第十一章 耦合電感與理想變壓器

11.1耦合電感的伏-安關(guān)系11.2耦合電感的串并聯(lián)和去耦等效電路

11.3含耦合電感的電路分析

第十一章耦合電感與理想變壓器

11.4空心變壓器

11.5理想變壓器

11.6全耦合變壓器11.7實(shí)際變壓器模型耦合電感和理想變壓器是電路中的兩種元件，同屬于磁耦合元件，它們?cè)趯?shí)際中有著廣泛的應(yīng)用。所謂磁耦合，是指載流線圈通過彼此的磁場而相互關(guān)聯(lián)的現(xiàn)象。但耦合電感和理想變壓器又有各自的特點(diǎn)，耦合電感是動(dòng)態(tài)元件，能夠儲(chǔ)存能量，而理想變壓器既不儲(chǔ)存能量也不消耗能量，只是按照一定的變比傳遞能量。本章主要介紹互感現(xiàn)象、耦合電感的同名端、耦合系數(shù)；耦合電感的電壓電流關(guān)系；含有耦合電感的電路的分析。最后簡單介紹空心變壓器、理想變壓器及其應(yīng)用。第十一章耦合電感與理想變壓器依法拉第電磁感應(yīng)定律，線圈兩端的感應(yīng)電壓與磁鏈的關(guān)系為：11.1耦合電感的伏-安關(guān)系圖11-1匝數(shù)為N的自感線圈感應(yīng)電壓與線圈電流的關(guān)系為：其中，

，在這里L(fēng)稱為自電感。當(dāng)具有自電感L1、L2的兩個(gè)線圈緊密靠近時(shí)，如圖11-2(a)所示。N1、N2是線圈1、2的匝數(shù)。當(dāng)兩個(gè)線圈都有電流時(shí)它們的磁場相互關(guān)聯(lián)的。為簡化分析，先讓線圈2的電路開路。11.1耦合電感的伏-安關(guān)系圖11-2線圈1在線圈2產(chǎn)生的互感圖(b)是為了說明線圈2的感應(yīng)電壓極性與線圈的繞向有關(guān)。

11.1耦合電感的伏-安關(guān)系設(shè)電流i1在線圈1中產(chǎn)生的自感磁鏈為

11，在線圈2中產(chǎn)生的互感磁通為21。線圈1的總磁通1為：當(dāng)

1隨時(shí)間變化時(shí)，線圈1的感應(yīng)電壓為：

因?yàn)橹挥写磐?/p>

21經(jīng)過線圈2，所以線圈2的感應(yīng)電壓為：

11.1耦合電感的伏-安關(guān)系M21稱為線圈1對(duì)線圈2的互感系數(shù)，簡稱互感，單位H。通常M的值取正。

同理，若在線圈2中通以交變的電流，線圈1的電路開路，如圖11-3所示。11.1耦合電感的伏-安關(guān)系圖11-3線圈2在線圈1產(chǎn)生的互感線圈2的總磁通

2為：

11.1耦合電感的伏-安關(guān)系當(dāng)

2隨時(shí)間變化時(shí)，線圈2的感應(yīng)電壓為：

因?yàn)橹挥写磐?/p>

12經(jīng)過線圈1，所以它的感應(yīng)電壓為：

總結(jié)：互感M的大小表明一個(gè)線圈在另一個(gè)線圈中產(chǎn)生感應(yīng)電壓的能力。M越大，產(chǎn)生的感應(yīng)電壓越大。11.1耦合電感的伏-安關(guān)系其中，M12稱為線圈2對(duì)線圈1的互感系數(shù)。當(dāng)兩個(gè)線圈在同樣的環(huán)境下時(shí)，可以證明，M21=M12。因此當(dāng)兩線圈有耦合作用時(shí)，可省去下標(biāo)，用M表示互感。

在耦合電趕的伏-安關(guān)系中，因自電感的電流與感應(yīng)電壓都是對(duì)同一個(gè)線圈，感應(yīng)電壓的實(shí)際方向與線圈中的電流符合關(guān)聯(lián)參考方向。而互感是衡量一個(gè)線圈的電流在另一個(gè)線圈中產(chǎn)生感應(yīng)電壓的能力，因此感應(yīng)電壓的極性與另一個(gè)線圈的繞向有關(guān)。繞向不同，互感磁通可能會(huì)削弱自感磁通，也可能增強(qiáng)自感磁通。11.1耦合電感的伏-安關(guān)系在分析電路時(shí)耦合線圈一般用電路符號(hào)表示，不能具體表示出元件的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，實(shí)際的互感元件也看不見線圈的繞向，因此，常在電路圖中的互感線圈上標(biāo)注互感電動(dòng)勢極性的標(biāo)記，這就是同名端的標(biāo)記。是各取耦合線圈的一端，標(biāo)上“?”或“*”號(hào)，這一對(duì)端子稱為同名端。它們之間的關(guān)系是：若設(shè)一端是產(chǎn)生互感電壓的電流的流入端，則另一端的是互感電壓的“+”端。反之，若一端是產(chǎn)生互感電壓的電流的流出端，則另一端是互感電壓的“-”端。11.1耦合電感的伏-安關(guān)系同名端定義：在變壓器和互感器出廠時(shí)，廠家已用同名端的標(biāo)記符號(hào)在它的外殼上標(biāo)示出線圈的相對(duì)繞向。當(dāng)然，可以根據(jù)同名端的定義，也可以用實(shí)驗(yàn)的方法確定同名端。

圖11-4用同名端標(biāo)識(shí)耦合電感的電路模型11.1耦合電感的伏-安關(guān)系圖11-2可簡化為圖11-4（a）的電路模型，圖中1、2端互為同名端，或1＇、2＇端互為同名端。圖11-4(b)、(c)、(d)給出的是另外三種情況的電路模型。例11-1求圖11-5(a)，(b)中耦合電感的端電壓u1,u2。圖11-5耦合電感的電路模型11.1耦合電感的伏-安關(guān)系解：（a）電路，電流i1從1端流入，根據(jù)同名端的定義，在線圈2中產(chǎn)生的互感電壓極性一定是3端為正。因此，電流i1在線圈2中引起的互感電壓與線圈2的端口電壓u2方向是一致的，

因此有：同理可得：11.1耦合電感的伏-安關(guān)系對(duì)圖（b）電路，線圈2同名端的位置與圖(a)中相反，而端口電流、電壓的定義方向一致，因此互感電壓的極性一定與式（a）的u1和u2一定相反。端口的伏安關(guān)系：

圖11-6耦合電感的相量電路模型11.1耦合電感的伏-安關(guān)系耦合電感元件可用相量模型表示：對(duì)應(yīng)的伏-安關(guān)系表示為：11.1耦合電感的伏-安關(guān)系用受控電壓源等效的方法表示電路中耦合線圈的互感作用：等效經(jīng)過這樣的轉(zhuǎn)換，兩線圈之間不再有耦合關(guān)系。

相量表示因?yàn)橥ǔＧ闆r下，

21<11，12

<22，所以k的值是介于0和1之間。

工程上用它來描述兩線圈的耦合程度。即：

11.1耦合電感的伏-安關(guān)系耦合系數(shù)定義：將兩線圈的互感磁通與自感磁通的比值的幾何平均值。即：

11.1耦合電感的伏-安關(guān)系若

21

=11，12

=22，即：每個(gè)線圈產(chǎn)生的磁通全部通過另一線圈，則k=1：稱兩線圈是全耦合。k=0，兩線圈無耦合。k值的大小反映了耦合的程度，它與線圈的結(jié)構(gòu)、相互位置及周圍的介質(zhì)有關(guān)。(a)松耦合(b)緊耦合圖11-8耦合電感的耦合程度示意圖當(dāng)k<0.5時(shí)，稱為松耦合，當(dāng)k>0.5時(shí)，稱為緊耦合，如圖11-8所示。11.2耦合電感的串并聯(lián)和去耦等效電路

一、耦合電感的串聯(lián)一對(duì)耦合電感的串聯(lián)有兩種方式：順串和反串。順串是將兩線圈的異名端相聯(lián)，如圖11-9(a)所示。根據(jù)同名端的定義與互感電壓極性的關(guān)系，可得到用受控源表示的電路，如圖11-9(b)所示。圖11-9耦合電感的順串

圖11-9耦合電感的順串因此得到：11.2耦合電感的串并聯(lián)和去耦等效電路順串后的等效電感。等效為無互感的電路：

反串是將兩線圈的同名端相聯(lián)，如圖11-11(a)所示。同樣可得到用受控源表示的電路，如圖11-11(b)所示。11.2耦合電感的串并聯(lián)和去耦等效電路圖11-11耦合電感的反串因此有：11.2耦合電感的串并聯(lián)和去耦等效電路反串后的互感對(duì)磁通起“削弱”作用。圖11-12無互感的反串等效電路反串后的等效電感等效為無互感的反串電路：

11.2耦合電感的串并聯(lián)和去耦等效電路順串時(shí)的等效阻抗：反串時(shí)的等效阻抗：結(jié)論：串聯(lián)的兩個(gè)電感若有互感時(shí)，等效阻抗不僅與自電感阻抗有關(guān)，還與互感阻抗和串接方式有關(guān)。耦合電感并聯(lián)的連接方式有兩種，如圖11-13所示。（a）是同名端連接在同一節(jié)點(diǎn)上，稱為同側(cè)并聯(lián)電路；

(b)是非同名端連接在同一節(jié)點(diǎn)上，成為異側(cè)并聯(lián)電路。圖11-13耦合電感的并聯(lián)電路11.2耦合電感的串并聯(lián)和去耦等效電路二、耦合電感的串聯(lián)對(duì)同側(cè)并聯(lián)電路，有：因?yàn)?/p>

，所以有：同側(cè)并聯(lián)電路的等效電感為：11.2耦合電感的串并聯(lián)和去耦等效電路

對(duì)異側(cè)并聯(lián)電路，同理可得到等效電感為：11.2耦合電感的串并聯(lián)和去耦等效電路三、去耦等效電路在分析含有耦合電感的電路中，常常會(huì)有圖11-14（a）所示的部分。在計(jì)算時(shí)常用等效電路模型來代替，以方便計(jì)算。11-14(a)同名端連在公共端點(diǎn)上下面推導(dǎo)它們之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系：去耦等效電路11.2耦合電感的串并聯(lián)和去耦等效電路(a)同名端連在公共端點(diǎn)上

(b)去耦等效電路

圖11-14同名端相連的耦合電感及其去耦等效電路

對(duì)(a),由同名端的定義與互感電壓極性的關(guān)系，可得：

對(duì)(b)電路，依據(jù)KVL有:11.2耦合電感的串并聯(lián)和去耦等效電路(a)同名端連在公共端點(diǎn)上

(b)去耦等效電路

圖11-14同名端相連的耦合電感及其去耦等效電路

將兩式的系數(shù)進(jìn)行比較，可以得到：

若改變同名端的位置，如圖11-15(a)所示，可以得到11-15(b)所示的去耦等效電路圖。

(a)異同名端連在公共端點(diǎn)上(b)去耦等效電路圖11-15耦合電感及其去耦等效電路11.2耦合電感的串并聯(lián)和去耦等效電路對(duì)含有耦合電感的電路，若是正弦穩(wěn)態(tài)電路，可用相量法進(jìn)行分析，也可在時(shí)域內(nèi)進(jìn)行分析。在列電壓方程，要注意耦合電感上有互感電壓。也可靈活應(yīng)用上一節(jié)中得到的結(jié)論進(jìn)行分析。在這一節(jié)中主要通過幾個(gè)實(shí)例來分析含有耦合電感的電路。11.3對(duì)含耦合電感的電路分析圖11-16例11-2電路11.3對(duì)含耦合電感的電路分析例11-2求圖11-16(a)所示電路的輸入阻抗。解：利用去耦T形等效變換，得到圖1(b)的等效電路。

容易得到電路的輸入阻抗為：圖11-17例11-3電路11.3對(duì)含耦合電感的電路分析例11-3試列出求解圖11-17電路中的電流方程。

解：利用去耦模型，得到圖11-18的等效電路。

圖11-18圖11-17電路的去耦等效電路

圖11-18圖11-17電路的去耦等效電路

依KVL列兩個(gè)回路的電壓方程，依KCL定律列節(jié)點(diǎn)a的電流方程，得到：11.3對(duì)含耦合電感的電路分析例11-4電路如圖11-19所示。已知

L1=

L2=10

，

M=5

，R1=R2=6

，Us=6V，求其戴維南等效電路。圖11-19例11-4電路11.3對(duì)含耦合電感的電路分析解：依據(jù)同名端的定義，電感L2和電阻R2的電壓方向如圖11-19所示。首先計(jì)算電路的開路電壓。用去耦等效電路求，將電壓源短路，得到如圖所示的去耦等效電路。則：11.3對(duì)含耦合電感的電路分析計(jì)算從ab端看進(jìn)去的等效阻抗Zo：電路的戴維南等效電路如圖下所示。例11-5用受控電壓源法和去耦等效法，求圖11-21中耦合線圈的去耦等效電路。圖11-21例11-5電路11.3對(duì)含耦合電感的電路分析解：用兩種方法對(duì)圖11-20的耦合電感去耦，可使含有它們的電路計(jì)算更簡單明了。但要注意，要一對(duì)一對(duì)線圈去耦。

用受控電壓源法得到的等效電路如圖11-22所示。圖11-22受控電壓源法得到的等效電路11.3對(duì)含耦合電感的電路分析

圖11-23T變換得到的去耦等效電路11.3對(duì)含耦合電感的電路分析用T變換去耦法得到的去耦等效電路如圖11-22所示。變壓器是電子、電力和電器設(shè)備中常用的器件。如：在電力系統(tǒng)中，輸送一定功率的電能。在電力系統(tǒng)中，輸送一定功率的電能時(shí)，使用變壓器可以減少線路上的電能損失，并減小導(dǎo)線截面，節(jié)約有色金屬。在發(fā)電站的交流發(fā)電機(jī)因絕緣的問題發(fā)出的電壓不能太高，要用升壓變壓器將發(fā)電機(jī)發(fā)出的電壓升高，然后再輸送出去。在用戶方面電壓又不宜太高，太高就不安全，所以又須用降壓變壓器把電壓降低，供給用戶使用。

11.4空心變壓器通常用電設(shè)備所需的電壓數(shù)值是多種多樣的。例如：機(jī)床用的三相交流電動(dòng)機(jī)，一般用220V的電壓；機(jī)床上的照明燈，一般使用36V的安全電壓。這就需用變壓器把電網(wǎng)電壓變換成適合各種設(shè)備正常工作的電壓。在實(shí)際工作中，除用變壓器變換電壓外，在各種儀器、設(shè)備上還廣泛應(yīng)用變壓器的工作原理來完成某些特殊任務(wù)。例如焊接用的電焊變壓器；冶煉金屬用的電爐變壓器；整流裝置用的整流變壓器；輸出電壓可以調(diào)節(jié)的自耦變壓器、感應(yīng)調(diào)壓器；供測量高電壓和大電流用的電壓互感器、電流互感器等。在電子電路中，變壓器還用來變換阻抗。不同種類的變壓器，機(jī)構(gòu)形狀雖然各有特點(diǎn)，但其工作原理基本上是一樣的。

11.4空心變壓器變壓器通常由兩個(gè)耦合線圈圍繞在同一個(gè)芯子上利用電磁感應(yīng)原理制作而成。其中一個(gè)線圈與電源相連，稱為初級(jí)線圈，另一個(gè)線圈與負(fù)載相連，稱為次級(jí)線圈。11.4空心變壓器一、空心變壓器的電路模型空心變壓器的芯子是由非鐵磁性材料做成，例如塑料、木材、或心子是空的，只有空氣。這類變壓器常作為收音機(jī)和電視中的元件。

圖11-24空心變壓器的電路模型在正弦穩(wěn)態(tài)下，對(duì)圖中的兩網(wǎng)孔列KVL方程，得到：11.4空心變壓器圖11-24中，設(shè)初級(jí)線圈的輸入電壓是正弦電壓，R1，R2是線圈的電阻，ZL是負(fù)載設(shè)Z11=R1+j

L1，為初級(jí)回路自阻抗，Z22=R2+jL2+ZL，為次級(jí)回路自阻抗，ZM=jM，由上面的方程可到：

11.4空心變壓器

從電源端看進(jìn)去的輸入阻抗為：令

ZR是次級(jí)回路的阻抗通過互感反映在初級(jí)回路中的等效