組合數(shù)中的平均分組與非平均分組問題

平均分組與非平均分組一、重要結(jié)論先說結(jié)論：平均分組會產(chǎn)生重復(fù)，應(yīng)該用組合數(shù)除掉按組數(shù)的全排列，才為正確的分組數(shù)；不平均分組無重復(fù)，可直接用組合數(shù)計算，即為正確的分組數(shù)舉例論證如下：例1現(xiàn)有兩個元素=1\*GB3①=2\*GB3②，分成兩組，共有幾種情況解析：每組各一個元素，只有=1\*GB3①與=2\*GB3②這一種情況。但是用組合數(shù)去算，有種情況。產(chǎn)生了重復(fù)分組。重復(fù)的原因是因為按組數(shù)自動做了一個全排列。故正確的算法應(yīng)該為去掉這個全排列，為例2現(xiàn)有四個元素=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③=4\*GB3④，分成兩組，共有幾種情況解析：有兩類分組。第一類1+3型，共有4種情況，如下=1\*GB3①與=2\*GB3②=3\*GB3③=4\*GB3④；=2\*GB3②與=1\*GB3①=3\*GB3③=4\*GB3④；=3\*GB3③與=1\*GB3①=2\*GB3②=4\*GB3④；=4\*GB3④與=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③如果用組合數(shù)算為，符合這一類的分組情況，無重復(fù)第二類為2+2型，共有3種情況，如下=1\*GB3①=2\*GB3②與=3\*GB3③=4\*GB3④；=1\*GB3①=3\*GB3③與=2\*GB3②=4\*GB3④；=1\*GB3①=4\*GB3④與=2\*GB3②=3\*GB3③如果有組合數(shù)算，為，有重復(fù)。正確的算法應(yīng)該為我們可以發(fā)現(xiàn)，在本例中，第一類為非平均分組，組合數(shù)算的結(jié)果就是正確結(jié)果。第二類為平均分組，必須用組合數(shù)除以按組數(shù)的全排列才能得到正確結(jié)果。二、典例例1（1）6本不同的書，分為三份，一份一本，一份兩本，一份三本，有多少種分法（2）6本不同的書，分給甲乙丙三人，一人一本，一人兩本，一人三本，有多少種不同的分法解析：（1）為不平均分組問題，結(jié)果為（2）為不平均分組下的分配問題，分配問題最終是要排序的。如下例2（1）6本不同的書，分給甲乙丙三人，每人兩本，有多少種分法（2）6本不同的書，分為三份，每份兩本，有多少種分法解析：（1）為平均分組下的分配問題，分配問題最終要排序。所以應(yīng)該先取好元素分好組，然后再排序。第一步：分三組。因為平均分組有重復(fù)，因此要除以按組數(shù)的全排列才為正確分組。即第二步：把分好的組，再分配給三人，所以進行全排列即可。因此為答案就是90。平均分組自動暗含了分組加排序兩個步驟，也就是分組完成同時排序也完成，因此，像這類題，我們可以直接用即可（2）單純的平均分組。因此算出正確的分組情況即可。為例3（部分平均分組問題）6本不同的書，分給甲乙丙三人，每人至少一本，有多少種不同的分法。解析：本質(zhì)上是個分配問題，最后肯定要排序。顯然有三類情況，如下（1）114型，即一人一本，再一本也分一本，最后一人分四本。先分組為。這里解釋下分母。這里把書分三組，其中有兩種都是一本書，本數(shù)相同，因此這兩組為平均分組，會產(chǎn)生重復(fù)，所以要除以這兩組的全排列，即；也就是部分平均分組，有幾組是平均分的，為避免重復(fù)，就得去除這幾組的全排列。分組分好了，再排序即