北師大版數(shù)學九年級上冊 2.1認識一元二次方程 2.6 應(yīng)用一元二次方程

2.6

應(yīng)用一元二次方程第二章

一元二次方程第1課時

行程(動點)問題及平均變化率問題問題引入

小明學習非常認真，學習成績直線上升，第一次月考數(shù)學成績是80分，第二次月考增長了

10％，第三次月考又增長了

10％，問他第三次數(shù)學成績是多少？例1

如圖，某海軍基地位于

A

處，在其正南方向

200n

mile處有一目標

B，在

B

的正東方向

200

n

mile處有一重要目標

C.小島

D

位于

AC

的中點，島上有一補給碼頭，小島

F

位于

BC

的中點.一艘軍艦沿

A

出發(fā)，經(jīng)

B

到

C

勻速巡航，一艘補給船同時從

D

出發(fā)，沿南偏西方向勻速直線航行，欲將一批物品送達軍艦.利用一元二次方程解決行程（動點）問題東北ABCDF(1)小島

D

與小島

F

相距多少海里?解：連接

DF.∵AD=CD，BF=CF，∴DF是△ABC的中位線.∴DF∥AB，且

DF=

AB，∵AB⊥BC，AB=BC=200nmile，∴DF⊥BC，DF=100nmile.東北ABCDF解:設(shè)相遇時補給船航行了

xnmile，那么DE=x

nmile，AB+BE=2xnmile，EF=

AB+

BF

-

(AB+BE)=

(300-2x)

nmile.在

Rt△DEF

中，根據(jù)勾股定理得方程

x2

=1002+(300

-

2x)2.即

3x2

-

1200x+

100000=0，解方程得

(舍)，

(2)已知軍艦的速度是補給船的

2

倍，軍艦在由

B

到

C

的途中與補給船相遇于

E

處，那么相遇時補給船航行了多少海里

(結(jié)果精確到0.1海里)？東北ABCDFE如圖，在矩形

ABCD

中，AB

=

6

cm，BC

=

12

cm，點

P

從點

A

開始沿

AB

邊向點

B

以

1

cm/s

的速度移動，點

Q

從點

B

開始沿邊

BC

向點

C

以

2

cm/s

的速度移動，如果

P、Q

分別從

A、B

同時出發(fā)，那么幾秒后五邊形

APQCD

的面積為

64

cm2？ABCDQP(6-t)2t針對練習解：設(shè)所需時間為ts，根據(jù)題意，得 2t(6-

t)÷2=6×12-

64.整理得t2

-

6t+8=0.解方程，得t1

=2，t2

=4.

答：在第2秒和第4秒是五邊形面積是64cm2.ABCDQP(6-t)2t

填空：假設(shè)某種糖的成本為每斤2元，售價為3元時，可賣100斤.(1)此時的利潤

w

=_____.(2)若售價漲了1元，每斤利潤為_____元，同時少買了10斤，銷售量為_____斤，利潤

w

=_______.(3)若售價漲了2元，每斤利潤為_____元，同時少買了20斤，銷售量為____斤，利潤

w

=_______.100元290180元380240元合作探究平均變化率問題與一元二次方程(4)若售價漲了3元，每斤利潤為____元，

同時少買了30斤，銷售量為____斤，利潤

w

=______.(5)若售價漲了4元，每斤利潤為____元，

同時少買了40斤，銷售量為____斤，利潤

w

=_______.(6)若售價漲了

x元，每斤利潤為______元，

同時少買了_____斤，銷售量為___________斤，利潤

w

=_____________________.45(1+x)7060(100-

10x)10x280元300元(1

+

x)×(100

-

10x)元漲價售價成本單件利潤少賣量銷售量總利潤3+x3

-

2+x10x100

-

10xw=(3

-

2+x)×(100

-

10x)試一試：假設(shè)某種糖的成本每斤為2元，售價為3元時，可賣100斤.每漲1元，少賣10斤.設(shè)利潤為

x元，則總利潤

w為多少元（用含有

x的式子表示出來）？01234x22222233+13+23+33+403-23

-

2+13

-

2+23

-

2+33

-

2+410×410×310×210×1100100

-

10×1100

-

10×2100

-

10×3100

-

10×4w=(3

-

2)×100w=(3

-

2+1)×(100

-

10×1)w=(3

-

2+3)×(100

-

10×3)w=(3

-

2+4)×(100

-

10×4)w=(3

-

2+2)×(100

-

10×2）每漲一元少賣十斤總利潤（售價-進價）×銷售量

=

總利潤單件利潤×銷售量=漲價售價成本單件利潤少賣量銷售量總利潤3+x3

-

2+x10x100

-

10xw=(3

-

2+x)×(100

-

10x)01234x22222233+13+23+33+403-23

-

2+13

-

2+23

-

2+33

-

2+410×410×310×210×1100100

-

10×1100

-

10×2100

-

10×3100

-

10×4w=(3

-

2)×100w=(3

-

2+1)×(100

-

10×1)w=(3

-

2+3)×(100

-

10×3)w=(3

-

2+4)×(100

-

10×4)w=(3

-

2+2)×(100

-

10×2）填空：1.前年生產(chǎn)1噸甲種藥品的成本是5000元，隨著生產(chǎn)技術(shù)的進步，去年生產(chǎn)1噸甲種藥品的成本是4650元，則下降率是

.如果保持這個下降率，則現(xiàn)在生產(chǎn)1噸甲種藥品的成本是

元.探究歸納7％4324.5下降率=下降前的量-下降后的量下降前的量×100％2.前年生產(chǎn)1噸甲種藥品的成本是5000元，隨著生產(chǎn)技術(shù)的進步，設(shè)下降率是

x，則去年生產(chǎn)1噸甲種藥品的成本是

元，如果保持這個下降率，那么現(xiàn)在生產(chǎn)1噸甲種藥品的成本是

元.下降率

x第一次降低前的量5000(1

-

x)第一次降低后的量5000下降率

x第二次降低后的量第二次降低前的量5000(1

-

x)(1

-

x)5000(1

-

x)25000(1-

x)5000(1

-

x)2例2

前年生產(chǎn)1噸甲種藥品的成本是5000元，隨著生產(chǎn)技術(shù)的進步，現(xiàn)在生產(chǎn)1噸甲種藥品的成本是4050元，試求甲種藥品成本的年平均下降率.解：設(shè)甲種藥品的年平均下降率為

x.根據(jù)題意，列方程，得5000

(1

-

x)2

=4050，解方程，得x1

=0.1，x2

=1.9.根據(jù)問題的實際意義，取

x=0.1，即甲種藥品成本的年平均下降率為10％.注意下降率不可為負，且不大于1.練一練：

前年生產(chǎn)1噸乙種藥品的成本是6000元，隨著生產(chǎn)技術(shù)的進步，現(xiàn)在生產(chǎn)1噸乙種藥品的成本是3600元，試求乙種藥品成本的年平均下降率.解：設(shè)乙種藥品的年平均下降率為

y.根據(jù)題意，列方程，得

6000(1?y)2=3600解方程，得

y1≈0.225，

y2≈1.775.根據(jù)問題的實際意義，取

y≈0.225，即甲種藥品成本的年平均下降率為

22.5％.注意下降率不可為負，且不大于

1.解后反思

答：不能.甲種藥品成本的年平均下降額為（5000

-

3000）÷2=1000元，乙種藥品成本的年平均下降額為（6000

-

3000）÷2=1200元，顯然，乙種藥品成本的年平均下降額較大，但甲的年平均下降率大于乙．

問題1

藥品年平均下降額大能否說年平均下降率（百分數(shù)）就大呢？

問題2

你能總結(jié)出有關(guān)增長率和下降率的有關(guān)數(shù)量關(guān)系嗎？

類似地，這種增長率的問題在實際生活中普遍存在，有一定的模式.若平均增長(或下降)百分率為

x，增長(或下降)前的是

a，增長(或下降)n

次后的量是

b，則它們的數(shù)量關(guān)系可表示為a(1±x)n

=b(其中增長取“＋”，下降取“－”).變式1某藥品經(jīng)兩次降價，零售價降為原來的一半.

已知兩次降價的百分率一樣，求每次降價的百分率.（精確到

0.1％）解：設(shè)原價為

1，每次降價的百分率為x.根據(jù)題意，得

解方程，得

答：每次降價的百分率為

29.3％.

變式2

某藥品兩次漲價，零售價漲為原來的1.2倍，已知兩次漲價的百分率一樣，求每次漲價的百分率.（精確到

0.1％）解：設(shè)原價為

a元，每次升價的百分率為

x，根據(jù)題意，得

解這個方程，得

∵漲價的百分率不可能是負數(shù)，∴

(不合題意，舍去)答：每次漲價的百分率為

9.5％.

例3

某公司去年的各項經(jīng)營中，一月份的營業(yè)額為

200

萬元，一月、二月、三月的營業(yè)額共

950

萬元，如果平均每月營業(yè)額的增長率相同，求平均增長率是多少？

解：設(shè)平均增長率為

x.根據(jù)題意，得答：平均增長率為

50％.200+200(1

+

x)+200(1

+

x)2

=950，整理方程，得4x2

+12x-7=0.解得x1=?3.5(舍去)，x2=0.5=50％.

1.

某廠今年一月份的總產(chǎn)量為

500

噸，三月份的總產(chǎn)量為

720

噸，平均每月的增長率是

x，則可列方程()

A.

500(1

+

2x)

=

720B.

500(1

+

x)2

=

720

C.

500(1

+

x2)

=

720D.

720(1

+

x)2

=

500

2.

某校去年對實驗器材的投資為

2

萬元，預(yù)計今明兩年的投資總額為

8

萬元．若設(shè)該校今明兩年在實驗器材投資上的平均增長率是

x，則可列方程為

.B2(1+x)+2(1+x)2

=83.某村種的水稻前年平均每公頃產(chǎn)

7200

千克，今年平均每公頃產(chǎn)

8712

千克，求該村這兩年水稻每公頃產(chǎn)量的年平均增長率.解：設(shè)該村這兩年水稻每公頃產(chǎn)量的年平均增長率為

x.

根據(jù)題意，得7200(1

+

x)2

=8712.

解得

x1

=-1.1

(不符合題意，舍去)，x2

=0.1=10％.答：該村這兩年水稻每公頃產(chǎn)量的年平均增長率為

10％.能力提升菜農(nóng)大偉種植的某蔬菜，計劃以每千克5元的價格對外批發(fā)銷售.由于部分菜農(nóng)盲目擴大種植，造成該蔬菜滯銷，大偉為了加快銷售，減少損失，對價格經(jīng)過兩次下調(diào)后，以每千克3.2元的價格對外批發(fā)銷售.（1）求平均每次下調(diào)的百分率；解：設(shè)平均每次下調(diào)的百分率為

x，由題意，得5(1

-

x)2

=3.2.

解得

x1

=1.8(舍去)，x2

=0.2=20％.

∴平均每次下調(diào)的百分率為20％.（2）小華準備到大偉處購買5噸該蔬菜，因數(shù)量多，大偉決定再給予兩種優(yōu)惠方案以供選擇：方案一，打九折銷售；方案二，不打折，每噸優(yōu)惠現(xiàn)金200元.試問小華選擇哪種方案優(yōu)惠更多？請說明理由.解：小華選擇方案一購買更優(yōu)惠，理由如下：

方案一所需費用為3.2×0.9×5000=14400(元)，

方案二所需費用為3.2×5000

-

200×5=15000(元).

∵14400＜15000，

∴

小華選擇方案一購買優(yōu)惠更多.利用一元二次方程解決行程問題列方程步驟：應(yīng)用類型行程問題平均變化率問題面積問題動點問題審設(shè)列解檢答2.6

應(yīng)用一元二次方程

第二章

一元二次方程第2課時

營銷問題及其他問題情境引入每到節(jié)日，各種促銷迎面而來，如果你是商場經(jīng)理，該如何定制營銷方案呢？利用一元二次方程解決營銷問題例1某商場銷售某種冰箱，每臺進價為2500元.市場調(diào)研表明：當銷售價為2900元時，平均每天能售出8臺；而當銷價每降低50元時，平均每天能多售4臺.商場要想使這種冰箱的銷售利潤平均每天達到5000元，每臺冰箱的定價應(yīng)為多少元?分析：本題的主要等量關(guān)系是：每臺的銷售利潤×平均每天銷售的數(shù)量

=5000元.解：設(shè)每臺冰箱降價

x元，根據(jù)題意，得整理得：x2-300x+22500=0.解方程得：

x1=x2=150.

∴2900-

x=2900-150=2750.

答：每臺冰箱的定價應(yīng)為

2750元.例2某超市將進貨單價為40元的商品按50元出售時，能賣500個，已知該商品漲價1元，其銷售量就減少10個，為了賺8000元利潤，售價應(yīng)定為多少，這時應(yīng)進貨多少個？分析：設(shè)商品單價為(50+

x)元，則每個商品得利潤[(50

+

x)-

40]元，因為每漲價

1

元，其銷售會減少

10個，設(shè)每個漲價

x元，其銷售量會減少10x個，故銷售量為(500

-

10x)個，根據(jù)每件商品的利潤×件數(shù)=8000，則(500

-

10x)·[(50

+

x)

-

40]=8000.解：設(shè)每個商品漲價

x元，則銷售價為

(50+

x)元，銷售量為

(500

-

10x)個，則

(500

-

10x)·[(50

+

x)

-

40]=8000，即x2

-

40x

+

300=0.解得

x1=10，x2=30都符合題意.當

x=10時，50

+

x=60，500

-

10x=400；當

x=30時，50

+

x=80，500

-

10x=200.答：要想賺8000元，售價為60元或80元；若售價為60元，則進貸量應(yīng)為400；若售價為80元，則進貸量應(yīng)為200個.

某花圃用花盆培育某種花苗，經(jīng)過試驗發(fā)現(xiàn)每盆的盈利與每盆的株數(shù)構(gòu)成一定的關(guān)系.每盆植入3株時，平均單株盈利3元；以同樣的栽培條件，若每盆增加1株，平均單株盈利就減少0.5元.要使每盆的盈利達到10元，每盆應(yīng)該種多少株?思考:這個問題設(shè)什么為

x?有幾種設(shè)法?如果直接設(shè)每盆植

x

株，怎樣表示問題中相關(guān)的量?

如果設(shè)每盆花苗增加的株數(shù)為

x株呢？針對練習解：設(shè)每盆花苗增加的株數(shù)為

x株，則每盆花苗有

(x+3)株，平均單株盈利為

(3-0.5x)元.根據(jù)題意，得(x+3)(3-0.5x)=10.

整理得x2

-3x+2=0.解方程，得

x1=1，x2=2.經(jīng)檢驗，x1=1，x2=2

都符合題意.答：要使每盆的盈利達到10元，每盆可植入4株或5株.總結(jié)歸納

利潤問題常見關(guān)系式基本關(guān)系：(1)利潤＝售價－________；

(2)利潤率＝×100％； (3)總利潤＝____________×銷量.進價單個利潤傳播問題與一元二次方程引例：有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有121人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人?

分析：設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染了

x個人.傳染源記作

A，其傳染示意圖如下：合作探究第2輪???A12x第1輪第1輪傳染后人數(shù)x+1A第2輪傳染后人數(shù)x(x+1)+x+1注意:不要忽視A的二次傳染x1=

x2=

.根據(jù)示意圖，列表如下：解方程，得答：平均一個人傳染了______個人.-1210(不合題意，舍去)，10解：設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染了

x個人.(1+x)2=121.注意：一元二次方程的解有可能不符合題意，所以一定要進行檢驗.傳染源人數(shù)第1輪傳染后的人數(shù)第2輪傳染后的人數(shù)

1

1+x=(1+x)11+x+x(1+x)=(1+x)2根據(jù)題意，得想一想：如果按照這樣的傳染速度，三輪傳染后有多少人患流感?第

2

種做法

以第

2

輪傳染后的人數(shù)

121為傳染源，傳染一次后就是：121(1+x)=121×(1+10)=1331(人).第一輪傳染后的人數(shù)第二輪傳染后的人數(shù)第三輪傳染后的人數(shù)(1+x)1(1+x)2

分析

第

1種做法

以

1

人為傳染源，3

輪傳染后的人數(shù)是(1+x)3

=(1+10)3

=1331(人).(1+x)3傳染源新增患者人數(shù)本輪結(jié)束患者總?cè)藬?shù)第1輪11?x=x1+x第2輪1+x(1+x)?x1+x+(1+x)?x=第3輪

第

n輪思考：如果按這樣的傳染速度，n

輪傳染后有多少人患流感？(1+x)2(1+x)n(1+x)3經(jīng)過

n輪傳染后共有(1+x)n

人患流感.(1+x)2(1+x)2?x(1+x)2

+

(1

+

x)2?x

=例3

某種植物的主干長出若干數(shù)目的支干，每個支干又長出同樣數(shù)目的小分支，主干，支干和小分支的總數(shù)是133，每個支干長出多少小分支?主干支干支干……小分支小分支……小分支小分支…………xxx1解：設(shè)每個支干長出

x

個小分支，則1+x+x2=133，即

x2

+x?132=

0.解得

x1

=

?12(舍)，x2

=11.答：每個支干長出

11

個小分支.交流討論1.在分析引例和例3中的數(shù)量關(guān)系時它們有何區(qū)別？每個支干只分裂一次，而每名患者每輪都傳染.2.解決這類傳播問題有什么經(jīng)驗和方法？（1）審題，設(shè)元，列方程，解方程，檢驗，作答；（2）可利用表格梳理數(shù)量關(guān)系；（3）關(guān)注起始值、新增數(shù)量，找出變化規(guī)律.方法歸納建立一元二次方程模型實際問題分析數(shù)量關(guān)系設(shè)出未知數(shù)實際問題的解解一元二次方程一元二次方程的根檢驗運用一元二次方程模型解決實際問題的步驟有哪些？例4某種電腦病毒傳播速度非?？欤绻慌_電腦被感染，經(jīng)過兩輪感染后就會有

100臺電腦被感染．請你用學過的知識分析，每輪感染中平均一臺電腦會感染幾臺電腦？若病毒得不到有效控制，4輪感染后，被感染的電腦會不會超過

7000

臺？解：設(shè)每輪感染中平均一臺電腦會感染x

臺電腦，則1＋x＋x(1＋x)＝100，即(1＋x)2＝100.解得x1＝－11(舍去)，x2＝9．∴x＝9.4輪感染后，被感染的電腦數(shù)為

(1＋x)4＝104＞7000.答：每輪感染中平均每一臺電腦會感染

9臺電腦，4輪感染后，被感染的電腦會超過

7000臺．1.電腦勒索病毒的傳播非?？?，如果開始有60臺電腦被感染，經(jīng)過兩輪感染后共有2400臺電腦被感染.

每輪感染中平均一臺電腦會感染幾臺電腦？練一練解：設(shè)每輪感染中平均一臺電腦會感染

x

臺電腦.答：每輪感染中平均一臺電腦會感染

19

臺電腦.解得

x1

=-21(舍去)，

x2

=19.

依題意列方程

60+60x

+

60x(1

+

x)

=2400整理得60(1

+

x)2

=24002.某種細胞分裂時，每個細胞在每輪分裂中分成兩個細胞.（1）經(jīng)過三輪分裂后細胞的個數(shù)是

.（2）n輪分裂后，細胞的個數(shù)共是

.82n起始值新增細胞本輪結(jié)束細胞總數(shù)第1輪

第2輪

第3輪

第

n輪122244488=22=23=212n1.國慶將至，九年級一班全體學生互贈賀卡，共贈賀卡

1980張，問九年級一班共有多少名學生？設(shè)九年級一班共有

x名學生，那么所列方程為（）A.x2=1980B.

x(x

+

1)=1980C.x(x-

1)

=

1980D.x(x

-

1)=1980D2.有一根月季，它的主干長出若干數(shù)目的支干，每個支干又長出同樣數(shù)目的小分支，主干、支干、小分支的總數(shù)是

73，設(shè)每個支干長出

x個小分支，根據(jù)題意可列方程為（）

A.1

+

x

+

x(1

+

x)

=

73B.1

+

x

+

x2

=

73C.1

+

x2=

73D.(1

+

x)2

=

73B3.早期，甲肝流行，傳染性很強.