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2.1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程(2)2.1橢圓分母哪個(gè)大,焦點(diǎn)就在哪個(gè)軸上平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1,F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于F1F2)的點(diǎn)的軌跡標(biāo)準(zhǔn)方程相同點(diǎn)焦點(diǎn)位置的判斷不同點(diǎn)圖形焦點(diǎn)坐標(biāo)定義a、b、c的關(guān)系根據(jù)所學(xué)知識(shí)完成下表:xyF1F2POxyF1F2POa2-c2=b2橢圓方程有特點(diǎn)系數(shù)為正加相連分母較大焦點(diǎn)定右邊數(shù)“1”記心間答:在x軸。(-3,0)和(3,0)答:在y軸。(0,-5)和(0,5)答:在y軸。(0,-1)和(0,1)判斷橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上的準(zhǔn)則:

焦點(diǎn)在分母大的那個(gè)軸上例1、判定下列橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程在哪個(gè)軸上,并寫(xiě)出焦點(diǎn)坐標(biāo)。典例展示例2.橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(-4,0)(4,0),橢圓上一點(diǎn)M

到兩焦點(diǎn)距離之和等于10,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。12yoFFMx解:∵橢圓的焦點(diǎn)在x軸上∴設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為:∵2a=10,2c=8∴a=5,c=4∴b2=a2-c2=52-42=9∴所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的解題步驟:(1)一定焦點(diǎn)位置

(2)二設(shè)橢圓方程;

(3)三求a、b的值.(待定系數(shù)法)

(4)寫(xiě)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

利用定義法求軌跡方程例1.已知兩圓C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9,動(dòng)圓在圓C1內(nèi)部且和圓C1內(nèi)切,和圓C2外切,求動(dòng)圓圓心的軌跡方程.滿足橢圓的定義利用橢圓的定義求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程,應(yīng)先根據(jù)動(dòng)點(diǎn)具有的條件,驗(yàn)證是否符合橢圓的定義,即動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之和是否是一常數(shù),且該常數(shù)(定值)大于兩點(diǎn)的距離,若符合,則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為橢圓,然后確定橢圓的方程.這就是用定義法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方法,要注意檢驗(yàn).例2、已知△ABC,A(-2,0),B(0,-2),第三個(gè)頂點(diǎn)C在曲線y=3x2-1上移動(dòng),求△ABC的重心的軌跡方程.

運(yùn)用(相關(guān)點(diǎn)法)代入法求軌跡方程xyODMP

2.如圖,在圓上任取一點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線段PD,D為垂足.當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),線段PD的中點(diǎn)M的軌跡是什么?為什么?解:設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,y0),

則因?yàn)辄c(diǎn)P(x0,y0)在圓..①例3如圖,設(shè)點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別是(-5,0)和(5,0),直線AM,BM相交于點(diǎn)M,且它們的斜率之積是,求點(diǎn)M的軌跡方程.yAxMBO解:設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)(x,y),因?yàn)辄c(diǎn)A的坐標(biāo)是(-5,0),所以,直線AM的斜率為運(yùn)用直接法求軌跡方程例4.忽略橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的隱含條件致誤

答案:B1.求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程常用待定系數(shù)法.首先,要恰當(dāng)?shù)剡x擇方程的形式,如果不能確定焦點(diǎn)的位置,可用兩種方法來(lái)解決問(wèn)題.2.求軌跡方程的常用方法:(1)直接法當(dāng)動(dòng)點(diǎn)直接與已知條件發(fā)生聯(lián)系時(shí),在設(shè)出曲線上動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y)后,可根據(jù)幾何條件轉(zhuǎn)換成x,y間的關(guān)系式,從而得到軌跡方程,這種求軌跡方程的方法稱(chēng)為直接法.(2)定義法若動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的幾何條件滿足某種已知曲線的定義,可以設(shè)出其標(biāo)準(zhǔn)方程,然后用待定系數(shù)法求解,這種求軌跡方程的方法稱(chēng)為定義法.(3)相關(guān)點(diǎn)法有些問(wèn)題中的動(dòng)點(diǎn)軌跡是由另一動(dòng)點(diǎn)按照某種規(guī)律運(yùn)動(dòng)而形成的,只要把所求動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)“轉(zhuǎn)移”到另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)中所遵循的條件中去,即可解決問(wèn)題,這種方法稱(chēng)為相關(guān)點(diǎn)法.課后練習(xí)課后習(xí)題D課后練習(xí)

2.一個(gè)動(dòng)圓與已知圓Q1:(x+3)2+y2=1外切,與圓Q2:(x-3)2+y2=81內(nèi)切,試求這個(gè)動(dòng)圓圓心的軌跡方程.【解析】由已知兩定圓的圓心和半徑分別為Q1(-3,0),r1=1;Q2(3,0),r2=9.設(shè)動(dòng)圓圓心為M(x,y),半徑為R,如圖所示,則由題設(shè)有|MQ1|=1+R,|MQ2|=9-R,∴|MQ1|+|MQ2|=10>|Q1Q2|=6.由橢圓定義可知M在以Q1,Q2為焦點(diǎn)的橢圓上,且a=5,c=3.∴b2=a2-c2=25-9=16.故動(dòng)圓圓心的軌跡方程為課后習(xí)題解析:當(dāng)0<λ<1時(shí),點(diǎn)M的軌跡是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓;當(dāng)λ=1時(shí),點(diǎn)M的軌跡是圓;當(dāng)λ>1時(shí),點(diǎn)M的軌跡是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓.3.已知橢圓的焦點(diǎn)是F1,F(xiàn)2,P是橢圓上的一動(dòng)點(diǎn),如果延長(zhǎng)F1P到Q,使得|PQ|=|PF2|,那么動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是(

).A.圓B.橢圓C.雙曲線的一支D.拋物線解析:如圖,依題意:|PF1|+|PF2|=2a(a>0是常數(shù)).

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