基于新課改下初中數(shù)學(xué)循環(huán)矩陣的應(yīng)用 論文

基于新課改下初中數(shù)學(xué)循環(huán)矩陣的應(yīng)用摘要：循環(huán)矩陣是矩陣?yán)碚撝幸活愝^為重要的特殊矩陣，具有廣泛的應(yīng)用.本文主廣義循環(huán)矩陣、r-循環(huán)矩陣及反循環(huán)矩陣的一些簡單性質(zhì)，加深了對循環(huán)矩陣的理解.關(guān)鍵詞：循環(huán)矩陣；生成多項式；對角化1引言在1885年，美國學(xué)者M(jìn)uir.T首先提出了循環(huán)矩陣的概念，一直到1950年以來，現(xiàn)代引起足夠重視，特別是1985年以來，人們對循環(huán)矩陣進(jìn)行了深入研究，至今已獲得了許多有益的成果.在代數(shù)的矩陣?yán)碚撝校h(huán)矩陣是一種特殊的Toeplitz矩陣，它的性質(zhì)、逆矩陣、對逆矩陣的計算方法，[3]中證明了循環(huán)矩陣的對角化的相關(guān)定理等.目前為止大部分文獻(xiàn)都環(huán)矩陣進(jìn)行了推廣，對廣義循環(huán)矩陣、反循環(huán)矩陣、r-循環(huán)矩陣等進(jìn)行了探討.近年來，隨著對循環(huán)矩陣的不斷鉆研，以及現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，循環(huán)矩陣在編碼理論、數(shù)理統(tǒng)計、一步完善，值得繼續(xù)研究.法.廣到廣義循環(huán)矩陣、r-循環(huán)矩陣和反循環(huán)矩陣，結(jié)合循環(huán)矩陣的研究方法，對其推廣的矩陣進(jìn)行了研究，加深了對循環(huán)矩陣的理解.定義1.1稱復(fù)數(shù)域C上的n階矩陣L

an-1?? ÷A1 L

an-2÷?L L L L L ÷? ÷為n階循環(huán)矩陣.

èL

a0?可以看出：循環(huán)矩陣是由它的第一行按同一方向依序循環(huán)所得到,簡記為A,,a2,L定義1.2稱n階循環(huán)矩陣1 0 L?0 0 1 L

,an-1).0 0?0 0÷? ÷JL L L L L÷?0 0 0 L

0 1÷? ÷?1 0 0 L

0 0÷è ?為基本循環(huán)矩陣，簡記為C(0,1,0,L

,0).顯然J,J2,L

Jn-1,Jn（其中In個循環(huán)矩陣為循環(huán)矩陣基本列.2 循環(huán)矩陣的性質(zhì)性質(zhì)2.1循環(huán)矩陣基本列J,J2,J3,L

,Jn-1,Jn是線性無關(guān)的.證明設(shè)xJJ2Jn-1Jn，則1 2

n-1

nL

xn-1?? ÷?xn-1?xn-2

xnxn-1LL

xn-2÷xn-3，? ÷?M M M M÷x?1 xL n÷xè ?x因此=x2

=xn，所以J,J

2,J3,L

,Jn-1,Jn

是線性無關(guān)的.性質(zhì)2.2設(shè),B均為n階循環(huán)矩陣則AB,,T陣.

k?C)均為n階循環(huán)矩注此性質(zhì)2.2運算都是封閉的.這里就不加以證明了.性質(zhì)2.3任意的n階矩陣A為循環(huán)矩陣等價于矩陣A可以由循環(huán)矩陣基本列線性表示，若記J0=Jn，即任意一個n階循環(huán)矩陣A= 2

n-1.C(a0,,a2,L

,an-1)IJJ1J證明必要性顯然.2.2A可以由J0,J,J2,J3,L

,Jn-1A一定為n階循環(huán)矩陣.注由上面的證明，令f(x)

xx2

xn-1，則A=f(J)，稱f(x)是A的生成多項式.

0 1 2

n-1性質(zhì)2.4任意兩個n階循環(huán)矩陣相乘得到的仍然是循環(huán)矩陣，且其乘法滿足交換律.證明設(shè)A、B為兩個n階循環(huán)矩陣，可設(shè)2AIJJ21J

n-1

=f(J)，2BIJJ21J

n-1

=g(J)，因為Jk=J，(k為非負(fù)整數(shù)，且J0=Jn），所以AB=f(J)g(J)=g(J)f(J)=h(J)=BA，其中多項式h(J)的次數(shù)不高于n-1次，所以知AB是n階循環(huán)矩陣，且滿足交換律，即AB=BA.性質(zhì)2.5可逆循環(huán)矩陣的逆矩陣還是循環(huán)矩陣.證明設(shè)A為n階循環(huán)矩陣，由性質(zhì)2.3知，只要能找到n階循環(huán)矩陣2BIJJ21J

n-1,其中i即

,n-ABI為n階單位矩陣，2ABIJJ21J

n-1)(bIJJ21J

n-1)0 1 20 1 21)In-1，1)J要AB，當(dāng)且僅當(dāng)下列方程組成立1)Jì1? + + + =? í

an-

a2bn-1 0 ，? L L L L L L Lan-1上述線性方程組以,,,L

,b 為未知量，以

為系數(shù)矩陣，由于An-1=A10，于是上述方程組的解是唯一的，所以滿足上述方程組的逆矩陣Bn-1存在，且矩陣B是循環(huán)矩陣.性質(zhì)2.6可逆循環(huán)矩陣的伴隨矩陣仍是循環(huán)矩陣.證明設(shè)A為n階循環(huán)矩陣，則=AA-1，由于0 1 2n-1A-1IJ0 1 2n-11J

n-1，0 1 2所以其伴隨矩陣=AbI+AbJ+AbJ20 1 23 循環(huán)矩陣的對角化

+Ab Jn-1為循環(huán)矩陣.引理3.1在復(fù)數(shù)域C上，基本循環(huán)矩陣J能夠?qū)腔?證明由于1 0L0 1 L

0 0?0 0÷? ÷JMM M? ÷0 0L0 0L

0 1÷0 0÷è ?所以l -1 0 L 0 00 l -1L 0 0lE-J

=M M M M Mn-1，0 0 0 L-1 0 0 L

l -10 l從而它在復(fù)數(shù)域C上有nn表示單位根）l

k2kpsin2kp,kn n

,n-i21，且lk1lj(k1

j)，因此J能夠?qū)腔?進(jìn)一步，易得J的相應(yīng)特征值0,1,2,L

,en-1分別對應(yīng)的特征向量為T 2 n-1T

2 n-1T，0L,1,1,1,L

),L

,dn-11,en-1,L

,en-1 1 L 1?? ÷作可逆矩陣Te2Le2 L1÷e2則1 2 n-1? ÷M M M÷en-1

en-1 L

en-1֏ 1 2

n-1??? ÷? T-1JTe

÷,e,L,e ).? ? ÷

n-1? O ÷? 1÷è ?定理3.1在復(fù)數(shù)域C上，任意一個n階循環(huán)矩陣A都可以對角化.證明設(shè)A的生成多項式為2f(x)xx21x

n-1，由于A=f(J)，由引理3.1的證明可知，存在可逆矩陣T，使得-1TJT,e2,L

,en-1),-12 2 2 2TJT,e2,LL

,en-1),-1n-1

n-1

n-1

n-1TJ T將上述n個式子相加，得

,L,en-1),T-1AT

-1(aIJJ21J

-10 1 2-0 1 2

-12

-1n-1ITJTJTJ T=diag(ff),f),L所以n階循環(huán)矩陣A可對角化，證畢.

,f1))，注由上述證明可知ff),f),L

,f1)為n階循環(huán)矩陣A的全部特征值.同時dLT,d,e2,L

,en-1)T,L,d

,e2

,L,en-也0 1 1 1 1是A的線性無關(guān)的特征向量.

n-1

n-1

n-1

n-1定理3.2設(shè)n階循環(huán)矩陣A=C(a0,,a2,L

,an-1)，則循環(huán)矩陣A可逆等價于對于任意的n次單位根,i2,L多項式.

,n，都有f)10，其中f(x)為A的生成證明由定理3.1，n階循環(huán)矩陣A的行列式為detA=ff)f)L

f1)，所以A可逆等價于f)10，i2L

,n-1.推論3.1設(shè)A=C(a0,,a2,L

,an-1)為n階循環(huán)矩陣，則A可逆等價于(f(x,xn-)1.證明由定理3.2知，f(x)xx2xn-1與xn-1無公共根，0 1 2故f(x)與xn-1互素，即(f(x,xn-)1.

n-1推論3.2循環(huán)矩陣A的行列式detA=ff)f)L為A的生成多項式.

f1)，這里f(x)推論3.3若f(x)xx2xn-1與xn-1互素，則0 1 2

n-1f(x)xx2xn-1,n-1 0nn-1 0n-3

n-2f2(x)=an-2Lxx2xn-1,f (x)xx2xn-1.都與xn-1互素.

n-1 1 2 3 0證明由于分別以f1(x),f2(x),L

,fn-1(x)的系數(shù)為元素組成的n個循環(huán)矩陣，它們與A只是相差了一個正負(fù)符號，因此由推論3.1可以得到此推論.例3.1已知n階循環(huán)矩陣A2,

,n)，求矩陣A的行列式1 2 3L nn 1 2L

n-1n-1 n 1 LA=

n-1.M MM M3 4 1 L 2n-12 3 4n-1解由于A=f)f)f)L

fn-1)其中0,1,2,L

,e 為xn-1的根，而f(x)=1+2x+3x2n-1

+nxn-1，則

n-1

n-1，A帶入得

)

)L11 )A(-A(-)n-1(n)n .2定理3.3任意一個對角矩陣都與一個循環(huán)矩陣相似.證明設(shè)L為n階對角矩陣，L=diag1,l2,l3,L復(fù)數(shù)，構(gòu)造線性方程組

,lnl1,l2,l3,L

,ln為ì aee2

en-10 10 20

n-10 1? aee2

en-1? 0 11 21í

n-11 2，? L L L L L L?aee2

en-1?0 1

n-1 2

n-1

n-1

n-1 n其中0,1,2,L

,en-1是n階基本循環(huán)矩陣J的特征值.上述線性方程組以a0,,a2,L

,an-1為未知量，系數(shù)矩陣為范德蒙矩陣，記為D，由于0,1,2,L

,en-1互不相等，故D10，所以上面的線性方程組的解是唯一的，即特征值為l1,l2,l3,L

,ln的n階循環(huán)矩陣是存在的，由定理3.1，A相似于diag1,l2,L

,ln定理3.4任意一個n階方陣A相似于對角矩陣等價于A與某一個n階循環(huán)矩陣相似.證明充分性如果A與循環(huán)矩陣B3.1，B與某對角矩陣L相似，所以A與對角矩陣L相似.必要性如果A與對角矩陣LL與某一個循環(huán)矩陣B相似，所以A與循環(huán)矩陣相似.4 循環(huán)矩陣的應(yīng)用4.1循環(huán)矩陣在保密通信中的應(yīng)用定義4.1設(shè)F是一個域，如果1，則稱F為有限域，常用GF(pn)表示.當(dāng)取p時，GF(2n)為常用的有限域，如GF(28)是一個經(jīng)常用于域密碼學(xué)的有限域.注在有限域中，下面的結(jié)論成立：GF(pn)的階一定是素數(shù)p的方冪pnp為域GF(pn)的特征，n為域GF(pn)在其素數(shù)域上的次數(shù).pi ù nf(x)滿足(f(x),x

-i2,L

,則f(x)為GF(p

)上不可約2?多項式.（3）對于n的每個正因子m，pn階有限群有且只有一個pm階子域.下面通過有限域的性質(zhì)構(gòu)造出可逆矩陣.推論4.1設(shè)n階循環(huán)矩陣A=C(a0,,a2,L逆.

n-1,an-1),如果?，則A不可證明顯然由矩陣的每一列加至第一列即可得到矩陣的行列式為可逆.構(gòu)造出來.實際上，由定理3.2，可以知道可逆矩陣的生成方法，即把n次單位根帶入矩陣A的特征多項式中結(jié)果不等于零，則此矩陣A就是一類可逆矩陣.由上面的推論，在任何域G上，可以生成一類生成元之和在域G不等于零的可討論在有限域GF(28)下生成可逆的循環(huán)矩陣.01 2 3定理4.2c,c,c,c是域GF01 2 3?? ÷A÷? ÷c0?可逆的充分必要條件是c010.證明1）必要性因為A可逆，則A10，按照有限域中的結(jié)論，并且用計算機(jī)在MathematicaA的行列式為A)4100 1 2 3c010.2)充分性反之可得A10，故充分性得證.由此，可以快速生成域GF(28)上的可逆循環(huán)矩陣，即這種算法為：1）隨機(jī)選取域GF(28)中的三個元素a,b,c，求和得到S.2）在集合GF(28)S}中隨意選取一個元素da,b,c,d作為循環(huán)矩陣的某一行得到的循環(huán)矩陣就是可逆矩陣.結(jié)論在有限域GF(28)更加簡便.4.2循環(huán)矩陣在分解降噪中的應(yīng)用解是為有效降噪的一個方法.該方法的關(guān)鍵技術(shù)主要有兩個，即用原始信號構(gòu)造出重構(gòu)矩陣以及確定它的有效階次.現(xiàn)在的構(gòu)造重構(gòu)矩陣的方法一般為連續(xù)截斷法和Hankel矩陣法兩種，文獻(xiàn)[12]中提出一種改進(jìn)的重構(gòu)矩陣設(shè)計方法—設(shè)計循環(huán)矩陣法.其A設(shè)計為如下?y(2)

y(2) LL

y(N)?÷A?M M M ÷?y(N)L

y(N-1)÷è ?通過實驗說明了在這種定義下ASID（信息完整度）比一般的重構(gòu)矩陣高,最后通過實驗結(jié)果表明設(shè)計循環(huán)矩陣法得到的濾波效果優(yōu)于一般的連續(xù)截斷法和Hankel矩陣法.4.3基于循環(huán)矩陣思想的數(shù)字圖像置亂算法置亂技術(shù)在對圖像的加密過程中是非常重要的.在文獻(xiàn)[13]中也詳細(xì)介紹了圖像置亂技術(shù)，通過圖像置亂技術(shù)來達(dá)到了保密的效果．強(qiáng)，下面將著重介紹一類置亂算法-基于循環(huán)矩陣思想的圖像置亂算法．優(yōu)點，而且通過循環(huán)矩陣的方法加密后的圖像是不容易被破解的，即保密性效果更加顯著.下面詳細(xì)介紹此算.設(shè)n階循環(huán)矩陣L

an-1?? ÷A1 L

an-2?L L L L L ÷? ÷èL

a0?對矩陣A成nn列個向量(a0,a0,L

,a0),,,L

,),L

,(an,an,L

,an)提取的這n個列向量用一個可逆的排序算法進(jìn)行重新組合，得到一個新的矩陣，陣.例4.1設(shè)abcd?abcd??e f g h÷?ijkl÷? ÷n p q?則可以提取4組4′1維列向量：(a,f,k,q)T,(e,j,p,d)T,(i,n,c,h)T,(m,b,g,l)T，再把它們分別放入4個列向量如,,,4個列向量進(jìn)行重新排BB,,,)的新矩陣a m i??j ?j f b??pkg?dqlB c÷h÷h?陣組成的,將這種方法運用到實際的圖像中，便能夠使圖像得到保密.5 循環(huán)矩陣的推廣到由循環(huán)矩陣推廣得到的矩陣，它們同樣具有重要的研究意義.5.1廣義循環(huán)矩陣定義5.1若把n階循環(huán)矩陣A中的元素?

C(i2,L

,n)都用矩陣來替換（是m′m矩陣），那就得到如下形式的矩陣L1?? ÷A 1 L2?

M M M M÷? ÷èL?這樣的mn階矩陣稱為廣義循環(huán)矩陣（也稱分塊循環(huán)矩陣）.定義5.2稱矩陣

Im L?? ÷

Im L÷JmnM M M M÷? ÷I?ImLL

Im÷÷è ?為廣義基本循環(huán)矩陣，這里表示m′m階零矩陣，Im表示m′m階單位矩陣.定義5.3設(shè)I是m階單位矩陣，,,,L

,Bn-1都是m階方陣且,,,L

,Bn-1兩兩可以交換，令矩陣?I I I L I?? ÷?L

Bn-1÷BB2 B2

B2 L

B20 1 2

n-1? ÷?M M M M÷?Bn-1

Bn-1

Bn-1 L

Bn-1÷è稱此矩陣為廣義范德蒙矩陣.

0 1 2

n-1?定義5.4稱n階數(shù)量矩陣D?0

0 LL

0?0÷i2,L

,n-1,i ?MMO ? ÷è0 0 L?為廣義n次單位根，其中(i2,L

,n-為n次單位根.引理5.1廣義范德蒙矩陣B的行列式B=P-Bj.0￡j<i￡n-1證明用數(shù)學(xué)歸納法來證明，當(dāng)n時，由于?I OI

?I ?? 所以

I?-?I OI I I I= ，-

I

O -I O I I

=-，-I

O -I IB B1 0所以 =B B1 00 1

，即當(dāng)n時，結(jié)論成立.假設(shè)當(dāng)nn,,,L換，則

,Bn-1兩兩可交?I O L

O OI I L I?? ÷I L?O -B L

O OO OLB2 B2 L÷B2÷0 0 1 2 k? ÷?M M O M M M MO M÷?O O L

-B IBk

Bk L

Bk֏ 0

0 1 2 k?I I L I ?? ÷--B L-÷O 11-0)

22-0) L

kk-0)，? ÷?M M M O M ÷Bk-1

B)

Bk-1(B

B)L

Bk-1(B

-Bè 1 1 0 2 2 0

k k 0?? --L-?? ÷?11-0)

22-0) L

kk-0)÷? M M O M ÷-1(B

B)

Bk-1(B

B)L

Bk-1(B

-Bè1 1 0 2 2 0

k k 0??I I I L

I-

O O L O ?? ÷?B2 B2LB2 LB2

O -O LO O B-B L

O ÷O 1 2 3 k 3 0? ÷?M M M O M

M M M O M ÷?Bk-1

Bk-1

Bk-1 L

Bk-1

O O O

L B-B֏1 2 3

k

k 0?IIILIIILIIOLOOIIILI012Lk-0ILOO012LkB2 B2

B2 L

B2=O

B L

O OB2 B2

B2 L B20 1 2 k

0 0 1 2 kM M MO M M M O M MM M MO MBk Bk

Bk L Bk

O O L

B IBk Bk

Bk L Bk0 1 2 k

0 0 1 2 kI I I L IO -=O 11-0)-B L22-0) L-kk-0)M M M O MO Bk-1(B

B)

Bk-1(B

B)L

Bk-1(B

B)1 1 0 2 2 0

k k 0-11-0)=-L22-0) L-kk-0)M M O MBk-1(B

B)

Bk-1(B

B)L

Bk-1(B

B)1 1 0 2 2 0

k k 0IIILI-OOLOLO-OLO=B2 B2

B2 L B2

O O B-B L O1 2 3 k 3 0M M M O M M M M O MBk-1

Bk-1

Bk-1 L

Bk-1

O O O

L B-B1 2 3

k k 0? ??-Bj?-?-Bj.j<i￡k-1

?0￡j<i￡k即當(dāng)n時結(jié)論也成立，則由數(shù)學(xué)歸納法可知引理5.1對任意自然數(shù)均成立.定理5.1對于廣義循環(huán)矩陣，如果,,,L可以準(zhǔn)對角化.證明取

,1兩兩可以交換，則?I I L I ?? ÷?TD2LD2 L

Dn-1÷D20 1 n-1? ÷?M M O M÷?Dn-1

Dn-1 L

Dn-1֏0 1

n-1?其中,,,L

,Dn-1為廣義n,,,L

,Dn-1引理5.1可知T可逆，顯然k k0 L?0 e L

0? 0÷ ?0

0 L 0?ek L 0÷Dki

÷iI，i,k2,L

,n-1，i ?MMO

?M MO ik? ÷ keè0 0 Le? è0 0 L i?i其中Dn，I為m階方陣，因此i0 1i 2iA0 1i 2i1Dn-1

n-1i,i2,Ln

,n-1，2

n-11n-12n-22，(2

)Li,i2L

,n-12 n-1

n 2

n-123232 n-2

n-1

n-3 2 ，(23

)Li,i2L

,n-1L L L2 n-1

n

n-1n-1 2 3

n-1 ,

(D)

Li,i2L

,n-1上述等式用矩陣可表示為L

?I I1D D

L I ?L D ÷?A A A L

A 0 1

n-1÷?n-1 0 1

n-2D2

D2 L

D2÷÷?M M MO M0 1÷

n-1? L

M M O M֏??Dn-1

Dn-1 L

Dn-1÷?I I L

è0 1I 0 O O L

n-1?O?? ÷?L

Dn-1O L1 O L O÷D2

D2 L

D2O O L L

O0 1 n-1 2MMOOMMOOOL?M M O MM M÷?Dn-1

Dn-1 L

Dn-1O L÷è0 1因此

n-1n??I I L? L

I 0 O O LL L

OI I L ?I-1I-1?

Dn-1O

1 O O

Dn-1÷A D2

D2 L

D2O O L L

OD2

D2 L

D2÷，0 1

n-1 2 0 1

n-1? ÷?M M O MM M MO M

M M O M÷?Dn-1

Dn-1 L

Dn-1O O O L

L 1

Dn-1 L

Dn-1֏0 1

n-1

n-10 1

n-1?n-1i ? ji mn其中矩陣L=

j

ADj，i2,L

,n-1，因此A

能夠準(zhǔn)對角化.由此定理的證明過程可以得到以下廣義循環(huán)矩陣的兩個結(jié)論.推論5.1的行列式為

n-1Li.推論5.2可逆等價于矩陣Li,i2,L5.2r-循環(huán)矩陣定義5.5若矩陣A具有形狀

,3均可逆.?a0L

an-2

an-1?? ÷?ran-1A2

a0ran-1LL

an-3an-4

an-2÷an-3MMrMMr2r3L?M M M÷?ra

ran-1 0÷1aè ?1a則稱A為r-循環(huán)矩陣.由于A決定于第一行元素a0,,L

,an-1及參數(shù)r，故簡記為A(a0,,,L

,an-1)，所有n階r-循環(huán)矩陣的集合記作CMr，特別地，這里當(dāng)r時即為定義1.1中的循環(huán)矩陣.定義5.6稱n階r-循環(huán)矩陣1 0L0 1 L

0 0?0 0÷? ÷JrMMO M? ÷0 0L

0 1÷0 0L

0 0÷è ?i為基本r-循環(huán)矩陣Jr0,L

,0)Jr(0,0,L

,1,0,L

,0)0 ,n .Jr=In

Jr=rIn定理5.2若A(a0,,L

,an-1)?

CMrA=f(Jr)A=f(Jr)，n-1i則A(a0,,a2,L

,an-1)?

CMr，其中f(x)ix.證明由Jr帶入f(x)的表達(dá)式即得.定理5.3若A(a0,,L

,an-1)?

CMr,b,,L

,bn-1)?

CMr,則kA(ka0,,L

,kan-1)?

CMr；A(a0,,L

,an-11)?

CMr；n-1

n-1

n-1BACr(00rin-i,010rin-i,L

,in--i)?

CMr.引理5.2基本r-循環(huán)矩陣Jr在復(fù)數(shù)域C上能夠?qū)腔?證明由于1 0L0 1 L

0 0?0 0÷? ÷JrMMO M? ÷0 0L

0 1÷0 0L

0 0÷è ?所以l -1 0 L 00 l -1L 0 n ，lE-Jr

=M M MO-r0-r 0 0 L l從而它在復(fù)數(shù)域C上有n個互異的特征值l0，l1，l2L，ln-1n-1，n其中(i2,L

,n)為n次單位根，q=r.對于li(i2,L

,n-解相應(yīng)的線性方程組(liE-Jr)xli各自的基礎(chǔ)解系為（各基礎(chǔ)解系都只有一個線性無關(guān)的特征向量）z,L

,qn-1en-1)T,i2,L

,n-1，i i i作可逆矩陣T0,z1,z2,L

,zn-1)，即?1 1 1 L 1 ?? ÷Tq L1?M M M O M ÷? ÷qn-1

qn-1en-1

qn-1en-1 L

qn-1en-1è則T-1JT,L

1 2)

n-1?r 1 2

n-1定理5.4n階r-循環(huán)矩陣A可對角化.證明由引理5.2知，r 1 2T-1JTr 1 2

1)所以J-1，又由于AEJJ2Jn-1,則r 0 1r

2r n-1rT-1AT=diag(

n-1aqi,

n-1aqiei,L

n-1, aqiei),所以A可對角化.5.3反循環(huán)矩陣

Si

Si 1

Si n-1當(dāng)r-循環(huán)矩陣中r取-1時，就是下面所要討論的反循環(huán)矩陣.定義5.7稱復(fù)數(shù)域C上的n階矩陣?a0L

an-1?? ÷Aan-1 L

an-2÷?M M M O M÷? ÷è-

-a2

-L

a0?為反循環(huán)矩陣，簡記為C-1(a0,,L定義5.8稱n階反循環(huán)矩陣

,an-1).1 0L?0 0 1 L

0 0?0 0÷? ÷JMMMO M?0 0 0L

01÷? ÷1 0 0L

0 0÷è ?為基本反循環(huán)矩陣.定理5.5設(shè)n階反循環(huán)矩陣A和基本反循環(huán)矩陣J，則有0 1 L?0 0 0L

0 0?0 0÷（ 1）

2J， J

? ÷÷M MMO ML，÷-?1 0 0-

0 1÷?0 -1 0L

0 0÷-0 0-

è ?0 1?n-1

?1 0 0L

0 0÷÷ n 0 ÷ J MMMO MJI，（定義J=JI）均為n階反循環(huán)00L000L00L000L-1? ÷?0 0÷è ?矩陣（這n個矩陣稱為反循環(huán)矩陣基本列）.2（2）n階反循環(huán)矩陣A能夠被反循環(huán)矩陣基本列J,J,L

n,J線性表示，反2n階矩陣A能夠被反循環(huán)矩陣基本列J,J,L環(huán)矩陣.證明（1）顯然.（2）設(shè)n階反循環(huán)矩陣A的多項式2

n,JA為反循n-1，f(x)xx1x則A=f(J)，反過來，因為反循環(huán)矩陣是r-循環(huán)矩陣的特殊形式，所以它對矩陣的和與數(shù)乘也是封閉的，故反過來也成立.注此時，稱f(x)為反循環(huán)矩陣A的生成多項式.定理5.6設(shè)A和B是兩個n基本反循環(huán)矩陣，則（1）AB是反循環(huán)矩陣，且AB=BA；-1（2）若A可逆，則A

是反循環(huán)矩陣.證明（1）因為反循環(huán)矩陣是r-循環(huán)矩陣當(dāng)r1時的特殊形式，所以也顯然成立.（2）設(shè)A1(a0,,L

,an-1)，X1(x0,,L

,xn-1)，則oAJ

2JJ

1J

n-1，oXJ令A(yù)X，得到方程組

2JJ

+xn-1J

n-1.ìa0-an-1-an-2x2L

-xn-1? + -

L- =? í?

a0

an-1x2LL

a2xn-1 0 ，an-123x2Lxn-1T上述線性方程組以x0,,x2,LT

,xn-1為未知量，系數(shù)矩陣為A

，由于A可逆，故A=A

10，所以線性方程組的解是唯一的，從而使線性方程組成立的n階反-1循環(huán)矩陣X存在，即為A的可逆矩陣，也就是說A

是反循環(huán)矩陣.定理5.7設(shè)A為任意的n階反循環(huán)矩陣，那么（1）A相似于對角矩陣；（2）A一定與循環(huán)矩陣相似；（3）任一n階矩陣B可對角化等價于B相似于某一個n階反循環(huán)矩陣.證明（1）先討論基本反循環(huán)矩陣的相似標(biāo)準(zhǔn)形，J的特征多項式為lE-Jn特征值為xn的n個根，設(shè)為l

,l,l

,L,l

，顯然0 1 2

n-1ls1lt(s1t,0<s,t-，所以它們互異，則存在可逆矩陣T，使得J可對角化，即0 0 1 2

T-1JT=diag(l,l,l,L

,ln-1)，-12

2 2 2 2T JT=diag(l0,l1,l2,L

,ln-1)，-1n-1

Ln-1

，n-1

n-1

n-1T J T=diag(l02

,l1

,l2n-1

,L,ln-1)，由以上可知，可逆矩陣T可使得J,J

,L

同時對角化，由定理5.5知n階反循環(huán)矩陣A可由n階基本反循環(huán)矩陣J的方冪線性表示，即取生成多項式則A=f(J)，所以-1

f(x)xx2-1 221x

n-1，n-1T

(a0IJJ1J -1 -1

-1n-1ITJTJ T=diag(f(l0),f(l1),f(l2),L所以反循環(huán)矩陣可以對角化.

,f(ln-1)),（2）設(shè)C為n階循環(huán)矩陣，所以令它的生成多項式為2g(x)xx21x

n-1，由（1）知存在可逆矩陣T，有T-1=diag(f(l

),f(l

),f(l

),L

,f(l

))成立，欲使A與C相似，只須C與T-1相似，所以令

0 1 2

n-1g(ek)=f),k2,L

,n-

2kpsin2kp,i21，n n所以此方程組的系數(shù)矩陣為?1 1 L 1 ?? ÷DL1?M M O M÷? ÷en-1

en-1 L

en-1è0 1

n-1 ?而detD10，所以線性方程組存在唯一解(c0,,c2,L

,cn-1),此時故A與C相似.

C=DT-11=(TD-1)-1A(TD-1),（3）必要性n階矩陣B可以對角化，即存在可逆矩陣P,使得0 1 2P-1BP=diag(l,l,0 1 2

,ln-1),令f(x)xx2xn-1a,a,a,L,a

的線性方程組0 1 2

n-1

0 1 2

n-1f)k,(k2,L其中系數(shù)矩陣為

,n-=exp(i(2k/n),1 L

1 ?n-1 ÷HL

e M O M ÷? ÷e1Ln-1e1Lè 11

)n-1?且detH10，所以方程組的解是唯一的，記為a0,,a2,L故B與n階反循環(huán)矩陣A相似.

,an-1，令A(yù)=f(J)，充分性若B與某一n階反循環(huán)矩陣AAB與對角矩陣相似.結(jié)