(shù)、奇函數(shù)、增函數(shù)，問題給出的是兩個函數(shù)值：，，從而有，，于是有，此時再回到數(shù)列中去，得.故選A.【反思】數(shù)列問題的代數(shù)結(jié)構(gòu)中常常隱含著許多邏輯關(guān)系，只有充分挖掘題干中的結(jié)構(gòu)信息，才能尋找到正確的解題思路.3.已知數(shù)列an是等比數(shù)列,數(shù)列bn是等差數(shù)列,若a4A.-3B.3.C.-3【解析】策略：題目條件與目標(biāo)兩頭抓：條件能給什么，目標(biāo)要什么？目標(biāo)，要求，于是條件向著轉(zhuǎn)化，有.目標(biāo)，要求，于是條件向著轉(zhuǎn)化，有.于是.故選.4.已知a1=1,【解析】，，兩式相減得，所以，.規(guī)律：有1對時，為；有2對時，為而為1010對，故.【反思】數(shù)列遞推是為了找規(guī)律，第一步發(fā)現(xiàn)項與項之間的規(guī)律“”是通過基本思路得到的；第二步根據(jù)題中數(shù)列間定義的關(guān)系，找到數(shù)列，然后分析判斷就解決問題了.5.已知數(shù)列an滿足an=5【解析】令，則，.于是，，根據(jù)數(shù)列分類，這是一個擺動數(shù)列，也是周期為2的周期數(shù)列，從而.【反思】對數(shù)列特征進行分析思考，給定的條件“”告訴了我們什么信息？至少也應(yīng)該去挖掘、運算推理.6.(1)在數(shù)列an中,an+an+5【解析】目標(biāo)信息暗示，為周期數(shù)列，如何確定周期？事實上，，所以給定數(shù)列，…，周期為，.【反思】一是審題能力.理解題意把握問題本質(zhì)，挖掘目標(biāo)信息.由“當(dāng)時，”得的前6項，由“恒為定值”可知“”.求需要探知周期.二是方法得當(dāng).遞推法尋找周期，迅速解決問題.(2)在等差數(shù)列an中,公差d≠0,a2,S2,S【解析】，，(若，可推出矛盾)，所以，，，，則恒成立.當(dāng)時，，，所以，當(dāng)時，，所以的取值范圍是【反思】一是審題能力.理解題意把握問題本質(zhì)，給定的等差數(shù)列的基本量是什么？二是方法得當(dāng).根據(jù)條件“”尋找基本量，迅速解決問題.障礙：確定等差數(shù)列的通項與前項和是一個障礙，理解恒成立，即是最大值也是一個障礙點.智慧突破：分析是一個重要的想法，對的取值進行分析.7.已知a0=1【解析】根據(jù)題意，有于是（*），累加可得，于是，進而，于是.【反思】將給定的條件變形