第十章漲落理論

第十章漲落理論§10.1漲落的準熱力學理論；§10.2布朗運動理論；§10.3布朗顆粒動量的擴散和時間關聯；1§10.1

漲落的準熱力學理論統計物理學認為，宏觀物理量是相應微觀量在滿足給定宏觀條件的系統的所有微觀狀態(tài)上的平均值：【漲落的準熱力學理論】用偏差平方的平均值表示B對B的漲落：描述在給定宏觀條件下熱力學量取各種漲落值的概率分布。熵的漲落是指S(E,V)與S(E,V)的差值。統計物理學認為，宏觀物理量是相應微觀量在滿足給定宏觀條件的系統的所有微觀狀態(tài)上的平均值：2一、正則系統的漲落考慮系統與熱源接觸而達到平衡。二者聯合組成一個符合的孤立系統，具有確定的能量和體積。若系統的能量和體積存在變化，則熱源的能量與體積也必定有相應變化：對于宏觀系統，能量和體系的平均值等于其最概然值。因為：在滿足宏觀條件的所有可能的微觀狀態(tài)中，能量為E體積為V的微觀狀態(tài)出現的概率的總和遠遠超過具有其他值的微觀狀態(tài)出現的概率之和。

(1)

具有E和V的復合系統的熵為（S0和Ω0均為極大值）3（復合系統熵的偏差）

(2)

具有E和V的復合系統的熵為

(3)

處于平衡狀態(tài)下的孤立系統，每一種可能的微觀狀態(tài)出現的概率相等，系統的能量與體積對最概然值具有偏差ΔE和ΔV的概率應與微觀狀態(tài)數正比：（源的熱力學基本方程，P和T為源和系統的壓強與溫度）45(4)

應用實例6二、巨正則系統的漲落考慮系統與熱源和粒子源接觸而構成一個符合的孤立系統?？梢宰C明開放系漲落的基本公式為（以T、V、N為自變量，V不變）7(1)

系綜的溫度和粒子數漲落由此可以看出：第一項是正則分布的能量漲落—系統與源交換能量而引起的；第二項是系統與源交換粒子引起的。(2)

系綜的能量漲落8§10.2

布朗運動理論懸浮在液體中的微小顆粒不停地進行無規(guī)則運動的現象稱為布朗運動。它是植物學家布朗(Brown)在1827年發(fā)現的。1877年Delsaulx指出，布朗運動是由于顆粒受到介質分子不平衡引起的；20世紀初，愛因斯坦、Smoluchowski、朗之萬(Langevin)等發(fā)表了各自的理論，同時Perrin完成相關的實驗。從理論和實驗上對布朗運動給出了正確的解釋。一、朗之萬方程考慮：顆粒在一個方向(x)上的運動。設顆粒受到的介質分子的凈作用力為f(t)，外力為B(t)，則顆粒的運動方程為9

（1）隨機力f(t)可分為粘滯阻力-αv和漲落力F(t)（介質分子對靜止顆粒的碰撞力）：

（2）不考慮外力作用，朗之萬方程可變?yōu)椋?/p>

朗之萬方程）10

（3）朗之萬方程的通解二、布朗顆粒的擴散

當存在大量布朗顆粒時，其密度分布是不均勻的，可觀察到布朗顆粒的擴散。擴散實際上是顆粒作布朗運動而產生位移的一種現象?？紤]一維運動。設顆粒的密度為n(x,t)，顆粒的流量為J(x,t)，則（

菲克定律）（

連續(xù)方程）11（設t=0時，顆粒均位于x=0處）（

擴散方程）（

愛因斯坦關系）12§10.3

布朗顆粒動量的擴散和時間關系朗之萬方程中含有隨機的漲落力，它的解必是一個隨機函數。對于不同的顆粒，位移可以是完全不同的函數。上面在研究位移平方平均值時漲落力可以消去，從而歸結為求解常微分方程。不過在考察其它量（如顆粒的動量）時卻不能直接消去漲落力。

（1）系綜平均：某一物理量對大量布朗粒子的的平均。一、基本概念

（2）漲落力的時間關聯函數：13顯然，當τ足夠長時，Fi(t)和Fi(t+τ)的取值將互不關聯，它們的乘積的系綜平均值為0；反之將相互依賴。因此，我們可以引入一個特征時間τc來區(qū)分兩種特殊情況，并稱為漲落力的關聯時間。一般地，關聯時間與漲落力的平均周期具有相同量級。對于在τc量級時間內只有微小變化的物理量，漲落力的時間關聯可以寫為其中，2D是漲落力大?。◤姸龋┑牧慷?。上式表示，不同時刻的漲落力不關聯。

（3）長時間平均值：14在長時間內，顆粒將經歷各種可能的漲落力作用，因而長時間的平均值與系綜平均值是相等的，即在不存在外力時朗之萬方程可以寫為二、動量平均值和散差15（

散差的定義）【討論】

（1）τc<<t<<1/γ情況16顯然，布朗顆粒由于漲落力的作用而發(fā)生動量的散差，而且其散差與位移平方平均值具有類似規(guī)律。Dp稱為擴散系數。

（2）t>>1/γ情況顯然，顆粒在介質中的阻尼系數與動量擴散系數成正比。漲落力分為粘滯阻力和漲落力，粘滯阻力導致顆粒動能的耗散和顆粒與介質達到平衡，而漲落力導致動量的擴散。兩者相互聯系。17

（3）t>1/γ情況結論：不同時刻的漲落力無關聯，但不同時刻的動量卻相互關聯。動量是平均力和漲落力共同作用的結果，是積分效應。18經過時間t后，布朗粒子的位移和平方平均值分別為三、布朗顆粒的位移顯然，與布朗理論的結果完全相同。19本章作業(yè)