第四章 應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系

4.1廣義胡克定律4.2彈性常數(shù)之間的關(guān)系4.3彈性體的應(yīng)變能函數(shù)第四章應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系4.1

廣義胡克定律應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系屬于材料的性能，稱(chēng)為物理方程或者本構(gòu)方程復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系難以通過(guò)試驗(yàn)確定單向拉伸與純剪應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系可以通過(guò)試驗(yàn)確定:波松比由試驗(yàn)確定

εxεyσxσx或單向應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系ττ純剪應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系MnG:剪切彈性模量σyσx雙向應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系σyσxτyxτxy平面應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系一般應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系

引入：(體積應(yīng)力)從正應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系中可得到反過(guò)來(lái)有應(yīng)力表達(dá)式則有體積應(yīng)力與體積應(yīng)變之間的關(guān)系式中K為材料常數(shù)，為體積應(yīng)變，另一方面將代入應(yīng)力表達(dá)式有式中稱(chēng)為L(zhǎng)ame常數(shù)整理應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系由上面的式子可以寫(xiě)出應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的張量表達(dá)彈性體變形過(guò)程的功與能能量守恒是一個(gè)物理學(xué)重要原理，利用能量原理可以使得問(wèn)題的分析得到簡(jiǎn)化

能量原理的推導(dǎo)是多樣的，本節(jié)使用熱力學(xué)原理推導(dǎo)。

在不受外界影響的條件下，宏觀性質(zhì)不隨時(shí)間變化的狀態(tài)的稱(chēng)為平衡狀態(tài)。如果宏觀性質(zhì)的變化足夠緩慢，以致系統(tǒng)在每一瞬時(shí)都看作出于平衡狀態(tài)，則稱(chēng)為準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程。每一步都能反向重演的過(guò)程稱(chēng)為可逆過(guò)程，否則稱(chēng)為不可逆過(guò)程。

關(guān)于物質(zhì)系統(tǒng)的幾個(gè)簡(jiǎn)單概念:

與外界交換能量（熱量或機(jī)械功）和質(zhì)量是導(dǎo)致系統(tǒng)狀態(tài)發(fā)生變化的外部原因。與外界既無(wú)能量交換又無(wú)質(zhì)量交換的系統(tǒng)稱(chēng)為孤立系統(tǒng)。與外界沒(méi)有質(zhì)量交換的系統(tǒng)稱(chēng)為封閉系統(tǒng)。dA熱力學(xué)第一定律封閉系統(tǒng)中總能量的增量（包括動(dòng)能增量和內(nèi)能增量）等于外力對(duì)系統(tǒng)所做的功和系統(tǒng)從外界吸收的熱量之和，也就是能量守恒定律：dK+dU=dA+dQdQdUdK若，則系統(tǒng)與外界無(wú)熱交換，稱(chēng)為絕熱過(guò)程，如系統(tǒng)的與外界有充分的熱交換，則系統(tǒng)溫度保持不變，稱(chēng)為等溫過(guò)程。熱力學(xué)第一定律闡明了熱力學(xué)過(guò)程必須滿(mǎn)足的能量關(guān)系。（動(dòng)能和內(nèi)能是狀態(tài)量；外力功和供熱量是過(guò)程量）dQ=0溫度表示法絕對(duì)溫標(biāo)攝氏溫標(biāo)華氏溫標(biāo)其中熱力學(xué)第二定律熱力學(xué)第二定律中涉及一個(gè)重要的狀態(tài)量：溫度T與熵S熵是熱力學(xué)系統(tǒng)的一個(gè)狀態(tài)函數(shù)。熵的定義為：或，為系統(tǒng)從外界吸收的熱量,T指外界的絕對(duì)溫度。dS=dQ/TdQ

用一個(gè)具體的實(shí)際熱過(guò)程來(lái)描述熱力學(xué)第二定律，可以有很多表述法，被大家普遍采用的所謂熱力學(xué)第二定律的經(jīng)典描述，是1850年由克勞修斯和1851年開(kāi)爾文分別提出的：開(kāi)氏描述：不可能從單一熱源吸收熱量，使之完全變?yōu)橛杏玫墓Χ灰鹌渌兓?，即第二?lèi)永動(dòng)機(jī)是不可能造成的?？藙谛匏姑枋觯翰豢赡馨褵崃繌牡蜏匚矬w傳到高溫物體而不引起其它變化。熱力學(xué)第二定律的經(jīng)典描述：對(duì)于絕熱過(guò)程dQ=0，dA-dK=dU物體的彈性變形過(guò)程是一個(gè)可逆過(guò)程，可逆過(guò)程可分解為多個(gè)絕熱過(guò)程與等溫過(guò)程。對(duì)于靜態(tài)過(guò)程dK=0，則dA=dU內(nèi)能為物體的應(yīng)變能，由這樣有：

（2）則得單位體積的應(yīng)變能W（1）對(duì)于等溫過(guò)程dQ

=

T

·

dS=d(T·S)dA-dK=dU–dQ=d(U-T·S)=dFF=U-T·S物體系統(tǒng)的自由能仍成立。因此，對(duì)于彈性過(guò)程，它是一個(gè)可逆過(guò)程，S=0對(duì)于靜態(tài)過(guò)程dK=0，則dA=dF（2）應(yīng)變能在數(shù)值上等于外力對(duì)物體所作的功，且（4）且應(yīng)力與應(yīng)變存在一一對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系。（3）應(yīng)力與應(yīng)變存在著函數(shù)關(guān)系;結(jié)論:（1）存在應(yīng)變能函數(shù)對(duì)于取一階近似：廣義胡克定理——材料應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系展開(kāi)上式，對(duì)于11=1，22=2，33=3，23=4，13=5，12=6展開(kāi)上式寫(xiě)成矩陣的形式所以是對(duì)稱(chēng)的矩陣。即因?yàn)楦飨蛲圆牧希和耆飨蛲哉桓飨虍愋圆牧希涸?個(gè)坐標(biāo)軸方向上對(duì)稱(chēng)各向異性材料：各個(gè)方向都不同性對(duì)于金屬材料有：各向同性材料，正交各向異性材料，各向異性材料。存在十三個(gè)彈性常數(shù)具有一個(gè)對(duì)稱(chēng)面的材料：不同材料其彈性常數(shù)的簡(jiǎn)化x1x3x2ox1-x3x2ox3=

-|

x3|當(dāng)x3=

-|x3|時(shí)，u3=

-|

u3|有為使不變，的系數(shù)須為零。存在十三個(gè)彈性常數(shù)具有一個(gè)對(duì)稱(chēng)面的材料：x1x3x2ox1-x3x2ox3=

-|

x3|存在十三個(gè)彈性常數(shù)具有一個(gè)對(duì)稱(chēng)面的材料：不同材料其彈性常數(shù)的簡(jiǎn)化x1x3x2ox1x3x2ox3=

-|

x3|相互垂直的三個(gè)平面中有兩個(gè)彈性對(duì)稱(chēng)面，第三個(gè)必為彈性對(duì)稱(chēng)