新教材適用2024版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第7章立體幾何第6講空間向量的應(yīng)用課件

第七章立體幾何第六講空間向量的應(yīng)用知識(shí)梳理·雙基自測(cè)名師講壇·素養(yǎng)提升考點(diǎn)突破·互動(dòng)探究知識(shí)梳理·雙基自測(cè)知識(shí)點(diǎn)一兩個(gè)重要的向量(1)直線的方向向量直線的方向向量是指和這條直線平行(或重合)的非零向量，一條直線的方向向量有_________個(gè)．(2)平面的法向量直線l⊥平面α，取直線l的方向向量，則這個(gè)向量叫做平面α的法向量．顯然一個(gè)平面的法向量有_________個(gè)，它們是共線向量．無數(shù)無數(shù)知識(shí)點(diǎn)二空間位置關(guān)系的向量表示位置關(guān)系向量表示直線l1，l2的方向向量分別為n1，n2l1∥l2n1∥n2?n1＝λn2l1⊥l2n1⊥n2?n1·n2＝0直線l的方向向量為n，平面α的法向量為ml∥αn⊥m?m·n＝0l⊥αn∥m?n＝λm平面α、β的法向量分別為n、mα∥βn∥m?n＝λmα⊥βn⊥m?n·m＝0知識(shí)點(diǎn)三兩條異面直線所成角的求法設(shè)兩條異面直線a，b的方向向量分別為a，b，其夾角為θ，則cosφ

＝|cosθ|＝_________(其中φ為異面直線a，b所成的角)．知識(shí)點(diǎn)四直線和平面所成角的求法如圖所示，設(shè)直線l的方向向量為e，平面α的法向量為n，直線l與平

面α所成的角為φ，向量e與n的夾角為θ，則有sinφ＝|cosθ|＝_________.知識(shí)點(diǎn)五求二面角的大小(1)如圖①，AB，CD分別是二面角α－l－β的兩個(gè)面內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大小θ＝______________.(2)如圖②③，n1，n2分別是二面角α－l－β的兩個(gè)半平面α，β的法向

量，則二面角的大小θ滿足|cosθ|＝______，二面角的平面角大小是向量n1與n2的夾角(或其補(bǔ)角)．題組一走出誤區(qū)1．判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)兩直線的方向向量所成的角就是兩條直線所成的角．(

)(2)平面的單位法向量是唯一確定的．(

)(3)若兩平面的法向量平行，則兩平面平行．(

)(4)直線的方向向量和平面的法向量所成的角就是直線與平面所成的角．(

)(5)兩個(gè)平面的法向量所成的角是這兩個(gè)平面所成的角．(

)(6)若空間向量a平行于平面α，則a所在直線與平面α平行．(

)××√×××題組二走進(jìn)教材2．(選擇性必修1P20例2)如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中點(diǎn)，N是A1B1的中點(diǎn)，則直線ON，AM所成的角是_____.3．(選擇性必修1P44T13)正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，E為

CD的中點(diǎn)，則點(diǎn)D1到平面AEC1的距離為_________，AD1與平面AEC1所

成角的余弦值為_________.題組三走向高考4．(2019·浙江卷節(jié)選)如圖，已知三棱柱ABC－A1B1C1，平面A1ACC1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，A1A＝A1C＝AC，E，F(xiàn)分別是AC、A1B1的中點(diǎn)．證明：EF⊥BC.[證明]

證法一：連接A1E，因?yàn)锳1A＝A1C，E是AC的中點(diǎn)，所以A1E⊥AC.又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E?平面A1ACC1，平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，所以，A1E⊥平面ABC.如圖，以點(diǎn)E為原點(diǎn)，分別以射線EC，EA1為y，z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系E－xyz.證法二：連接A1E，因?yàn)锳1A＝A1C，E是AC的中點(diǎn)，所以A1E⊥AC.又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E?平面A1ACC1，平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，所以A1E⊥平面ABC，則A1E⊥BC.又因?yàn)锳1F∥AB，∠ABC＝90°，

故BC⊥A1F.所以BC⊥平面A1EF.因此EF⊥BC.5．(2022·新高考Ⅱ)如圖，PO是三棱錐P－ABC的高，PA＝PB，AB⊥AC，E為PB的中點(diǎn)．(1)證明：OE∥平面PAC；(2)若∠ABO＝∠CBO＝30°，PO＝3，PA＝5，求二面角C－AE－B的正弦值．[解析]

(1)證法一：連接OA，依題意，OP⊥平面ABC，又OA?平面ABC，OB?平面ABC，則OP⊥OA，OP⊥OB，∴∠POA＝∠POB＝90°，又PA＝PB，OP＝OP，則△POA≌△POB，∴OA＝OB，延長(zhǎng)BO交AC于點(diǎn)F，又AB⊥AC，則在Rt△ABF中，O為BF中點(diǎn)，連接PF，在△PBF中，O，E分別為BF，BP的中點(diǎn)，則OE∥PF，∵OE?平面PAC，PF?平面PAC，∴OE∥平面PAC；證法二：取AB的中點(diǎn)F，連OF，EF，∵PA＝PB，∴AB⊥PF，又OP⊥平面ABC，AB?平面ABC.∴AB⊥PO，從而AB⊥平面POF，∴AB⊥OF，又AB⊥AC，∴OF∥AC.又AC?平面PAC，OF?平面PAC.∴OF∥平面PAC，又E為PB的中點(diǎn)，∴EF∥AP，又AP?平面PAC，EF?平面PAC，∴EF∥平面PAC，從而平面EOF∥平面PAC，∴OE∥平面PAC.考點(diǎn)突破·互動(dòng)探究(2023·山東青島膠州實(shí)驗(yàn)學(xué)校期中)如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為梯形，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2，PA＝PD＝CD＝BC＝1，平面PAD⊥平面ABCD，E為AD的中點(diǎn)．(1)求證：PA⊥BD；(2)在線段AB上是否存在一點(diǎn)G，使得直線BC∥平面PEG？若存在，請(qǐng)證明你的結(jié)論；若不存在，請(qǐng)說明理由．例1考點(diǎn)一利用向量證明空間的平行與垂直——自主練透[解析]

(1)證明：取BA的中點(diǎn)H，連EH，在梯形ABCD中，由題意易知EH⊥AD，(1)建立空間直角坐標(biāo)系時(shí)盡可能地利用圖形中的垂直關(guān)系，要準(zhǔn)確寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而確定向量的坐標(biāo)．(2)用向量法證平行問題的類型及常用方法線線平行證明兩直線的方向向量共線線面平行①證明該直線的方向向量與平面的某一法向量垂直②證明該直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行③證明該直線的方向向量可以用平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量表示面面平行①證明兩平面的法向量平行(即為共線向量)②轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行問題(3)利用向量法證垂直問題的類型及常用方法線線垂直問題證明兩直線所在的方向向量互相垂直，即證它們的數(shù)量積為零線面垂直問題直線的方向向量與平面的法向量共線，或利用線面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為證明線線垂直面面垂直問題兩個(gè)平面的法向量垂直，或利用面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為證明線面垂直〔變式訓(xùn)練1〕如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，點(diǎn)E在線段BB1上，且EB1＝1，D，F(xiàn)，G分別為CC1，C1B1，C1A1的中點(diǎn)．(1)求證：平面A1B1D⊥平面ABD；(2)求證：平面EGF∥平面ABD.[證明]

以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BA，BC，BB1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則B(0,0,0)，D(0,2,2)，B1(0,0,4)，E(0,0,3)，F(xiàn)(0,1,4)．設(shè)BA＝a，則A(a,0,0)，例2考點(diǎn)二利用向量求空間的角——多維探究B[引申]本例中，若M，N分別為BC，AD的中點(diǎn)，則AM與CN所成角

的余弦值為_________.(1)求異面直線所成角的思路：①選好基底或建立空間直角坐標(biāo)系；②求出兩直線的方向向量v1，v2；角度2向量法求線面角

(2022·浙江高考真題)如圖，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，AB∥DC，DC∥EF，AB＝5，DC＝3，EF＝1，∠BAD＝∠CDE＝60°，二面角F－DC－B的平面角為60°.設(shè)M，N分別為AE，BC的中點(diǎn)．(1)證明：FN⊥AD；(2)求直線BM與平面ADE所成角的正弦值．例3[解析]

(1)證明：過點(diǎn)E、D分別作直線DC、AB的垂線EG、DH并分別交于點(diǎn)G、H.∵四邊形ABCD和EFCD都是直角梯形，AB∥DC，CD∥EF，AB＝5，DC＝3，EF＝1，∠BAD＝∠CDE＝60°，由平面幾何知識(shí)易知，DG＝AH＝2，∠EFC＝∠DCF＝∠DCB＝∠ABC＝90°，則四邊形EFCG和四邊形DCBH是矩形，∴DC⊥平面BCF，∠BCF是二面角F－DC－B的平面角，則∠BCF＝60°，∴△BCF是正三角形，由DC?平面ABCD，得平面ABCD⊥平面BCF，∵N是BC的中點(diǎn)，∴FN⊥BC，∴FN⊥平面ABCD，而AD?平面ABCD，∴FN⊥AD.(2)因?yàn)镕N⊥平面ABCD，過點(diǎn)N作AB平行線NK，所以以點(diǎn)N為原點(diǎn)，NK，NB、NF所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系N－xyz，角度3向量法求二面角

(2023·廣西北海模擬)如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，E為AA1的中點(diǎn)，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)．例4(1)證明：EF∥平面A1BC1；(2)若AC＝BC＝CC1＝2，求平面A1BC1與平面AEF所成二面角的正弦值．∴OF∥A1E，且A1E＝OF，∴四邊形OFEA1是平行四邊形，∴EF∥OA1，∵EF?平面A1BC1，A1O?平面A1BC1，∴EF∥平面A1BC1.(2)由AC，BC，CC1兩兩垂直，以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC，BC，CC1分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，2．找與棱垂直的方向向量法：分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點(diǎn)的兩個(gè)向量，則這兩個(gè)向量的夾角的大小就是二面角的大?。?2021·山東泰安市月考節(jié)選)如圖，四棱錐P－ABCD，底面ABCD為直角梯形，∠BAD＝90°，CD∥AB，CD＝3AB＝3AD＝3，△PAD為正三角形，E，F(xiàn)，G分別在線段BC，CD，AP上，DF＝2FC，BE＝2EC，PG＝2GA.證明：平面GBD∥平面PEF.例4考點(diǎn)三兩個(gè)平面平行的判定與性質(zhì)——師生共研C(3)(角度3)(2021·全國乙卷)如圖，四棱錐P－ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝1，M為BC的中點(diǎn)，且PB⊥AM.①求BC；②求二面角A－PM－B的正弦值．(2)①證明：取BC中點(diǎn)O，連接MO，因?yàn)镸B＝MC，所以MO⊥BC，因?yàn)槠矫鍹BC⊥平面ABC，因?yàn)槠矫鍹BC∩平面ABC＝BC，MO?平面MBC，所以O(shè)M⊥平面ABC，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，(3)①解法一(坐標(biāo)向量法)：因?yàn)镻D⊥平面ABCD，所以PD⊥AD，PD⊥DC.在矩形ABCD中，AD⊥DC，故可以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，[證明]

∵M(jìn)，N分別為PD，AD的中點(diǎn)，∴MN∥PA，又MN?平面PAB，PA?平面PAB，∴MN∥平面PAB.在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，CN＝AN，∴∠ACN＝60°.又∠BAC＝60°，∴CN∥AB.∵CN?平面PAB，AB?平面PAB，∴CN∥平面PAB.又CN∩MN＝N，CN，MN?平面CMN，∴平面CMN∥平面PAB.例5考點(diǎn)三利用向量求空間的距離——師生共研(1)證明：CF⊥平面ABD；(2)求點(diǎn)D到平面QCF的距離．[解析]

(1)證明：∵AB⊥平面BCD，CF?平面BCD，∴CF⊥AB，又BC＝CD，F(xiàn)為BD的中點(diǎn)，∴CF⊥BD.又AB∩BD＝B，AB?平面ABD，BD?平面ABD，∴CF⊥平面ABD.求點(diǎn)到平面距離常用的方法(1)定義法：通過求點(diǎn)P到平面垂線段的長(zhǎng)求得點(diǎn)到平面的距離．(1)求證：平面BMC1⊥平面A1BC1；(2)求點(diǎn)C到平面A1BC1的距離．因?yàn)锳B＝BC，M為線段AC的中點(diǎn)，所以AC⊥BM.又因?yàn)镃1M∩BM＝M，所以AC⊥平面BMC1.又因?yàn)锳C∥A1C1，所以A1C1⊥平面BMC1.又A1C1?平面A1BC1，所以平面BMC1⊥平面A1BC1.(2)因?yàn)槠矫鍭1ACC1⊥平面ABC，交線是AC，且C1M⊥AC，所以C1M⊥平面ABC.以M為原點(diǎn)，MB，MC，MC1分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：名師講壇·素養(yǎng)提升例6利用向量法解答立體幾何中的探究型問題[解析]

(1)證明：延長(zhǎng)BA，CD相交于點(diǎn)E，連接SE，則SE為平面SCD與平面SBA的交線l.證明如下：由平面SAB⊥平面ABCD，BA⊥AD，AD?平面ABCD，且平面SAB∩平面ABCD＝AB，所以AD⊥平面SAB，又由AD∥BC，所以BC⊥平面SAB，因?yàn)镾E?平面SAB