大學(xué) 概率論 課件 中國(guó)農(nóng)業(yè)出版社(02章)丁

華南農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)系

Probabilityandmathematicalstatistic概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)主講：丁仕虹E-mail:shh_ding@163.comTel:88432519第一部分概率論（probability）第一章隨機(jī)事件與概率第四章多維隨機(jī)變量及其分布第二章條件概率與獨(dú)立性第三章一維隨機(jī)變量及其分布第五章隨機(jī)變量的數(shù)字特征第六章大數(shù)定律和中心極限定理?xiàng)l件概率與獨(dú)立性乘法公式全概率公式貝葉斯公式獨(dú)立性第二章條件概率與獨(dú)立性§2.1條件概率拋擲一顆骰子,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)A={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)}＝｛１，３，５｝B={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不超過(guò)3}＝｛１，２，３｝若已知出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不超過(guò)3，求出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)的概率即事件B已發(fā)生，求事件A的概率Ｐ（Ａ｜Ｂ）

A

B都發(fā)生，但樣本空間縮小到只包含Ｂ的樣本點(diǎn)條件概率

ConditionalProbability合格品數(shù)

次品數(shù)

總數(shù)甲車間產(chǎn)品數(shù)

54

6

60乙車間產(chǎn)品數(shù)

32

8

40

總數(shù)

86

14

100從這100件產(chǎn)品中任取一件，設(shè)A={合格品）B={甲車間產(chǎn)品}求P(A),P(B),P(AB),P(A|B)條件概率

ConditionalProbability例某廠有甲乙兩個(gè)車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品P(A|B)是求在事件B發(fā)生的條件下，A發(fā)生的概率設(shè)Ａ，Ｂ為同一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)隨機(jī)事件,且Ｐ（Ｂ）＞０，則稱為在事件Ｂ發(fā)生的條件下，事件Ａ發(fā)生的條件概率．

定義條件概率

ConditionalProbabilitySamplespace

ReducedsamplespacegiveneventB條件概率

P(A|B)的樣本空間例

設(shè)100件產(chǎn)品中有70件一等品，25件二等品，規(guī)定一、二等品為合格品．從中任取1件，求(1)取得一等品的概率；(2)已知取得的是合格品，求它是一等品的概率．解設(shè)Ａ表示取得一等品，Ｂ表示取得合格品，則

（1）因?yàn)?00件產(chǎn)品中有70件一等品，所以（2）方法1：方法2：

因?yàn)?5件合格品中有70件一等品，所以例

考慮恰有兩個(gè)小孩的家庭.若已知某一家有男孩，求這家有兩個(gè)男孩的概率；若已知某家第一個(gè)是男孩，求這家有兩個(gè)男孩（相當(dāng)于第二個(gè)也是男孩）的概率.（假定生男生女為等可能）Ω={(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)}解于是得

={(男,男),(男,女)}

則Ｂ={(男,男),(男,女),(女,男)}Ａ={(男,男)}，設(shè)Ｂ=“有男孩”，=“第一個(gè)是男孩”Ａ=“有兩個(gè)男孩”，§2.2乘法公式全概率公式貝葉斯公式乘法法則

推廣一批產(chǎn)品中有4%的次品，而合格品中一等品占45%.從這批產(chǎn)品中任取一件，求該產(chǎn)品是一等品的概率．

設(shè)Ａ表示取到的產(chǎn)品是一等品，Ｂ表示取出的產(chǎn)品是合格品，則于是

所以

解例解

一個(gè)盒子中有６只白球、４只黑球，從中不放回地每次任?。敝唬B?。泊危?1)第一次取得白球的概率；(2)第一、第二次都取得白球的概率；(3)第一次取得黑球而第二次取得白球的概率．設(shè)Ａ表示第一次取得白球,Ｂ表示第二次取得白球,則（2）（3）（1）例練一練全年級(jí)100名學(xué)生中，有男生（以事件A表示）80人，女生20人；來(lái)自北京的（以事件B表示）有20人，其中男生12人，女生8人；免修英語(yǔ)的（以事件C表示）40人中，有32名男生，8名女生。求

練一練甲，乙，丙3人參加面試抽簽，每人的試題通過(guò)不放回抽簽的方式確定。假設(shè)被抽的10個(gè)試題簽中有4個(gè)是難題簽，按甲先，乙次，丙最后的次序抽簽。試求1）甲抽到難題簽，2）甲和乙都抽到難題簽，3）甲沒(méi)抽到難題簽而乙抽到難題簽，4）甲，乙，丙都抽到難題簽的概率。完備事件組完備事件組

解

因?yàn)椋拢剑粒隆?，且ＡＢ與互不相容，所以＝0.6一個(gè)盒子中有６只白球、４只黑球，從中不放回地每次任?。敝唬B?。泊危蟮诙稳〉桨浊虻母怕世鼳={第一次取到白球}全概率公式全概率公式(分解公式)

設(shè)Ａ1

，Ａ2

，...，Ａn

構(gòu)成一個(gè)完備事件組，且Ｐ(Ａi)＞0 ，i＝1，2，...，n，則對(duì)任一隨機(jī)事件Ｂ，有全概率公式例

設(shè)播種用麥種中混有一等，二等，三等，四等四個(gè)等級(jí)的種子，分別各占95.5％，2％，1.5％，1％，用一等，二等，三等，四等種子長(zhǎng)出的穗含50顆以上麥粒的概率分別為0.5，0.15，0.1，0.05，求這批種子所結(jié)的穗含有50顆以上麥粒的概率．解

設(shè)從這批種子中任選一顆是一等，二等，三等，四等種子的事件分別是Ａ1，Ａ2，Ａ3，Ａ4，則它們構(gòu)成完備事件組，又設(shè)Ｂ表示任選一顆種子所結(jié)的穗含有50粒以上麥粒這一事件，則由全概率公式：＝95.5％×0.5＋2％×0.15＋1.5％×0.1＋1％×0.05＝0.4825貝葉斯公式Bayes’Theorem后驗(yàn)概率

設(shè)A1，A2，…,An構(gòu)成完備事件組，且諸P（Ai）>0)B為樣本空間的任意事件，P（B）>0,則有(k=1,2,…,n)證明貝葉斯公式Bayes’Theorem（逆概率公式）例

設(shè)某工廠有甲、乙、丙三個(gè)車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，已知各車間的產(chǎn)量分別占全廠產(chǎn)量的25%，35%，40%，而且各車間的次品率依次為5%，4%，2%．現(xiàn)從待出廠的產(chǎn)品中檢查出一個(gè)次品，試判斷它是由甲車間生產(chǎn)的概率．解

設(shè)Ａ1

，Ａ2

，Ａ3

分別表示產(chǎn)品由甲、乙、丙車間生產(chǎn)，Ｂ表示產(chǎn)品為次品．顯然，Ａ1，Ａ2

，Ａ3

構(gòu)成完備事件組．依題意，有Ｐ(Ａ1)＝25%,Ｐ(Ａ2)=

35%,Ｐ(Ａ3)＝40%,Ｐ(Ｂ|Ａ1)＝5%,Ｐ(Ｂ|Ａ2)＝4%,Ｐ(Ｂ|Ａ3)＝2%Ｐ(Ａ1|Ｂ)＝

發(fā)報(bào)臺(tái)分別以概率0.6和0.4發(fā)出信號(hào)“．”和“－”，由于通信系統(tǒng)受到干擾，當(dāng)發(fā)出信號(hào)“．”時(shí)，收?qǐng)?bào)臺(tái)分別以概率0.8及0.2收到信號(hào)“．”和“－”，同樣，當(dāng)發(fā)報(bào)臺(tái)發(fā)出信號(hào)“－”時(shí)，收?qǐng)?bào)臺(tái)分別以概率0.9和0.1收到信號(hào)“－”和“．”．求(1)收?qǐng)?bào)臺(tái)收到信號(hào)“．”的概率．(2）當(dāng)收?qǐng)?bào)臺(tái)收到信號(hào)“．”時(shí)，發(fā)報(bào)臺(tái)確系發(fā)出信號(hào)“．”的概率．甲箱中有3個(gè)白球，2個(gè)黑球，乙箱中有1個(gè)白球，3個(gè)黑球?，F(xiàn)從甲箱中任取一球放入乙箱中，再?gòu)囊蚁淙我馊〕鲆磺颉?wèn)從乙箱中取出白球的概率是多少？解設(shè)B=“從乙箱中取出白球”，A1=“從甲箱中取出白球”，A2=“從甲箱中取出黑球”。已知在所有男子中有5%，在所有女子中有0.25%患有色盲癥。隨機(jī)抽一人發(fā)現(xiàn)患色盲癥，問(wèn)其為男子的概率是多少？（設(shè)男子和女子的人數(shù)相等）。作業(yè)P25-2619;22;26;23;25;

§2.3獨(dú)立性解一個(gè)盒子中有６只黑球、４只白球，從中有放回地摸球。求（1）第一次摸到黑球的條件下，第二次摸到黑球的概率；（2）第二次摸到黑球的概率。例A={第一次摸到黑球}B={第二次摸到黑球}事件的獨(dú)立性設(shè)Ａ、Ｂ為任意兩個(gè)隨機(jī)事件，如果Ｐ（Ｂ｜Ａ）＝Ｐ（Ｂ）即事件Ｂ發(fā)生的可能性不受事件Ａ的影響，則稱事件Ｂ對(duì)于事件Ａ獨(dú)立．

顯然，Ｂ對(duì)于Ａ獨(dú)立，則Ａ對(duì)于Ｂ也獨(dú)立，故稱Ａ與Ｂ相互獨(dú)立．定義事件的獨(dú)立性

independence事件的獨(dú)立性判別事件Ａ與事件Ｂ獨(dú)立的充分必要條件是證明實(shí)際問(wèn)題中可根據(jù)問(wèn)題中獨(dú)立性的實(shí)際意義來(lái)判斷

如“甲擊中”與“乙擊中”可以認(rèn)為相互沒(méi)有影響，即可以認(rèn)為相互獨(dú)立定理概念辨析事件Ａ與事件Ｂ獨(dú)立事件Ａ與事件Ｂ互不相容例甲乙二人向同一目標(biāo)射擊，甲擊中目標(biāo)的概率為0.6，乙擊中目標(biāo)的概率為0.5。試計(jì)算1）兩人都擊中目標(biāo)的概率；2）恰有一人擊中目標(biāo)的概率；3）目標(biāo)被擊中的概率。如果事件A，B，C滿足P(AB)=P(A)P(B)P(AC)=P(A)P(C)P(BC)=P(B)P(C)P(ABC)=P(A)P(B)P(C)則稱事件A，B，C相互獨(dú)立。注意事件A，B，C相互獨(dú)立與事件A，B，C兩兩獨(dú)立不同，兩兩獨(dú)立是指上述式子中前三個(gè)式子成立。因此，相互獨(dú)立一定兩兩獨(dú)立，但反之不一定。 有限多個(gè)事件的獨(dú)立性

定義例設(shè)同時(shí)拋擲兩個(gè)均勻的正四面體一次，每一個(gè)四面體標(biāo)有號(hào)碼1，2，3，4。令A(yù)={第一個(gè)四面體出現(xiàn)偶數(shù)}B={第二個(gè)四面體出現(xiàn)奇數(shù)}C={兩個(gè)四面體或者同時(shí)出現(xiàn)奇數(shù)，或者同時(shí)出現(xiàn)偶數(shù)}樣本空間為對(duì)滿足相互獨(dú)立的多個(gè)事件，有例

加工某一種零件需要經(jīng)過(guò)三道工序，設(shè)三道工序的次品率分別為2%，1%，5%，假設(shè)各道工序是互不影響的．求加工出來(lái)的零件的次品率．解

設(shè)Ａ1

，Ａ2

，Ａ3

分別表示第一、第二、第三道工序出現(xiàn)次品，則依題意：Ａ1,Ａ2,Ａ3相互獨(dú)立，且

Ｐ（Ａ1）＝2%,Ｐ（Ａ2）＝1%,Ｐ（Ａ3）＝5%又設(shè)Ａ表示加工出來(lái)的零件是次品,則A＝Ａ1∪Ａ2∪Ａ3

方法２（用對(duì)立事件的概率關(guān)系）

＝1－(1－0.02)(1－0.01)(1－0.05)

＝0.0783某工人照看三臺(tái)機(jī)床，一個(gè)小時(shí)內(nèi)1號(hào)，2號(hào)，3號(hào)機(jī)床需要照看的概率分別為0.3,0.2,0.1。設(shè)各機(jī)床之間是否需要照看是相互獨(dú)立的，求在一小時(shí)內(nèi)1）沒(méi)有一臺(tái)機(jī)床需要照看的概率；2）至少有一臺(tái)不需要照看的概率；3）至多有一臺(tái)需要照看的概率。貝努利試驗(yàn)Bernoullitrials

相互獨(dú)立的試驗(yàn)

貝努利試驗(yàn)將試驗(yàn)E重復(fù)進(jìn)行n次,若各次試驗(yàn)的結(jié)果互不影響,則稱這n次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的.

設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E只有兩種可能的結(jié)果:A及,且P(A)=p,在相同的條件下將E重復(fù)進(jìn)行n次獨(dú)立試驗(yàn),則稱這一串試驗(yàn)為n重貝努利試驗(yàn)，簡(jiǎn)稱貝努利試驗(yàn)(Bernoullitrials).例

一批產(chǎn)品的次品率為5%，從中每次任取一個(gè)，檢驗(yàn)后放回，再取一個(gè)，連取4次．求4次中恰有2次取到次品的概率．設(shè)Ｂ＝｛恰好有2次取到次品｝,Ａ＝｛取到次品｝，

則＝｛取到正品｝．

分析n=4的Bernoulli試驗(yàn)Ａi={第i次抽樣抽到次品}因?yàn)椋?，Ａ2，Ａ3，Ａ4相互獨(dú)立，所以

四次抽樣中Ａ恰好發(fā)生兩次（有兩次取到次品）的情況有

貝努利定理

設(shè)在一次試驗(yàn)中事件Ａ發(fā)生的概率為p(0<p<1)，則Ａ在n次貝努里試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率為(k＝0，1，2，...，n)其中

定理例

有一批棉花種子,其出苗率為0.67,現(xiàn)每穴種4粒種子,(1)求恰有ｋ粒出苗的概率(0≤k≤4)；(2)求至少有兩粒出苗的概率．

(1)4重貝努利試驗(yàn)解(0≤k≤4)(2)設(shè)Ｂ表示至少有2粒出苗的事件,則n=4，p=0.67Bernoulli定理設(shè)某人打靶，命中率為0.7，重復(fù)射擊5次，求恰好命中3次的概率。設(shè)某電子元件的使用壽命在1000小時(shí)以上的概率為0.2，當(dāng)三個(gè)電子元件相互獨(dú)立使用時(shí)，求在