《衛(wèi)生統(tǒng)計學(xué)》第五章 常用概率分布(6版)

第五章常用概率分布分布桂立輝新鄉(xiāng)醫(yī)學(xué)院公共衛(wèi)生學(xué)系流行病與衛(wèi)生統(tǒng)計學(xué)教研室第五章常用概率分布分布二項分布

Poisson分布正態(tài)分布第一節(jié)二項分布一、二項分布的概念和特征（一）二項分布的概念

在生命科學(xué)研究中，經(jīng)常會遇到一些事物，其結(jié)果可分為兩個彼此對立的類型，如一個病人的死亡與存活、動物的雌與雄、微生物培養(yǎng)的陽性與陰性等，這些都可以根據(jù)某種性狀的出現(xiàn)與否而分為非此即彼的對立事件。這種非此即彼事件構(gòu)成的總體，就稱為二項總體（binomialpopulation）。第一節(jié)二項分布二項分布(binomialdistribution)就是對這種只具有兩種互斥結(jié)果的離散型隨機變量的規(guī)律性進行描述的一種概率分布。由于這一種分布規(guī)律是由瑞士學(xué)者貝努里(Bernoulli)首先發(fā)現(xiàn)的，又稱貝努里分布。

第一節(jié)二項分布二項分布有兩個基本假設(shè)：1.各事件是相互獨立的，即任一事件的發(fā)生與否，不影響其它事件的發(fā)生概率；2.各個隨機事件只能產(chǎn)生相互排斥的兩種結(jié)果。

定理：幾個相互獨立事件同時發(fā)生的概率等于各獨立事件的概率之積。定理：在幾個互不相容的事件中，任一事件發(fā)生的概率等于這幾個事件的概率之和。抓中兩黑一白的概率：P(2)=3×0.125=0.375抓中三個黑球的概率：P(3)=0.5×0.5×0.5=0.125第一節(jié)二項分布

各種可能發(fā)生的結(jié)果對應(yīng)的概率相當(dāng)于展開后的各項數(shù)值，即：

前例：π=0.8，1-π=0.2，n=3二項分布的概率函數(shù)

如果一個事件A，在n次獨立試驗中，每次試驗都具有概率π

，那么，這一事件A將在n次試驗中出現(xiàn)x次的概率為：

式中：稱二項系數(shù)。二項分布的應(yīng)用條件1.各觀察單位只能具有互相對立的一種結(jié)果，屬于二項分類資料；2.已知發(fā)生某一結(jié)果的概率為π，其對立結(jié)果的概率則為1-π

。實際工作中要求π是從大量觀察中獲得的比較穩(wěn)定的數(shù)值；3.n個觀察單位的觀察結(jié)果互相獨立，即每個觀察單位的觀察結(jié)果不會影響到其它觀察單位的結(jié)果。

（二）二項分布的特征

1.二項分布的圖形二項分布的圖形，取決于兩個方面，其一為事件發(fā)生的概率π

，其二為樣本含量n。當(dāng)π

=1-π

=1/2時，二項分布的圖形是對稱的；當(dāng)π

<1/2時，二項分布的圖形呈左偏態(tài)；當(dāng)π

>1/2時，二項分布的圖形呈右偏態(tài)；當(dāng)π與1-π不變時，即使π

≠1-π

，但隨著n的增大，二項分布的的偏態(tài)程度會逐漸降低而趨于對稱。

二項分布總體不同樣本例數(shù)時的抽樣分布

（二）二項分布的特征

2.二項分布的均數(shù)和標準差二項分布的平均數(shù)：μ=nπ

上式的意義：做n次獨立試驗，某事件平均出現(xiàn)的次數(shù)為nπ次，這一結(jié)果較為符合人們的直觀想法。如果，生男孩這一事件的概率是1/2，則100個新生兒中可期望有nπ=100×1/2=50個是男孩。當(dāng)用率表示時，μ＝π

（二）二項分布的特征二項分布的標準差：標準差表示x取值的離散度或變異的大小。如n=5，π=5/6，1-π=1-5/6，則：（二）二項分布的特征二項分布的標準差

若以比值或百分數(shù)表示，則標準差為

:σp被稱為率的標準誤（standarderrorofrate），用來反映隨機抽樣獲得的樣本率p與總體π之間的抽樣誤差大小。實際工作中常用p作為π

的估計值，得：二、二項分布的應(yīng)用1.概率估計2.累計概率計算常用的有左側(cè)累計和右側(cè)累計2種方法。從陽性率為π

的總體中隨機抽取n個個體，則(1)最多有k例陽性的概率P(X≤k)=P(0)+P(1)+……+P(k)(2)最少有k例陽性的概率P(X≥k)=P(k)+P(k+1)+……+P(n)=1-P(X≤k-1)二、二項分布的應(yīng)用

總體率的估計(查表法)：當(dāng)n較小，如n≤50時，特別是p很接近于0或1時，可由附表6.1百分率的置信區(qū)間表直接查出。例：某地調(diào)查50名兒童蛔蟲感染情況，發(fā)現(xiàn)有10人大便中有蛔蟲卵，問兒童蛔蟲感染率的95%置信區(qū)間是多少？此例：n=50，X=10

查表得95%CI為：10%～34%。二、二項分布的應(yīng)用總體率的估計（正態(tài)近似法）應(yīng)用條件：np及n(1?p)均≥5p±uαsp

例：在某地隨機抽取329人，做HBsAg檢驗，得陽性率為8.81%，求陽性率95%置信區(qū)間。已知：p=8.81%，n=329，故：

95%CI：8.81±1.96×1.56；即5.75%～11.87%。二、二項分布的應(yīng)用假設(shè)檢驗例某醫(yī)院用甲藥治療某病，其治愈率為70%，今用乙藥治療該病10人，治愈9人，問甲乙兩藥療效有無差別？已知：π=0.7，1-π=0.3，假設(shè)兩藥療效無差別，則治愈與非治愈的概率應(yīng)符合二項分布，即：

二、二項分布的應(yīng)用二、二項分布的應(yīng)用如果甲乙兩藥療效無差別，按甲藥的治愈率(70%)用乙藥治療10人應(yīng)治愈7人，實際治愈9人，相差2人。雙側(cè)檢驗，計算相差±2人及2人以上的總概率，即x≥9和x≤5的概率之和：ΣP=0.000006+0.000138+0.001447+0.009002+0.036757+0.102919+0.121061+0.028248=0.299577或：ΣP=1-(0.200121+0.266828+0.233474)=0.299577二、二項分布的應(yīng)用P=0.299577>0.05，差異無統(tǒng)計學(xué)意義，尚不能認為乙藥療效優(yōu)于甲藥。本例如采用單側(cè)檢驗，即要求判斷乙藥療效優(yōu)于甲藥？此時只需計算相差2人及以上的總概率：ΣP=P(9)+P(10)=0.121061+0.028248=0.149309P>0.05,差異無統(tǒng)計學(xué)意義，尚不能認為乙藥療效優(yōu)于甲藥。第一節(jié)二項分布研究疾病的家族聚集性

例某單位發(fā)生乙肝暴發(fā)流行，經(jīng)調(diào)查4口之家共288戶，其中無病例的167戶，發(fā)生1例的51戶，2例的50戶，3例的17戶，全家發(fā)病的3戶，問乙肝的發(fā)病是否具有家族集聚性？

π=214/1152=0.1858，1-π=0.8142

計算發(fā)病數(shù)x=0，1，2，3，4時的理論概率和理論戶數(shù)。列表，比較實際戶數(shù)與理論戶數(shù)差別有無顯著性意義。

二項分布展開計算表發(fā)病人數(shù)展開式概率理論戶數(shù)實際戶數(shù)xCxnπ

x(1-π)n-xPT=P×288A0C04

(0.1858)0(0.8142)40.4395126.571671C14

(0.1858)1(0.8142)30.4011115.52512C24

(0.1858)2(0.8142)20.137339.54503C34

(0.1858)3(0.8142)10.02096.02174C44

(0.1858)4(0.8142)00.00120.353二項分布擬合優(yōu)度的χ2檢驗發(fā)病人數(shù)實際戶數(shù)理論戶數(shù)(A-T)2(A-T)2XATT0167126.571634.5812.91151115.524162.8336.0425039.54109.412.773176.02120.5620.03430.357.0220.06χ2=91.81，按ν=組數(shù)-2=5-2=3查χ2界值表得：χ20.01(3)=11.345，故P<0.01，說明該疾病的家庭分布不符合二項分布，可以認為該病有家族集聚性。第二節(jié)泊松分布

(Poissondistribution)

一、Poisson分布的概念泊松分布（舊譯普哇松分布）是離散型隨機變量的另一重要分布，最早由S.D.Poisson于1837年提出。

定義：若離散型隨機變量X的取值為非負整數(shù)，且相應(yīng)的概率函數(shù)為：

則稱隨機變量X服從泊松分布。泊松分布(Poissondistribution)

泊松分布的概率函數(shù)

在n個取樣單位內(nèi)，出現(xiàn)X=0,1,2,…,n個陽性事件的理論概率分別為下列公式的展開各項：

式中：P(X)為出現(xiàn)陽性事件例數(shù)為X的理論概率。實際應(yīng)用時，可以用樣本均數(shù)作為總體均數(shù)λ的估計值。Poisson分布的應(yīng)用條件

在二項分布中，如果π很小，而試驗次數(shù)n很大，nπ趨向于一個常數(shù)時，則可以用參數(shù)為λ的泊松分布近似地表示。泊松分布還有其獨特的意義，它對于描述隨機現(xiàn)象在大面積（時間、空間）上的分布情況很有用。例如在單位面積的水或牛奶中的細菌數(shù)的分布，計數(shù)室中細菌數(shù)的分布，放射性物質(zhì)在單位時間內(nèi)放射次數(shù)的分布等都屬于泊松分布。Poisson分布的應(yīng)用條件服從泊松分布的條件與二項分布一樣，其中之一是各事件相互獨立。例如，某一昆蟲是否落入，某人是否患某病與他人是否患病無關(guān)等。如果不符合這一條件就不呈泊松分布。因此，也可以用泊松分布來研究某些疾病是否有家族聚集性、傳染性等。二、Poisson分布的特征Poisson分布