排列組合教案

第一章計(jì)數(shù)原理1．1分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理1分類加法計(jì)數(shù)原理分類加法計(jì)數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有種不同的方法，在第2類方案中有種不同的方法.那么完成這件事共有種不同的方法.完成一件事情，有n類辦法，在第1類辦法中有種不同的方法，在第2類辦法中有種不同的方法……在第n類辦法中有種不同的方法.那么完成這件事共有種不同的方法.2分步乘法計(jì)數(shù)原理完成一件事有兩個(gè)步驟，在第1個(gè)中有種不同的方法，在第2個(gè)中有種不同的方法.那么完成這件事共有種不同的方法.一般歸納：完成一件事情，需要分成n個(gè)步驟，做第1步有種不同的方法，做第2步有種不同的方法……做第n步有種不同的方法.那么完成這件事共有種不同的方法.3．理解分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理異同點(diǎn)①相同點(diǎn)：都是完成一件事的不同方法種數(shù)的問題②不同點(diǎn)：分類加法計(jì)數(shù)原理針對的是“分類”問題，完成一件事要分為若干類，各類的方法相互獨(dú)立，各類中的各種方法也相對獨(dú)立，用任何一類中的任何一種方法都可以單獨(dú)完成這件事，是獨(dú)立完成；而分步乘法計(jì)數(shù)原理針對的是“分步”問題，完成一件事要分為若干步，各個(gè)步驟相互依存，完成任何其中的一步都不能完成該件事，只有當(dāng)各個(gè)步驟都完成后，才算完成這件事，是合作完成.3綜合應(yīng)用例3.書架的第1層放有4本不同的計(jì)算機(jī)書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放2本不同的體育書.①從書架上任取1本書，有多少種不同的取法？②從書架的第1、2、3層各取1本書，有多少種不同的取法？③從書架上任取兩本不同學(xué)科的書，有多少種不同的取法？解：(1)從書架上任取1本書，有3類方法：第1類方法是從第1層取1本計(jì)算機(jī)書，有4種方法；第2類方法是從第2層取1本文藝書，有3種方法；第3類方法是從第3層取1本體育書，有2種方法．根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，不同取法的種數(shù)是=4+3+2=9;(2）從書架的第1,2,3層各取1本書，可以分成3個(gè)步驟完成：第1步從第1層取1本計(jì)算機(jī)書，有4種方法；第2步從第2層取1本文藝書，有3種方法；第3步從第3層取1本體育書，有2種方法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同取法的種數(shù)是=4×3×2=24.（3）。例4.要從甲、乙、丙3幅不同的畫中選出2幅，分別掛在左、右兩邊墻上的指定位置，問共有多少種不同的掛法？解：從3幅畫中選出2幅分別掛在左、右兩邊墻上，可以分兩個(gè)步驟完成：第1步，從3幅畫中選1幅掛在左邊墻上，有3種選法；第2步，從剩下的2幅畫中選1幅掛在右邊墻上，有2種選法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同掛法的種數(shù)是N=3×2=6.1．2．1排列排列的概念：從個(gè)不同元素中，任取（）個(gè)元素（這里的被取元素各不相同）按照一定的順序排成一列，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的一個(gè)排列說明：（1）排列的定義包括兩個(gè)方面：①取出元素，②按一定的順序排列；排列數(shù)的定義：從個(gè)不同元素中，任取（）個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)叫做從個(gè)元素中取出元素的排列數(shù)，用符號(hào)表示注意區(qū)別排列和排列數(shù)的不同：“一個(gè)排列”是指：從個(gè)不同元素中，任取個(gè)元素按照一定的順序排成一列，不是數(shù)；“排列數(shù)”是指從個(gè)不同元素中，任?。ǎ﹤€(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，是一個(gè)數(shù)所以符號(hào)只表示排列數(shù)，而不表示具體的排列排列數(shù)公式及其推導(dǎo)：（）說明：（1）公式特征：第一個(gè)因數(shù)是，后面每一個(gè)因數(shù)比它前面一個(gè)少1，最后一個(gè)因數(shù)是，共有個(gè)因數(shù)；（2）全排列：當(dāng)時(shí)即個(gè)不同元素全部取出的一個(gè)排列全排列數(shù)：（叫做n的階乘） 另外，我們規(guī)定0!=1.排列數(shù)的另一個(gè)計(jì)算公式：=.即=例2．解方程：3．解：由排列數(shù)公式得：，∵，∴，即，解得或，∵，且，∴原方程的解為．例7．(課本例2)．某年全國足球甲級（A組）聯(lián)賽共有14個(gè)隊(duì)參加，每隊(duì)要與其余各隊(duì)在主、客場分別比賽一次，共進(jìn)行多少場比賽？解：任意兩隊(duì)間進(jìn)行1次主場比賽與1次客場比賽，對應(yīng)于從14個(gè)元素中任取2個(gè)元素的一個(gè)排列．因此，比賽的總場次是=14×13=182.例8．(課本例3)．(1）從5本不同的書中選3本送給3名同學(xué)，每人各1本，共有多少種不同的送法？(2）從5種不同的書中買3本送給3名同學(xué)，每人各1本，共有多少種不同的送法？1．2．2組合組合的概念：一般地，從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素并成一組，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的一個(gè)組合說明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——無序性；組合數(shù)的概念：從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的組合數(shù)．用符號(hào)表示．排列是先組合再排列推廣：一般地，求從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，可以分如下兩步：①先求從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)；②求每一個(gè)組合中m個(gè)元素全排列數(shù)，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理得：＝．（3）組合數(shù)的公式：或規(guī)定:.例8．在100件產(chǎn)品中，有98件合格品，2件次品．從這100件產(chǎn)品中任意抽出3件.(1）有多少種不同的抽法？(2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少種？(3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少種？解：(1）所求的不同抽法的種數(shù)，就是從100件產(chǎn)品中取出3件的組合數(shù)，所以共有=161700（種）.(2）從2件次品中抽出1件次品的抽法有種，從98件合格品中抽出2件合格品的抽法有種，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有=9506(種).(3）解法1從100件產(chǎn)品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品兩種情況．在第（2）小題中已求得其中1件是次品的抽法有種，因此根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有+=9604（種）.解法2抽出的3件產(chǎn)品中至少有1件是次品的抽法的種數(shù)，也就是從100件中抽出3件的抽法種數(shù)減去3件中都是合格品的抽法的種數(shù)，即=161700-152096=9604（種）.說明：“至少”“至多”的問題，通常用分類法或間接法求解。組合數(shù)的性質(zhì)1：．組合數(shù)的性質(zhì)2：＝+．例13．解方程：（1）；（2）解方程：．解：（1）由原方程得或，∴或，又由得且，∴原方程的解為或上述求解過程中的不等式組可以不解,直接把和代入檢驗(yàn),這樣運(yùn)算量小得多.（2）原方程可化為，即，∴，∴，∴，解得或，經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的解。證明：原式左端可看成一個(gè)班有個(gè)同學(xué)，從中選出個(gè)同學(xué)組成興趣小組，在選出的個(gè)同學(xué)中，個(gè)同學(xué)參加數(shù)學(xué)興趣小組，余下的個(gè)同學(xué)參加物理興趣小組的選法數(shù)。原式右端可看成直接在個(gè)同學(xué)中選出個(gè)同學(xué)參加數(shù)學(xué)興趣小組，在余下的個(gè)同學(xué)中選出個(gè)同學(xué)參加物理興趣小組的選法數(shù)。顯然，兩種選法是一致的，故左邊=右邊，等式成立。教學(xué)反思：1注意區(qū)別“恰好”與“至少”從6雙不同顏色的手套中任取4只，其中恰好有一雙同色的手套的不同取法共有多少種2特殊元素（或位置）優(yōu)先安排將5列車停在5條不同的軌道上，其中a列車不停在第一軌道上，b列車不停在第二軌道上，那么不同的停放方法有種3“相鄰”用“捆綁”，“不鄰”就“插空”七人排成一排，甲、乙兩人必須相鄰，且甲、乙都不與丙相鄰，則不同的排法有多少種4、混合問題，先“組”后“排”對某種產(chǎn)品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一進(jìn)行測試，至區(qū)分出所有次品為止，若所有次品恰好在第5次測試時(shí)全部發(fā)現(xiàn),則這樣的測試方法有種可能？5、分清排列、組合、等分的算法區(qū)別(1)今有10件不同