一種寬帶自適應(yīng)的二維線性常系數(shù)微分動(dòng)力系統(tǒng)

一種寬帶自適應(yīng)的二維線性常系數(shù)微分動(dòng)力系統(tǒng)

在分析和過濾工程信號(hào)時(shí)，通常需要將指定信號(hào)分解為不同頻率的正信號(hào)。目前，廣泛使用的模型主要是分散傅里葉變換dft及其增強(qiáng)算法的快速傅里葉變換算法。dft算法的精確分析前提是確保采樣時(shí)間窗口的長(zhǎng)度對(duì)應(yīng)于所有分段周期的最小公倍數(shù)。否則，由于光譜泄漏，使得精度難以滿足。此外，dft算法直接獲得每個(gè)正相位的真實(shí)部分和虛擬部分的每個(gè)采樣時(shí)間的值。通過二次計(jì)算，可以獲得每個(gè)采樣時(shí)間檢測(cè)到的信號(hào)的值。近幾年廣為討論的基于小波變換和小波包分解的算法,其計(jì)算量大,不滿足實(shí)時(shí)分析要求,存在頻帶重疊導(dǎo)致調(diào)制混頻現(xiàn)象.文獻(xiàn)采用了一種改進(jìn)鎖相環(huán)電路分析正弦信號(hào),能檢測(cè)指定頻率正弦輸入的幅值和初相角,文獻(xiàn)[11-12]依據(jù)最小均方原則和最優(yōu)梯度思想,針對(duì)固定頻率ω0的正弦輸入u(t),選擇幅值a、相位φ作為狀態(tài)變量,提出類似文獻(xiàn)算法的幅值相角模型(Amplitudephasemodel,APM)跟蹤器如下其中,為跟蹤器參數(shù).文獻(xiàn)[11-13]以APM為基礎(chǔ)提出幅值、頻率、相位模型跟蹤器(Amplitudefrequencyphasemodel,AFPM).文獻(xiàn)[14-16]把多個(gè)跟蹤器并聯(lián)形成梳狀濾波器,分析諧波和間諧波.APM算法是關(guān)于幅值和相位的非線性系統(tǒng),參數(shù)的物理意義不明確,不利于調(diào)節(jié)參數(shù)和分析性能,參數(shù)匹配與輸入幅值有關(guān),算法魯棒性不好.本文先采用最小方差原則,利用梯度下降方法經(jīng)旋轉(zhuǎn)變換,獲得自適應(yīng)二維線性正弦跟蹤器,并估計(jì)其幅值,改進(jìn)了APM跟蹤器的缺點(diǎn).再用多個(gè)跟蹤器并聯(lián)形成漸近穩(wěn)定的梳狀濾波器,把信號(hào)分解為不同頻率的正弦分量,獲得多個(gè)分量的時(shí)域跟隨及其幅值,最后通過仿真實(shí)例說(shuō)明算法性能.1在一般參數(shù)下的下位機(jī)關(guān)設(shè)計(jì)設(shè)已知角頻率ω的正弦信號(hào)的幅值U和初相位δ未知,可表示為由于有幅度和初相位兩個(gè)未知量,參考文獻(xiàn),選擇狀態(tài)變量為記用a(t)作為幅值的估計(jì)值,用y(t)作為u(t)的估計(jì)值,e(t)為估計(jì)誤差.依據(jù)最小方差原則,定義代價(jià)函數(shù)為根據(jù)自適應(yīng)濾波器的梯度下降方法,使?fàn)顟B(tài)變量的變化方向?yàn)榇鷥r(jià)函數(shù)的負(fù)梯度方向,即對(duì)角矩陣T調(diào)節(jié)v(t)收斂到最優(yōu)值的速度以及算法的穩(wěn)定性.令μ1,μ2>0,選擇得到以下的周期系數(shù)線性動(dòng)力系統(tǒng)做旋轉(zhuǎn)變換則指定μ1=μ2=μ,并用η代替ω,得到自適應(yīng)二維線性正弦跟蹤算法(Linearsinusoidtracer,LST)以及信號(hào)跟隨與幅值估計(jì)公式在靜止坐標(biāo)系中用參數(shù)代替坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn),把二維線性周期系數(shù)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為常系數(shù)系統(tǒng).命題1.針對(duì)正弦跟蹤器(6),以下結(jié)論成立:1)系統(tǒng)是全局一致漸近穩(wěn)定的,暫態(tài)響應(yīng)速度主要決定于參數(shù)μ,μ越大收斂越快.2)若η=ω,穩(wěn)態(tài)時(shí)y(t)=u(t),a(t)=U,故稱η為頻率參數(shù).3)參數(shù)μ等于-3dB帶寬,故稱μ為帶寬參數(shù).證明.見附錄.文獻(xiàn)的第2.1.1節(jié)中引理1的證明過程顯示,在特殊條件下,即當(dāng)APM算法的兩個(gè)參數(shù)ˉμ1和與輸入正弦信號(hào)的幅值U之間滿足最佳參數(shù)條件時(shí),APM算法具有式(6)的模型此時(shí)算法的性能最優(yōu).事實(shí)上對(duì)于未知的U,不能保證該條件滿足,當(dāng)U改變時(shí),APM算法系統(tǒng)魯棒性不好.由于所選狀態(tài)變量與APM算法不同,故式(5)的狀態(tài)矩陣中沒有顯性的正弦幅值U,使得參數(shù)μ1,μ2與U無(wú)關(guān),新算法始終等價(jià)于最優(yōu)的APM算法,相當(dāng)于APM算法中的參數(shù)ˉμ2跟隨U改變從而始終保持最佳參數(shù)條件成立,改進(jìn)了APM算法參數(shù)與輸入信號(hào)幅值關(guān)聯(lián)而導(dǎo)致算法魯棒性差的缺點(diǎn).與APM方法相比,本算法的兩個(gè)參數(shù)μ和η都具有明確的物理意義,應(yīng)用時(shí)調(diào)整其數(shù)值更為方便.當(dāng)η是整數(shù)或小數(shù),可分別分析整數(shù)次諧波與非整數(shù)次間諧波,而當(dāng)η=0時(shí)系統(tǒng)簡(jiǎn)化為一階慣性濾波.另外,新算法可直接獲得輸入信號(hào)的估計(jì)值不必進(jìn)行DFT算法與APM算法那樣的二次計(jì)算.把多個(gè)線性正弦跟蹤器并聯(lián),形成如圖1所示的并聯(lián)濾波器組,其中Tracer1～TracerN都是式(6)的正弦跟蹤器.記第i個(gè)正弦跟蹤濾波器的狀態(tài)變量為xi(t),其帶寬參數(shù)為μi,頻率參數(shù)為ηi.記D=diag{η1,η1,···,ηN}是對(duì)角矩陣,μ=[μ1μ2···μN(yùn)]T是列向量,ΓN=[11···1]T是全為1的N×1列向量,記O是全0矩陣.濾波器組的狀態(tài)變量為于是,濾波器組可寫成以下2N維動(dòng)力系統(tǒng)所提取的第i個(gè)正弦分量的幅值可表示為2算法的性能2.1李雅普私家車函數(shù)為分析暫態(tài)穩(wěn)定性,考慮系統(tǒng)的齊次方程命題2.零點(diǎn)是齊次系統(tǒng)(12)的全局一致漸近穩(wěn)定平衡點(diǎn).證明.取正定的李雅普諾夫函數(shù)為其中,對(duì)角矩陣P1=0.5diag{μ1-1,μ2-1,···,μN(yùn)-1}.V(t)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)是負(fù)半定的若則Ni=1xi(t)≡0,代入方程(12),得則有其解必然為正弦函數(shù)形式xi(t)=ai0sin(ηit+δi0),于是這說(shuō)明系統(tǒng)的最大不變集只包含零點(diǎn),根據(jù)LaSelle不變?cè)?命題成立.2.2隨機(jī)分區(qū)u的定義考慮輸入信號(hào)由多個(gè)頻率的正弦疊加的情況其中,輸入信號(hào)列向量記為由輸入信號(hào)頻率構(gòu)成的列向量記為命題3.如果對(duì)每個(gè)輸入分量的頻率,都有一個(gè)跟蹤器的頻率參數(shù)與其相等,即則算法(9)～(11)能實(shí)現(xiàn)對(duì)輸入信號(hào)的各個(gè)分量的準(zhǔn)確跟隨,并準(zhǔn)確估計(jì)各個(gè)分量的幅值,有證明.記IN為N維單位矩陣,在零初值條件下對(duì)式(9)取拉普拉斯變換得依據(jù)分塊矩陣求逆定理和矩陣求逆引理,狀態(tài)傳遞函數(shù)為向量形式uf8ee以s=jω代入上式,得第i個(gè)跟蹤器的狀態(tài)轉(zhuǎn)移函數(shù)表達(dá)式為顯然,每個(gè)正弦跟蹤器的狀態(tài)變量的相位總是比另一個(gè)狀態(tài)xi(t)超前π/2.依據(jù)線性系統(tǒng)的疊加定理,對(duì)于式(13)的M個(gè)正弦疊加的信號(hào),其狀態(tài)轉(zhuǎn)移函數(shù)形成N×M維矩陣頻率參數(shù)η1～ηN作為N個(gè)分割點(diǎn),把正頻率軸分為N+1段,如果信號(hào)的所有頻率都位于分割點(diǎn)上,即滿足式(14)的條件,狀態(tài)轉(zhuǎn)移函數(shù)矩陣為當(dāng)i=1,2,···,M時(shí),xi(t)=Uisin(ωit+δi),當(dāng)i=M+1,M+2,···,N時(shí),從而命題成立.當(dāng)信號(hào)頻率處于分割點(diǎn)之間,即ωk=ηi,總有這說(shuō)明輸入信號(hào)中頻率不等于任何跟蹤器的頻率參數(shù)的分量,不能被任何狀態(tài)變量無(wú)幅值誤差、無(wú)相位誤差地準(zhǔn)確跟隨,其能量分散到所有狀態(tài)變量中,會(huì)在所有狀態(tài)變量中產(chǎn)生周期振蕩分量.這是一種頻域格柵效應(yīng).定義跟隨誤差為ei(t)=ui(t)-xi(t),則其范圍是除了輸入分量的幅值以外,影響誤差的因素還包括兩個(gè)方面:首先是輸入分量的頻率與跟蹤器的頻率參數(shù)之差,其差值越大則誤差越大.其次是帶寬參數(shù)的影響,增大μi,會(huì)減小|G(jωi)|,從而減小分量ui(t)對(duì)誤差ei(t)的貢獻(xiàn),但同時(shí)會(huì)增大其他分量uk(t)(k≠i)對(duì)ei(t)的貢獻(xiàn);而增大其他跟蹤器的μk會(huì)減小uk(t)對(duì)ei(t)的貢獻(xiàn).這優(yōu)于DFT算法中格柵效應(yīng)不可調(diào)整的狀況.對(duì)于單個(gè)正弦輸入,系統(tǒng)輸出的頻率特性為系統(tǒng)頻率響應(yīng)只與參數(shù)μi,ηi,ω的相對(duì)值有關(guān).設(shè)N=4,η1,η2,η3,η4分別等于1,3.25,6.55,8,輸入信號(hào)頻率從0～10變化,取所有的帶寬參數(shù)都等于μ,圖2是輸出幅頻特性曲線和相頻特性曲線.整個(gè)并聯(lián)濾波器成為梳狀濾波器,在每個(gè)ηi處形成一個(gè)峰值為1的梳齒,由于頻率特性Hi(jω)相互抵消使得在兩個(gè)梳齒之間出現(xiàn)一個(gè)零點(diǎn),該頻率值決定于全部的參數(shù)μi和ηi,系統(tǒng)具有陷波器的功效.μi的大小決定對(duì)應(yīng)幅頻特性的梳齒的帶寬,μi越小梳齒通帶越窄,頻率選擇性越好,同時(shí)兩個(gè)梳齒之間的阻帶越寬,濾波器越趨向陷波器.由于各個(gè)跟蹤器的頻率參數(shù)可以等于包括小數(shù)的任意正數(shù),可任意劃分頻率軸,這與DFT算法中不能隨意調(diào)整的等間隔劃分不同,方便非整數(shù)次間諧波的分析.當(dāng)信號(hào)中包含長(zhǎng)周期的間諧波分量時(shí),DFT算法的數(shù)據(jù)窗長(zhǎng),所保存的采樣數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)多,信號(hào)跟隨動(dòng)態(tài)響應(yīng)時(shí)間長(zhǎng).本算法沒有DFT算法那樣嚴(yán)格的時(shí)域數(shù)據(jù)窗的要求,不需要保存數(shù)據(jù)窗內(nèi)的采樣值,動(dòng)態(tài)響應(yīng)速度按照指數(shù)收斂,動(dòng)態(tài)響應(yīng)時(shí)間還可通過帶寬參數(shù)的大小來(lái)調(diào)整,可遠(yuǎn)小于間諧波分量的周期.另外,本算法的狀態(tài)變量xi(t)和?xi(t)直接作為輸入分量的跟隨及其超前π/2的變量,這較DFT算法與APM算法更方便實(shí)現(xiàn)信號(hào)跟蹤.在時(shí)間–頻率坐標(biāo)系上分析,DFT算法是基于頻率軸上的某個(gè)點(diǎn),通過對(duì)時(shí)間軸的一個(gè)區(qū)間的信息進(jìn)行加權(quán)累加,進(jìn)而獲得輸入信號(hào)在該頻率點(diǎn)的譜信息,這種基于時(shí)域內(nèi)積的算法,具有較好的抗脈沖干擾性能.而本算法是基于時(shí)間軸上的某個(gè)點(diǎn),通過對(duì)頻率軸上多個(gè)頻點(diǎn)的信息進(jìn)行加權(quán)累加,從而獲得輸入信號(hào)在該時(shí)刻的不同頻率點(diǎn)處的譜信息.對(duì)應(yīng)頻域分析的DFT方法,新算法屬于時(shí)域譜分析方法.由于本文算法為線性時(shí)不變系統(tǒng),其性能尤其是暫態(tài)性能優(yōu)于高度耦合的非線性的APM算法.即使在每個(gè)跟蹤器的參數(shù)都滿足最佳參數(shù)條件、APM算法等價(jià)于線性時(shí)不變系統(tǒng)的特殊情況下,本文算法的參數(shù)個(gè)數(shù)也明顯比APM算法少一半.另外,由于本文算法具有幅值魯棒性,多個(gè)跟蹤器可以采用同一個(gè)帶寬參數(shù),可大大減少計(jì)算量.與小波變換和小波包分解相比,本算法沒有選擇基函數(shù)的困擾,計(jì)算量小,實(shí)用性較強(qiáng).3使用模擬測(cè)試3.1關(guān)于apm算法與其他算法的暫態(tài)收斂過程在下面的Matlab仿真中,都選取采樣頻率為10kHz.令基波角頻率為ω0=100πrad/s,設(shè)輸入電壓信號(hào)u(t)單位為伏特(V),由四個(gè)平穩(wěn)正弦成分組成,各成分的頻率已知,分別為基頻的1.0,3.25,6.55,8.0倍,表示為各個(gè)分量的幅值和相角在不同時(shí)刻產(chǎn)生不同的變化如表1所示,研究頻率已知的理想情況下不同算法的跟隨性能和幅值估計(jì)性能.在DFT算法中,為獲得精確分析結(jié)果,需把基波頻率減小為0.05ω0,而各個(gè)分量則對(duì)應(yīng)于20次65次,131次,160次諧波,如選取數(shù)據(jù)窗長(zhǎng)度為一個(gè)基波周期,至少需要0.4s輸出才能跟隨信號(hào)幅值或相角的跳變.在本文算法與APM算法中,分別采用4個(gè)跟蹤器并聯(lián),相應(yīng)的頻率參數(shù)都設(shè)為輸入分量的頻率設(shè)置本文算法的帶寬參數(shù)以及APM算法的參數(shù)都為200π.每個(gè)狀態(tài)變量的初始值都設(shè)為零,仿真后各分量跟隨誤差及其幅值估計(jì)曲線分別如圖3～6(見第1425頁(yè)和1426頁(yè))所示.從起始時(shí)刻開始,在圖3中收斂最慢的e4在0.1s時(shí)也達(dá)到零值,而圖5中收斂最慢的e2在0.2s時(shí)才到零值,圖4收斂最慢的a4在0.08s即實(shí)現(xiàn)對(duì)U4的無(wú)差跟隨,而圖6收斂最慢的a2在0.1s時(shí)才實(shí)現(xiàn)無(wú)差跟隨U2.說(shuō)明本文算法的暫態(tài)收斂速度優(yōu)于APM算法.其原因主要是在APM算法中,在ˉμi1=ˉμi2條件下,由于U2最小,使得ˉμ21與ˉμ22U2之差最大,針對(duì)u2的跟蹤器離最優(yōu)參數(shù)條件最遠(yuǎn)其暫態(tài)時(shí)間最長(zhǎng).而本文算法的每個(gè)跟蹤器都等價(jià)于最優(yōu)參數(shù)條件下的APM算法,所以暫態(tài)時(shí)間都較短.本文算法和APM兩種算法的暫態(tài)響應(yīng)時(shí)間都小于DFT算法精確分析所需要的時(shí)間窗長(zhǎng)度,兩種算法的動(dòng)態(tài)性能都優(yōu)于DFT算法.另外,輸入信號(hào)的各個(gè)分量幅值、相角的初值都不等于零,而本文算法與APM算法的狀態(tài)變量的初值都等于零,這說(shuō)明了兩種算法對(duì)于由幅值與相角同時(shí)改變具有良好的跟蹤性能.在t=0.3s時(shí),保持各分量的幅值不變,使相角產(chǎn)生不同大小、不同方向的跳變.圖3的暫態(tài)響應(yīng)時(shí)間都小于0.1s,而圖5中e2的暫態(tài)時(shí)間竟長(zhǎng)達(dá)0.22s,圖4的暫態(tài)時(shí)間都小于0.08s,而圖6中a2的響應(yīng)時(shí)間長(zhǎng)達(dá)0.16s,說(shuō)明在單純相角跳變引起的暫態(tài)過程中,本文算法跟隨性能更優(yōu)于APM算法.在t=0.7s時(shí),保持各分量的相角不變,使幅值產(chǎn)生不同大小、不同方向的跳變.圖3和圖4的暫態(tài)響應(yīng)時(shí)間約為0.08s,與t=0.3s時(shí)的暫態(tài)過程類似,說(shuō)明本文算法的魯棒性較好,圖5和圖6的暫態(tài)時(shí)間都小于0.05s,遠(yuǎn)小于t=0.3s時(shí)的暫態(tài)時(shí)間,APM在不同情況下的跟隨性能差別較大,表明魯棒性較差.在t=1.0s時(shí),保持各分量的相角不變,在幅值U1,U3上疊加頻率等于2Hz、幅值分別為0.1V,0.05V的正弦調(diào)制波.圖4和圖6顯示了本文算法與APM算法對(duì)各個(gè)分量幅值的準(zhǔn)確跟隨性能,幅值調(diào)制等價(jià)于輸入分量的頻率不再等于跟蹤器的頻率參數(shù),故圖3和圖5中存在高頻的跟隨誤差.在t=1.5s時(shí),保持各分量的幅值不變,使相角產(chǎn)生不同大小、不同方向的跳變,圖4和圖6顯示在過渡過程結(jié)束后,兩種算法仍然保持較好的幅值跟隨性能.3.2算法仿真結(jié)果在輸入分量的實(shí)際頻率與算法的設(shè)定頻率有偏差時(shí),研究DFT算法、APM算法以及本文所提出的LST算法在穩(wěn)態(tài)時(shí)的頻率格柵效應(yīng).設(shè)輸入信號(hào)及其正弦分量仍然為式(15),其幅值為表2中的真值.在三種算法中,都將其當(dāng)作頻率為1.0ω0,3.5ω06.5ω0,8.0ω0的四個(gè)分量處理,其估計(jì)幅值依次記為a1,a2,a3,a4,分析結(jié)果列在表2中.表中數(shù)據(jù)為“中心值±偏差值”結(jié)構(gòu).在DFT算法中,基波頻率設(shè)為0.5ω0,以TW=2π/(0.5ω0)=0.04s為數(shù)據(jù)窗長(zhǎng)度,a1,a2,a3,a4分別為2次,7次,13次與16次諧波的幅值.在本文所提的并聯(lián)LST算法中,可以認(rèn)為a1和a4對(duì)應(yīng)的頻率參數(shù)沒有偏差,而a2和a3對(duì)應(yīng)的頻率參數(shù)有偏差,因此設(shè)定參數(shù)μ1=μ4,μ2=μ3,分四種情況進(jìn)行仿真.對(duì)于頻率參數(shù)沒有偏差的a1和a4,其中心總等于真值.頻率參數(shù)存在偏差的a2和a3,其中心與真值總有偏差,頻率偏差越大則幅值偏差越大,而帶寬參數(shù)增大則幅值偏差減小.當(dāng)帶寬參數(shù)μ1=μ2=μ3=μ4=200π時(shí),本文算法的精確性近似于DFT算法,而當(dāng)μ1=μ4=20π,μ2=μ3=200π時(shí),本文算法的精確性優(yōu)于DFT算法一方面是因?yàn)檩^小的μ1減小了其他分量對(duì)a1的影響,較小的μ4減小了其他分量對(duì)a4的影響,a1和a4上疊加的高頻振蕩幅度很小,而由于二者的頻率參數(shù)沒有偏差,幅值中心等于真值,因此能夠獲得精確的檢測(cè)結(jié)果.另一方面,較大的μ2,μ3減小了頻率偏差造成的估計(jì)幅值a2和a3中心的偏移,使得本文算法的檢測(cè)結(jié)果比DFT算法更精確.把APM算法中第i(i=1,2,3,4)個(gè)跟蹤器的兩個(gè)參數(shù)ˉμi1與ˉμi2設(shè)定為相同值,并等于本文算法中第i個(gè)跟蹤器的帶寬參數(shù)μi,對(duì)應(yīng)LST算法的四種參數(shù)組合的檢測(cè)結(jié)果列在表2中