中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之考點(diǎn)題型全歸納與分層精練（全國(guó)通用）：專題21 解三角形(解析版)

專題21解三角形【專題目錄】技巧1：解直角三角形的五種常見(jiàn)類型技巧2：求銳角三角函數(shù)值的常用方法技巧3：“化斜為直”構(gòu)造直角三角形的方法技巧4：構(gòu)造三角函數(shù)基本圖形解實(shí)際問(wèn)題的四種數(shù)學(xué)模型【題型】一、銳角三角函數(shù)的定義【題型】二、利用正弦的相關(guān)知識(shí)求解【題型】三、利用余弦的相關(guān)知識(shí)求解【題型】四、利用正切的相關(guān)知識(shí)求解【題型】五、特殊角的三角函數(shù)值【題型】六、解直角三角形【題型】七、利用解直角三角形解決實(shí)際問(wèn)題【考綱要求】1、理解銳角三角函數(shù)的定義，會(huì)運(yùn)用銳角三角函數(shù)解直角三角形．2、掌握特殊銳角(30°，45°，60°)的三角函數(shù)值，并會(huì)進(jìn)行計(jì)算．3、了解直角三角形的定義，掌握邊角之間的關(guān)系，并能進(jìn)行有關(guān)計(jì)算．4、利用解直角三角形的知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.【考點(diǎn)總結(jié)】一、銳角三角形函數(shù)與解直角三角形銳角三角形函數(shù)與解直角三角形銳角三角函數(shù)在Rt△ABC中，∠C為直角，則∠A的銳角三角函數(shù)為(∠A可換成∠B)定義表達(dá)式取值范圍關(guān)系正弦(∠A為銳角)余弦(∠A為銳角)正切(∠A為銳角)對(duì)邊對(duì)邊鄰邊斜邊ACB【正弦和余弦注意事項(xiàng)】1.sinA、cosA是在直角三角形中定義的，∠A是銳角(注意數(shù)形結(jié)合，構(gòu)造直角三角形)。2.sinA、cosA是一個(gè)比值（數(shù)值，無(wú)單位）。3.sinA、cosA的大小只與∠A的大小有關(guān)，而與直角三角形的邊長(zhǎng)無(wú)關(guān)。特殊角的三角函數(shù)值三角函數(shù)30°45°60°1直角三角形的邊角關(guān)系在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別為a，b，C．(1)三邊之間的關(guān)系：a2＋b2＝c2；(2)銳角之間的關(guān)系：∠A＋∠B＝90°；(3)邊角之間的關(guān)系：sinA＝eq\f(a,c)，cosA＝eq\f(b,c)，tanA＝eq\f(a,b)，sinB＝eq\f(b,c)，cosB＝eq\f(a,c)，tanB＝eq\f(b,a).解直角三角形的幾種類型及解法(1)已知一條直角邊和一個(gè)銳角(如a，∠A)，其解法為：∠B＝90°－∠A，c＝eq\f(a,sinA)，b＝eq\f(a,tanA)(或b＝eq\r(c2－a2))；(2)已知斜邊和一個(gè)銳角(如c，∠A)，其解法為：∠B＝90°－∠A，a＝c·sinA，b＝c·cosA(或b＝eq\r(c2－a2))；(3)已知兩直角邊a，b，其解法為：c＝eq\r(a2＋b2)，由tanA＝eq\f(a,b)，得∠A，∠B＝90°－∠A；(4)已知斜邊和一直角邊(如c，a)，其解法為：b＝eq\r(c2－a2)，由sinA＝eq\f(a,c)，求出∠A，∠B＝90°－∠A．【考點(diǎn)總結(jié)】二、解直角三角形的應(yīng)用解直角三角形的應(yīng)用仰角與俯角當(dāng)從低處觀測(cè)高處的目標(biāo)時(shí)，視線與水平線所成的銳角稱為仰角；當(dāng)從高處觀測(cè)低處的目標(biāo)時(shí)，視線與水平線所成的銳角稱為俯角．坡角與坡度坡角是坡面與水平面所成的角；坡面的鉛直高度與水平寬度的比稱為坡度(或坡比)，常用i表示，也就是坡角的正切值，坡角越大，坡度越大，坡面越陡．【技巧歸納】技巧1：解直角三角形的五種常見(jiàn)類型 【類型】一、已知兩直角邊解直角三角形1．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分別為∠A，∠B，∠C的對(duì)邊，a＝2eq\r(3)，b＝6，解這個(gè)直角三角形．【類型】二、已知一直角邊和斜邊解直角三角形2．如圖，∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝12，∠BCM＝∠BAC，求sin∠BAC的值和點(diǎn)B到直線MC的距離．【類型】三、已知一直角邊和一銳角解直角三角形3．如圖，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝3.(1)求AC的長(zhǎng)；(2)求BC的長(zhǎng)．【類型】四、已知斜邊和一銳角解直角三角形4．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°，a，b，c分別為∠A，∠B，∠C的對(duì)邊，c＝10，解這個(gè)直角三角形．【類型】五、已知非直角三角形中的邊(或角或三角函數(shù)值)解直角三角形題型1：化斜三角形為直角三角形問(wèn)題(化斜為直法)5．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，DC⊥AC，且tan∠BCD＝eq\f(1,3)，求∠A的三角函數(shù)值．題型2：化解四邊形問(wèn)題為解直角三角形問(wèn)題6．如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)E，∠BAC＝90°，∠CED＝45°，∠DCE＝30°，DE＝eq\r(2)，BE＝2eq\r(2).求CD的長(zhǎng)和四邊形ABCD的面積．題型3：化解方程問(wèn)題為解直角三角形問(wèn)題7．已知a，b，c分別是△ABC中∠A，∠B，∠C的對(duì)邊，關(guān)于x的一元二次方程a(1－x2)＋2bx＋c(1＋x2)＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，且3c＝a＋3b.(1)判斷△ABC的形狀；(2)求sinA＋sinB的值．參考答案1．解：∵a＝2eq\r(3)，b＝6，∴c＝eq\r(a2＋b2)＝eq\r(12＋36)＝eq\r(48)＝4eq\r(3).∵tanA＝eq\f(a,b)＝eq\f(2\r(3),6)＝eq\f(\r(3),3)，∴∠A＝30°.∴∠B＝60°.2．解：∵AB＝13，AC＝12，∠ACB＝90°，∴BC＝eq\r(AB2－AC2)＝eq\r(169－144)＝eq\r(25)＝5.∴sin∠BAC＝eq\f(BC,AB)＝eq\f(5,13).過(guò)點(diǎn)B作BD⊥MC于點(diǎn)D.設(shè)點(diǎn)B到直線MC的距離為d，則BD＝d.∵∠BCM＝∠BAC，∴sin∠BAC＝sin∠BCM.∴sin∠BCM＝eq\f(d,BC)＝eq\f(5,13)，即eq\f(d,5)＝eq\f(5,13).∴d＝eq\f(25,13)，即點(diǎn)B到直線MC的距離為eq\f(25,13).3．解：(1)由題意知sinC＝eq\f(AB,AC)，即eq\f(1,2)＝eq\f(3,AC)，則AC＝6.(2)由題意知tanC＝eq\f(AB,BC)，即eq\f(\r(3),3)＝eq\f(3,BC)，則BC＝3eq\r(3).4．解：∵∠B＝45°，∠C＝90°，c＝10，∴∠A＝45°，a＝b＝5eq\r(2).5．解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作CD的垂線交BC于點(diǎn)E.在Rt△CDE中，∵tan∠BCD＝eq\f(1,3)＝eq\f(DE,CD)，∴可設(shè)DE＝x，則CD＝3x.∵CD⊥AC，∴DE∥AC.又∵點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，∴點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)．∴DE＝eq\f(1,2)AC.∴AC＝2DE＝2x.在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，AC＝2x，CD＝3x，∴AD＝eq\r(AC2＋CD2)＝eq\r(4x2＋9x2)＝eq\r(13)x.∴sinA＝eq\f(CD,AD)＝eq\f(3x,\r(13)x)＝eq\f(3\r(13),13)，cosA＝eq\f(AC,AD)＝eq\f(2x,\r(13)x)＝eq\f(2\r(13),13)，tanA＝eq\f(CD,AC)＝eq\f(3x,2x)＝eq\f(3,2).方法技巧：本題中出現(xiàn)了tan∠BCD＝eq\f(1,3)，由于∠BCD所在的三角形并非直角三角形，因此應(yīng)用正切的定義，構(gòu)造出一個(gè)與之相關(guān)的直角三角形進(jìn)行求解．6．解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AC于點(diǎn)H.∵∠CED＝45°，DH⊥EC，DE＝eq\r(2)，∴EH＝DE·cos45°＝eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝1.∴DH＝1.又∵∠DCE＝30°，∴HC＝eq\f(DH,tan30°)＝eq\r(3)，CD＝eq\f(DH,sin30°)＝2.∵∠AEB＝∠CED＝45°，∠BAC＝90°，BE＝2eq\r(2)，∴AB＝AE＝2.∴AC＝AE＋EH＋HC＝2＋1＋eq\r(3)＝3＋eq\r(3).∴S四邊形ABCD＝eq\f(1,2)×2×(3＋eq\r(3))＋eq\f(1,2)×1×(3＋eq\r(3))＝eq\f(3\r(3)＋9,2).方法技巧：題目中所給的有直角和30°，45°角，因此我們可以通過(guò)構(gòu)造另一個(gè)直角三角形，然后運(yùn)用特殊角的三角函數(shù)值求出某些邊的長(zhǎng)，進(jìn)而求出四邊形的面積．7．解：(1)將方程整理，得(c－a)x2＋2bx＋(a＋c)＝0，則Δ＝(2b)2－4(c－a)(a＋c)＝4(b2＋a2－c2)．∵方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴Δ＝0，即b2＋a2＝c2.∴△ABC為直角三角形．(2)由3c＝a＋3b，得a＝3c－3b.①將①代入a2＋b2＝c2，得(3c－3b)2＋b2＝c2.∴4c2－9bc＋5b2＝0，即(4c－5b)(c－b)＝0.由①可知，b≠c，∴4c＝5b.∴b＝eq\f(4,5)c.②將②代入①，得a＝eq\f(3,5)c.∴在Rt△ABC中，sinA＋sinB＝eq\f(a,c)＋eq\f(b,c)＝eq\f(3,5)＋eq\f(4,5)＝eq\f(7,5).點(diǎn)撥：解決本題的突破口是由一元二次方程根與判別式的關(guān)系得到一個(gè)關(guān)于a，b，c的等式．從解題過(guò)程可以看出，求三角函數(shù)值時(shí)，只分析出直角三角形中三邊的比例關(guān)系即可求出其值．技巧2：求銳角三角函數(shù)值的常用方法【類型】一、直接用銳角三角函數(shù)的定義1．如圖，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的中線，若CD＝5，AC＝6，則tanB的值是()A.eq\f(4,5)B.eq\f(3,5)C.eq\f(3,4)D.eq\f(4,3)2．如圖，在△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC＝14，AD＝12，tan∠BAD＝eq\f(3,4)，求sinC的值．3．如圖，直線y＝eq\f(1,2)x＋eq\f(3,2)與x軸交于點(diǎn)A，與直線y＝2x交于點(diǎn)B.求：(1)點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)sin∠BAO的值．【類型】二、利用同角或互余兩角三角函數(shù)間的關(guān)系4．若∠A為銳角，且sinA＝eq\f(\r(3),2)，則cosA的值為()A．1B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(\r(2),2)D.eq\f(1,2)5．若α為銳角，且cosα＝eq\f(12,13)，則sin(90°－α)的值為()A.eq\f(5,13)B.eq\f(12,13)C.eq\f(5,12)D.eq\f(12,5)6．若α為銳角，且sin2α＋cos230°＝1，則α＝______．【類型】三、巧設(shè)參數(shù)7．如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，以點(diǎn)A為圓心，BC長(zhǎng)為半徑畫弧交AB于點(diǎn)D，分別以點(diǎn)A，D為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)E，連接AE，DE，則∠EAD的余弦值是()A.eq\f(\r(3),12)B.eq\f(\r(3),6)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\f(\r(3),2)【類型】四、利用等角來(lái)替換8．如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜邊AB的中線，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥CD，AE分別與CD，CB相交于點(diǎn)H，E且AH＝2CH，求sinB的值．參考答案1．C2．解：∵AD⊥BC，∴tan∠BAD＝eq\f(BD,AD).∵tan∠BAD＝eq\f(3,4)，AD＝12，∴eq\f(3,4)＝eq\f(BD,12).∴BD＝9.∴CD＝BC－BD＝14－9＝5.∴在Rt△ADC中，AC＝eq\r(AD2＋CD2)＝eq\r(122＋52)＝13.∴sinC＝eq\f(AD,AC)＝eq\f(12,13).3．解：(1)解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,2)x＋\f(3,2)，,y＝2x.))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2.))∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1，2)．(2)如圖，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥x軸于點(diǎn)C，則OC＝1，BC＝2.由eq\f(1,2)x＋eq\f(3,2)＝0，解得x＝－3.則A(－3，0)．∴OA＝3.∴AC＝4.∴AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝2eq\r(5).∴sin∠BAC＝eq\f(BC,AB)＝eq\f(2,2\r(5))＝eq\f(\r(5),5)，即sin∠BAO＝eq\f(\r(5),5).4．D5.B6.30°7．B點(diǎn)撥：如圖，設(shè)BC＝x.在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC＝30°，∴AB＝eq\r(3)x.根據(jù)題意，得AD＝BC＝x，AE＝DE＝AB＝eq\r(3)x.如圖，作EM⊥AD于M，則AM＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(1,2)x.cos∠EAD＝eq\f(AM,AE)＝eq\f(\f(1,2)x,\r(3)x)＝eq\f(\r(3),6).故選B.8．解：∵CD是斜邊AB的中線，∴CD＝AD＝BD.∴∠DCB＝∠B.∵∠ACD＋∠DCB＝90°，∠ACD＋∠CAH＝90°，∴∠DCB＝∠CAH＝∠B.在Rt△ACH中，AH＝2CH，∴AC＝eq\r(5)CH.∴sinB＝sin∠CAH＝eq\f(CH,\r(5)CH)＝eq\f(\r(5),5).技巧3：“化斜為直”構(gòu)造直角三角形的方法【類型】一、無(wú)直角、無(wú)等角的三角形作高1．如圖，在△ABC中，已知BC＝1＋eq\r(3)，∠B＝60°，∠C＝45°，求AB的長(zhǎng)．【類型】二、有直角、無(wú)三角形的圖形延長(zhǎng)某些邊2．如圖，在四邊形ABCD中，AB＝2，CD＝1，∠A＝60°，∠D＝∠B＝90°，求四邊形ABCD的面積．【類型】三、有三角函數(shù)值不能直接利用時(shí)作垂線3．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，DC⊥AC，sin∠BCD＝eq\f(1,3)，求tanA的值．【類型】四、求非直角三角形中角的三角函數(shù)值時(shí)構(gòu)造直角三角形4．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8.若∠BPC＝eq\f(1,2)∠BAC，求tan∠BPC的值．參考答案1．解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D.設(shè)BD＝x，在Rt△ABD中，AD＝BD·tanB＝x·tan60°＝eq\r(3)x.在Rt△ACD中，∵∠C＝45°，∴∠CAD＝90°－∠C＝45°.∴∠C＝∠CAD.∴CD＝AD＝eq\r(3)x.∵BC＝1＋eq\r(3)，∴eq\r(3)x＋x＝1＋eq\r(3).解得x＝1，即BD＝1.在Rt△ABD中，∵cosB＝eq\f(BD,AB)，∴AB＝eq\f(BD,cosB)＝eq\f(1,cos60°)＝2.2．解：如圖，延長(zhǎng)BC，AD交于點(diǎn)E.∵∠A＝60°，∠B＝90°，∴∠E＝30°.在Rt△ABE中，BE＝eq\f(AB,tanE)＝eq\f(2,tan30°)＝2eq\r(3).在Rt△CDE中，EC＝2CD＝2，∴DE＝EC·cos30°＝2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3).∴S四邊形ABCD＝SRt△ABE－SRt△ECD＝eq\f(1,2)AB·BE－eq\f(1,2)CD·ED＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)－eq\f(1,2)×1×eq\r(3)＝eq\f(3\r(3),2).點(diǎn)撥：本題看似是四邊形問(wèn)題，但注意到∠B＝90°，∠A＝60°，不難想到延長(zhǎng)BC，AD交于點(diǎn)E，構(gòu)造出直角三角形，將所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角三角形問(wèn)題來(lái)解決．3．解：如圖，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥CD，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，∴AD＝DB.又∵∠ACD＝∠BED＝90°，∠ADC＝∠BDE，∴△ACD≌△BED.∴CD＝DE，AC＝BE.在Rt△CBE中，sin∠BCE＝eq\f(BE,BC)＝eq\f(1,3)，∴BC＝3BE.∴CE＝eq\r(BC2－BE2)＝2eq\r(2)BE.∴CD＝eq\f(1,2)CE＝eq\r(2)BE＝eq\r(2)AC.∴tanA＝eq\f(CD,AC)＝eq\f(\r(2)AC,AC)＝eq\r(2).方法點(diǎn)撥：構(gòu)造直角三角形，把所要求的量與已知量建立關(guān)系是解題的關(guān)鍵．4．解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，∵AB＝AC＝5，∴BE＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(1,2)×8＝4，∠BAE＝eq\f(1,2)∠BAC.∵∠BPC＝eq\f(1,2)∠BAC，∴∠BPC＝∠BAE.在Rt△BAE中，由勾股定理得AE＝eq\r(AB2－BE2)＝eq\r(52－42)＝3，∴tan∠BPC＝tan∠BAE＝eq\f(BE,AE)＝eq\f(4,3).技巧4：構(gòu)造三角函數(shù)基本圖形解實(shí)際問(wèn)題的四種數(shù)學(xué)模型【類型】一、構(gòu)造一個(gè)直角三角形解實(shí)際問(wèn)題1．如圖是一輛小汽車與墻平行停放的平面示意圖，汽車靠墻一側(cè)OB與墻MN平行且距離為0.8m，已知小汽車車門寬AO為1.2m，當(dāng)車門打開(kāi)角度∠AOB為40°時(shí)，車門是否會(huì)碰到墻？請(qǐng)說(shuō)明理由(參考數(shù)據(jù)：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)．【類型】二、構(gòu)造形如“”的兩個(gè)直角三角形解實(shí)際問(wèn)題2．黔東南州某校吳老師組織九(1)班同學(xué)開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng)，帶領(lǐng)同學(xué)們測(cè)量學(xué)校附近一電線桿的高．已知電線桿直立于地面上，某天在太陽(yáng)光的照射下，電線桿的影子(折線BCD)恰好落在水平地面和斜坡上，在D處測(cè)得電線桿頂端A的仰角為30°，在C處測(cè)得電線桿頂端A的仰角為45°，斜坡與地面成60°角，CD＝4m，請(qǐng)你根據(jù)這些數(shù)據(jù)求電線桿的高(AB)(結(jié)果精確到1m，參考數(shù)據(jù)：eq\r(2)≈1.4，eq\r(3)≈1.7)．【類型】三、構(gòu)造形如“”的兩個(gè)直角三角形解實(shí)際問(wèn)題3．如圖，學(xué)校的實(shí)驗(yàn)樓對(duì)面是一幢教學(xué)樓，小敏在實(shí)驗(yàn)樓的窗口C測(cè)得教學(xué)樓頂部D的仰角為18°，教學(xué)樓底部B的俯角為20°，量得實(shí)驗(yàn)樓與教學(xué)樓之間的距離AB＝30m.(1)求∠BCD的度數(shù)．(2)求教學(xué)樓的高BD(結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：tan20°≈0.36，tan18°≈0.32)．【類型】四、構(gòu)造形如“”的兩個(gè)直角三角形解實(shí)際問(wèn)題4．如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組要測(cè)量一棟五層居民樓CD的高度．該樓底層為車庫(kù)，高2.5m；上面五層居住，每層高度相等．測(cè)角儀支架離地1.5m，在A處測(cè)得五樓頂部點(diǎn)D的仰角為60°，在B處測(cè)得四樓頂部點(diǎn)E的仰角為30°，AB＝14m．求居民樓的高度(結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：eq\r(3)≈1.73)．參考答案1．解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AC⊥OB，垂足為點(diǎn)C，在Rt△ACO中，∵∠AOC＝40°，AO＝1.2m，∴AC＝AO·sin∠AOC≈0.64×1.2＝0.768(m)．∵汽車靠墻一側(cè)OB與墻MN平行且距離為0.8m，∴車門不會(huì)碰到墻．2．解：延長(zhǎng)AD交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，作DH⊥BG于點(diǎn)H，如圖所示．在Rt△DHC中，∠DCH＝60°，CD＝4m，則CH＝CD·cos∠DCH＝4×cos60°＝2(m)，DH＝CD·sin∠DCH＝4×sin60°＝2eq\r(3)(m)．∵DH⊥BG，又易知∠G＝30°，∴HG＝eq\f(DH,tanG)＝eq\f(2\r(3),tan30°)＝6(m)．∴CG＝CH＋HG＝2＋6＝8(m)．設(shè)AB＝xm，∵AB⊥BG，∠G＝30°，∠BCA＝45°，∴BC＝xm，BG＝eq\f(AB,tanG)＝eq\f(x,tan30°)＝eq\r(3)xm.∵BG－BC＝CG，∴eq\r(3)x－x＝8.解得x≈11.答：電線桿的高約為11m.3．解：(1)如圖，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥BD于點(diǎn)E，則有∠DCE＝18°，∠BCE＝20°，∴∠BCD＝∠DCE＋∠BCE＝18°＋20°＝38°.(2)由題意得，CE＝AB＝30m，在Rt△CBE中，BE＝CE·tan20°，在Rt△CDE中，DE＝CE·tan18°，∴教學(xué)樓的高BD＝BE＋DE＝CE·tan20°＋CE·tan18°≈20.4(m)．答：教學(xué)樓的高約為20.4m.4．解：設(shè)每層樓高為xm，由題意得MC′＝MC－CC′＝2.5－1.5＝1(m)，則DC′＝(5x＋1)m，EC′＝(4x＋1)m.在Rt△DC′A′中，∠DA′C′＝60°，∴C′A′＝eq\f(DC′,tan60°)＝eq\f(\r(3),3)(5x＋1)m.在Rt△EC′B′中，∠EB′C′＝30°，∴C′B′＝eq\f(EC′,tan30°)＝eq\r(3)(4x＋1)m.∵A′B′＝C′B′－C′A′＝AB，∴eq\r(3)(4x＋1)－eq\f(\r(3),3)(5x＋1)＝14.解得x≈3.18.∴DC＝DC′＋CC′＝5x＋1＋1.5≈18.4(m)．答：居民樓的高度約為18.4m.【題型講解】【題型】一、銳角三角函數(shù)的定義例1、在中，，，，那么下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)勾股定理解出AB，再逐項(xiàng)根據(jù)三角函數(shù)的定義判斷即可．【詳解】根據(jù)勾股定理可得：，則；；；；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查銳角三角函數(shù)的定義，熟悉基本定義是解題關(guān)鍵．【題型】二、利用正弦的相關(guān)知識(shí)求解例2、如圖，在Rt△ACB中，，若，則的長(zhǎng)為（）A．8 B．12 C． D．【答案】C【提示】利用正弦的定義得出AB的長(zhǎng)，再用勾股定理求出BC.【詳解】解：∵sinB==0.5，∴AB=2AC，∵AC=6，∴AB=12，∴BC==，故選C.【題型】三、利用余弦的相關(guān)知識(shí)求解例3、在中，，如果，那么的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)，即可得出AB的值【詳解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，又∵∴AB=4故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查銳角三角函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考常考題型．【題型】四、利用正切的相關(guān)知識(shí)求解例4、如圖，在△ABC中，∠C＝90°，設(shè)∠A，∠B，∠C所對(duì)的邊分別為a，b，c，則（）A．c＝bsinB B．b＝csinB C．a(chǎn)＝btanB D．b＝ctanB【答案】B【提示】根據(jù)三角函數(shù)的定義進(jìn)行判斷，即可解決問(wèn)題．【詳解】∵Rt△ABC中，，、、所對(duì)的邊分別為a、b、c∴，即，則A選項(xiàng)不成立，B選項(xiàng)成立，即，則C、D選項(xiàng)均不成立故選：B．【題型】五、特殊角的三角函數(shù)值例5、如圖，等邊三角形ABC和正方形ADEF都內(nèi)接于⊙O，則（）

A． B． C． D．【答案】B【提示】過(guò)點(diǎn)O作，，設(shè)圓的半徑為r，根據(jù)垂徑定理可得△OBM與△ODN是直角三角形，根據(jù)三角函數(shù)值進(jìn)行求解即可得到結(jié)果．【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)O作，，設(shè)圓的半徑為r，

∴△OBM與△ODN是直角三角形，，∵等邊三角形ABC和正方形ADEF都內(nèi)接于，∴,，∴，，∴，，∴．故答案選B．【題型】六、解直角三角形例6、比薩斜塔是意大利的著名建筑，其示意圖如圖所示．設(shè)塔頂中心點(diǎn)為點(diǎn)，塔身中心線與垂直中心線的夾角為，過(guò)點(diǎn)向垂直中心線引垂線，垂足為點(diǎn)．通過(guò)測(cè)量可得、、的長(zhǎng)度，利用測(cè)量所得的數(shù)據(jù)計(jì)算的三角函數(shù)值，進(jìn)而可求的大?。铝嘘P(guān)系式正確的是（）A． B． C． D．【答案】A【提示】確定所在的直角三角形，找出直角，然后根據(jù)三角函數(shù)的定義求解；【詳解】由題可知，△ABD是直角三角形，，，,．選項(xiàng)B、C、D都是錯(cuò)誤的，故答案選A．【題型】七、利用解直角三角形解決實(shí)際問(wèn)題例7、如圖，小明利用學(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)測(cè)量大橋主架在水面以上的高度，在觀測(cè)點(diǎn)處測(cè)得大橋主架頂端的仰角為30°，測(cè)得大橋主架與水面交匯點(diǎn)的俯角為14°，觀測(cè)點(diǎn)與大橋主架的水平距離為60米，且垂直于橋面．（點(diǎn)在同一平面內(nèi)）（1）求大橋主架在橋面以上的高度；（結(jié)果保留根號(hào)）（2）求大橋主架在水面以上的高度．（結(jié)果精確到1米）（參考數(shù)據(jù)）【答案】（1）大橋主架在橋面以上的高度為米；（2）大橋主架在水面以上的高度約為50米．【提示】（1）在Rt△ACM中，根據(jù)銳角三角函數(shù)求出AM的長(zhǎng)度．（2）在Rt△BCM中，求出BM的長(zhǎng)度，再求出AB的長(zhǎng)度即可．【詳解】解：（1）垂直于橋面在中，（米）答：大橋主架在橋面以上的高度為米．

（2）在中，（米）答：大橋主架在水面以上的高度約為50米．解三角形（達(dá)標(biāo)訓(xùn)練）一、單選題1．如圖，在Rt△ABC中，，，，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，使點(diǎn)落在AB邊上，連結(jié)，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理可得AB＝5．根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得＝AC=3，=CB＝4，＝2．利用勾股定理可求出，從而求出．【詳解】解：在Rt△ABC中，AB==5，由旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得＝AC=3，=CB＝4，∴＝AB-=2，∵==2，∴．故答案為：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及解直角三角形，掌握解直角三角形是解題的關(guān)鍵．2．的值等于（

）A． B． C．1 D．【答案】D【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，即可得解．【詳解】解：．故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查特殊角的三角函數(shù)值，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．3．如圖，AB表示一條跳臺(tái)滑雪賽道，在點(diǎn)A處測(cè)得起點(diǎn)B的仰角為35°，底端點(diǎn)C與頂端點(diǎn)B的距離為50米，則賽道AB的長(zhǎng)度為（

）米．A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)即可解決問(wèn)題．【詳解】解：在Rt△ABC中，∵∠A=35°，BC=50米，∴sin35°=，∴AB=(米)．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題，掌握仰角俯角的意義是解決本題的關(guān)鍵．4．的值等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】tan30°=，代入式子即可．【詳解】tan30°=，則=，故選B．【點(diǎn)睛】本體考查了銳角三角函數(shù)值相關(guān)計(jì)算，比較簡(jiǎn)單，熟練掌握特殊角三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．5．如圖，點(diǎn)A為邊上的任意一點(diǎn)，作于點(diǎn)C，于點(diǎn)D，下列用線段比表示的值，錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)，，可得∠A+=90°∠ACD+∠A=90°，從而得∠ACD=，再根據(jù)正切的定義，即可求解．【詳解】解：∵，，∴∠ACB=∠BDC=∠ADC=90°，∴∠A+=90°∠ACD+∠A=90°，∴∠ACD=，∴，，，∴選項(xiàng)A、B、D正確，不符合題意；選項(xiàng)C錯(cuò)誤，符合題意．故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了求正切值，余角的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形中，銳角的正切值等于它的對(duì)邊與鄰邊的比值是解題的關(guān)鍵．二、填空題6．北京冬奧會(huì)雪上項(xiàng)目競(jìng)賽場(chǎng)地“首鋼滑雪大跳臺(tái)”巧妙地融入了敦煌壁畫“飛天”元素．如圖，賽道剖面圖的一部分可抽象為線段AB，已知坡AB的長(zhǎng)為30m，坡角∠ABH約為42°，則坡AB的鉛直高度AH約為_(kāi)_____m．（參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】20.1【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的定義計(jì)算，得到答案．【詳解】解：在Rt△ABH中，∠ABH=42°，AB=30m，∵sin∠ABH=，∴AH=AB?sin∠ABH≈30×0.67=20.1（m），故答案為：20.1．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用—坡度坡角問(wèn)題，掌握坡角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．7．如圖斜坡的坡比為，豎直高度為1米，則該斜坡的水平寬度為_(kāi)_____米．【答案】2【分析】根據(jù)坡比的定義和正切三角函數(shù)計(jì)算求值即可；【詳解】解：∵斜坡的坡比為，∴tan∠A=，∵BC=1米，∴AC=2米，故答案為：2；【點(diǎn)睛】本題考查了坡角、坡度（坡比）：坡面與水平面的夾角叫做坡角，坡面的鉛直高度和水平寬度的比叫做坡度，即坡角的正切；掌握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．三、解答題8．某校自開(kāi)展課后延時(shí)服務(wù)以來(lái)，組建了許多興趣小組，小明參加了數(shù)學(xué)興趣小組，在課外活動(dòng)中他們帶著測(cè)角儀和皮尺到室外開(kāi)展實(shí)踐活動(dòng)，當(dāng)他們走到一個(gè)平臺(tái)上時(shí)，發(fā)現(xiàn)不遠(yuǎn)處有一棵大樹(shù)，如圖所示，小明在平臺(tái)底部的點(diǎn)C處測(cè)得大樹(shù)的頂部B的仰角為60°，在平臺(tái)上的點(diǎn)E處測(cè)得大樹(shù)的頂部的仰角為30°．測(cè)量可知平臺(tái)的縱截面為矩形DCFE，DE＝2米，DC＝20米，求大樹(shù)AB的高．（精確到1米，參考數(shù)據(jù)：）【答案】20米【分析】延長(zhǎng)EF交AB于點(diǎn)G，設(shè)AB為x，利用三角函數(shù)解直角三角形用x表示出EG、AC，根據(jù)CD=EG﹣AC列出方程求出x即可．【詳解】延長(zhǎng)EF交AB于點(diǎn)G，如圖，設(shè)AB=x米，則BG=AB﹣2=（x﹣2）米，在Rt△BGE中，EG=（AB﹣2）÷tan∠BEG=，在Rt△BAC中CA=AB÷tan∠ACB=，則CD=EG﹣AC=，解得：．答：大樹(shù)AB的高約為20米．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，熟練掌握三角函數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵．解三角形（提升測(cè)評(píng)）一、單選題1．在△ABC中，∠A＝90°，若tanB＝0.75，則cosC的值為（

）A．0.5 B．0.6 C．0.8 D．【答案】C【分析】根據(jù)tanB的值，把AC、AB邊長(zhǎng)設(shè)為3t、4t，勾股定理求出BC邊，再利用三角函數(shù)的定義求解cosC．【詳解】在Rt△ABC中，∠A=90°，tanB==0.75=，設(shè)AC=3t，AB=4t，則BC=5t，故，cosC===0.8.故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的計(jì)算、勾股定理，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．2．如圖，在中，，則長(zhǎng)為（

）A．4 B．8 C． D．12【答案】B【分析】根據(jù)余弦的定義即可求解．【詳解】解：，，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了已知余弦求邊長(zhǎng)，掌握余弦的定義是解題的關(guān)鍵．3．如圖，在中，，分別以點(diǎn)A、C為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)M、N，作直線，分別交、于點(diǎn)D、E，連接，若，，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意得，DE是線段AC的垂直平分線，AE=CE，DE是的高，根據(jù)銳角三角函數(shù)得，即可得，過(guò)點(diǎn)B作，交AC于點(diǎn)F，根據(jù)銳角三角函數(shù)得，即可得，用的面積減去的面積即可得．【詳解】解：由題意得，DE是線段AC的垂直平分線，∴AE=CE，DE是的高，CD=DA=，∴，∴，如圖所示，過(guò)點(diǎn)B作，交AC于點(diǎn)F，∵，，∴，∴，∴，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了垂直平分線，銳角三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握這些知識(shí)點(diǎn)并能想到用的面積減去的面積即可得的面積．4．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4．下列四個(gè)選項(xiàng)，正確的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)勾股定理求出BC的長(zhǎng)，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求值即可得出答案．【詳解】解：如圖，∵∠C=90°，AB=5，AC=4，∴，A．，故該選項(xiàng)不符合題意；B．=0.8，故該選項(xiàng)不符合題意；C．=0.8，故該選項(xiàng)符合題意；D．=0.6，故該選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，銳角三角函數(shù)，牢記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．5．如圖，在中，，，，平分交于點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)為A．+1 B．2 C． D．-【答案】B【分析】作于，作于，分別解直角三角形求得，和，從而求得，設(shè)，在直角三角形中表示出，進(jìn)而根據(jù)列出方程求得，進(jìn)而求得結(jié)果．【詳解】如圖，作于，作于，在Rt中，，在Rt中，，，，在Rt中，設(shè)，在Rt中，，，由