第十講：中學數(shù)學教學相關(guān)問題概述

第十講：中學數(shù)學教學相關(guān)問題概述第一節(jié)：中學數(shù)學問題解決與教學

一、數(shù)學問題解決的含義及特征1.問題的含義波利亞：《數(shù)學的發(fā)現(xiàn)》：所謂“問題”就是意味著要去尋找適當?shù)男袆?，以達到一個可見而不立即可及的目標。1988年第六屆國際數(shù)學教育大會上，指出一個問題是對人具有智力挑戰(zhàn)特征的、沒有現(xiàn)成的直接方法、程序或算法的待解問題情境．

2.數(shù)學問題解決的含義⑴問題解決是一種過程(2)問題解決是一種教學目的(3)問題解決是一種能力(4)問題解決是一種心理活動，也是數(shù)學活動(5)問題解決是教學形式(6)問題解決是一種基本技能綜合以上各種觀點，我們認為對“問題解決”的理解不應僅僅把它作為一種具體的教學形式或技能，而應把它貫穿在整個數(shù)學教育之中．“問題解決”的教學目標是很明確的，那就是要幫助學生提高解決實際問題的能力，而且“問題解決”的過程是一個創(chuàng)造性的活動，因而是數(shù)學教學中最重要的一種活動．3.數(shù)學問題解決的特征⑴目的的指向性⑵操作序列性⑶整合性⑷遷移性

二、數(shù)學問題解決的過程模式1.波利亞模式(1)弄清問題未知數(shù)是什么？已知數(shù)是什么？條件是什么？滿足條件是否可能？要確定未知數(shù)，條件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？畫張圖．引入適當?shù)姆枺褩l件的各個部分分開，你能否把它們寫下來？（2）擬定計劃你以前見過它嗎？你是否見過相同的問題而形式稍有不同？你是否知道與此有關(guān)的問題？你是否知道一個可能用得上的定理？看著未知數(shù)，試想出一個具有相同未知數(shù)或相似未知數(shù)的熟悉的問題，這里有一個與你現(xiàn)在問題有關(guān)，且早已解決的問題．你能不能利用它？你能利用它的結(jié)果嗎？你能利用它的方法嗎？為了能利用它，你是否應該引入某些輔助元素？你能不能重新敘述這個問題？你能不能用不同的方法重新敘述它？回到定義去．

如果你不能解決所提出的問題，可先解決一個與此有關(guān)的問題．你能不能想出一個更容易著手的有關(guān)問題？一個更普遍的問題？一個更特殊的問題？一個類比的問題？你能否解決這個問題的一部分？僅僅保持條件的一部分而舍去其余部分，這樣對于未知數(shù)能確定到什么程度？它會怎樣變化？你能不能從已知數(shù)據(jù)導出某些有用的東西？你能不能想出適合于確定未知數(shù)的其他數(shù)據(jù)？如果需要的話，你能不能改變未知數(shù)或數(shù)據(jù)，或者兩者都改變，以使新未知數(shù)和新數(shù)據(jù)彼此更接近．你是否利用了所有的已知數(shù)據(jù)？你是否利用了整個條件？你是否考慮了包含在問題中所有必要的概念？

⑶實現(xiàn)計劃實現(xiàn)你的求解計劃，檢驗每一步驟．你能否清楚地看出這一步驟是正確的？你能否證明這一步驟是正確的？（4）回顧你能否檢驗這個論證？你能否用別的方法導出這個結(jié)果？你能不能一下子看出它來？你能不能把這個結(jié)果或方法用于其他問題？2.奧加涅相模式前蘇聯(lián)數(shù)學教育家奧加涅相把解題過程分為理解問題的條件、制訂解題計劃、實施解題計劃和研究所得的解四個階段．

⑴理解問題的條件①開始研究問題的條件時，你應當仔細作出直觀的圖形、平面圖、表格或者說明問題的草圖，以幫助你思考問題．將問題的條件正確地用圖形表示出來，意味著你對問題的整個情境有了清晰的、明確的和具體的理解．②清晰地理解問題的情境中的各個元素．一定要弄清楚其中哪些元素是給定了的，即已知的；哪些是所求的，即未知的．③深入地思考問題敘述中的每一個詞（每一個符號、術(shù)語）的意義；盡力找出問題的重要元素，在圖上用直觀的符號標出已知元素和未知元素．試試能否在圖上或草圖上改變問題中各個元素的位置（這樣做有可能發(fā)現(xiàn)問題中很重要的內(nèi)容）．④盡可能從整體上理解問題的條件，找出它的特點，想一想以前是否遇到過與這個問題有某些類似的問題．⑤仔細想一想問題的敘述是否可以做不同的理解，問題的條件中有沒有多余的、互相矛盾的東西，是否還缺少什么條件．⑥認真研究問題提出的目標．根據(jù)所提出的目標，找出哪些理論的法則同整個問題或者它的某些元素有聯(lián)系．⑦如果在解題時有可能使用你熟悉的某種一般的數(shù)學方法（列方程、作幾何變換、坐標法或向量方法等），盡可能地用那種方法的語言表示問題的元素（列出方程、用坐標和向量的形式表示已知關(guān)系和所求關(guān)系等）．⑵制訂解題計劃①想方設(shè)法將所給的問題同你會解的某一類問題聯(lián)系起來．如果連這一點都做不到，那就盡可能找出你熟悉的、最適合于已知條件的一種解題方法．②問題的目標是尋求解答的主要方向．仔細分析問題的目標是什么，試試看能不能用你熟悉的某種方法去解決問題．③將所得到的局部結(jié)果同問題的條件和目標作比較，用這種辦法經(jīng)常檢查解題的意圖是否合理．試驗的次數(shù)（包括思考過的和實際做過的）不要太多．

④試一試能不能部分地改變問題，換一種方式敘述它的條件，故意簡化問題的條件（也就是編一道與所給問題相似的但條件比較簡單的問題，再設(shè)法解它）；試一試能不能擴大問題的條件（編一道比所給問題更一般的問題），而且將與該問題有關(guān)的概念用它的定義來代替．⑤將問題的條件分成幾個部分；盡可能將這幾個部分構(gòu)成一個新的組合（也可能出現(xiàn)同一問題中不討論的東西組合到一起的情況）．⑥試一試能不能將所給問題分成一連串輔助問題，依次解答這些輔助問題就可以構(gòu)成所給問題的解；對于所給問題的情境中的各個部分編一些局部性的問題，這樣做當然要服從基本問題的目標．⑦研究問題的某些部分的極限情況，看一看這樣會對問題的基本目標有什么影響．⑧改變問題的某一部分，看一看這樣會對問題的其他部分有什么影響；根據(jù)看到的改變問題的某些部分所出現(xiàn)的結(jié)果，試一試能不能就問題的目標作出一個假設(shè)．⑨如果所給的問題解不出來，你可以從課本或參考書中找一道與所給問題相似的但已經(jīng)給出解答的問題．仔細研究現(xiàn)成的解答，再盡力從中找出對解答所給問題有益的東西．(3)實施解題計劃實施解題計劃包括將解題計劃的所有細節(jié)付諸實現(xiàn)，同時，通過與已知條件和所選擇的根據(jù)作對比，對計劃進行修正；選擇敘述解答過程的方法并且書寫解答，寫出結(jié)果，等等．

(4)研究所得的解研究所得的解，包括對解答的最后結(jié)果進行檢查分析（估算結(jié)果并進行檢驗），探討實現(xiàn)解題的各種方法，研究特殊情況和局部情況，找出最重要的知識，將新的知識和經(jīng)驗加以整理，使之系統(tǒng)化．

3.舍費爾德模式(1)問題的分析和理解

(2)解法的設(shè)計

(3)對困難問題解法的探索(4)對解進行檢驗4.問題解決的一般模式我國學者高文教授整合國內(nèi)外有關(guān)“問題解決”過程的各種看法，提出了問題解決的一般模式，分為問題識別與定義、問題表征、策略選擇與應用、資源分配和監(jiān)控與評估五個階段．

(1)問題識別與定義這是指解題者必須意識到自己正面臨著一個問題，并且還應正確地定義問題．這樣才有可能著手解決問題．(2)問題表征問題的表征即問題在頭腦中呈現(xiàn)的方式，問題的表征可運用各種變化的方式，可以是語義的、表象的、圖式的、圖表的，既可以在頭腦中編碼，也可以利用紙、筆等工具編碼．其表征方式會影響問題解決的難度．

(3)策略選擇與應用問題解決的策略一般分成兩大類：一類是規(guī)則系統(tǒng)，保證某一特定問題解決的一種方法或程序；另一類是發(fā)現(xiàn)問題解決方案的程序，是一種為獲得創(chuàng)造性系統(tǒng)闡述而作為工具運用的技術(shù)．

(4)資源分配合理地分配資源是有效解決問題的關(guān)鍵，資源分配不當會影響問題的有效解決，有效解決問題能力的高低在很大程度上取決于能否合理地進行資源的配置．

(5)監(jiān)控與評估監(jiān)控可以理解為問題解決者對問題解決全過程的把握和關(guān)注，而評估則是對問題解決進程及其結(jié)果的質(zhì)量作出評定．三、數(shù)學問題解決的解題策略數(shù)學問題解決的解題策略主要有以下幾種：1.整體化策略2.模式識別策略3.轉(zhuǎn)化策略4.辯證思維策略5.媒介過渡策略6.正難則反策略四、數(shù)學問題解決的教學途徑數(shù)學問題解決教學，是教師通過創(chuàng)設(shè)數(shù)學問題情境，讓學生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題，從而獲得解決問題經(jīng)驗和成功體驗的過程．

1.創(chuàng)設(shè)數(shù)學問題情境2.從問題情境中提出數(shù)學問題

⑴從推理方式角度考慮（2）從思考問題的方式考慮(3)從操作活動過程中考慮。3.分析與解決數(shù)學問題

4.安排學生的學習活動

(1)活動的順序?qū)W生活動通?？梢赃@樣安排：①理解問題，可由學生自己讀題和理解，也可以師生一起觀察和磋商；②尋找問題與已有知識的聯(lián)系；③討論和個體探究，可先個體探究后討論，也可先討論后個體探究，也可以個體探究和討論一起進行；④交流結(jié)果和心得．探究活動可以通過聽、看、讀、思考、動筆、利用計算器和計算機等方式進行．

(2)教學形式的選擇問題解決教學主要通過個體探究和群體交流兩種活動來進行，與此相適應的教學組織形式有全班、個人和小組三種．①全班的教學形式．②個別的教學形式．③小組的教學形式．．

5.發(fā)揮教師的主導作用教師通常扮演的是下面三種角色：(1)作為問題解決的“模型”，將自己真實的解題過程展示給學生．(2)作為“外部監(jiān)控者”，其具體行為是在學生個別或小組解決問題時進行觀察、詢問和指導，組織班級學生對解題方案進行討論．(3)作為學生問題解決的“助手”，其具體行為是提出問題、設(shè)計任務(wù)，并要求學生去分析自己的活動表現(xiàn)，指明在解題中所用數(shù)學的特點，以及幫助學生合理地建構(gòu)所用的數(shù)學知識在問題解決教學中，發(fā)揮教師的主導作用應特別注意：(1)提出的問題必須掌握一個合適的尺度，難度應處在學生思維水平的“最近發(fā)展區(qū)”．(2)把學生帶入問題情境后，要給學生的探索、實踐提供時間和機會，教師要“延遲判斷”．(3)積極幫助學生靠自己以及小組的合作發(fā)現(xiàn)解決問題的策略，使不同水平的學生能在問題解決的過程中獲得成功的體驗．第二節(jié)：中學數(shù)學思維與教學一、數(shù)學思維及其特點1.數(shù)學思維的定義數(shù)學思維是人腦和數(shù)學對象（空間形式、數(shù)量關(guān)系、結(jié)構(gòu)關(guān)系）交互作用并按照一般的思維規(guī)律認識數(shù)學內(nèi)容的內(nèi)在理性活動．

2.數(shù)學思維的特點

(1)數(shù)學思維的概括性

(2)數(shù)學思維的整體性

(3)數(shù)學思維的相似性

(4)數(shù)學思維的問題性二、數(shù)學思維的基本類型

1.數(shù)學邏輯思維數(shù)學邏輯思維也稱數(shù)學抽象思維，它是借助數(shù)學概念、判斷、推理等思維形式，通過數(shù)學語言、符號來反映數(shù)學對象的本質(zhì)和規(guī)律的一種思維．

2.數(shù)學形象思維數(shù)學形象思維是指借助數(shù)學形象或表象，反映數(shù)學對象的本質(zhì)和規(guī)律的一種思維．在數(shù)學形象思維中，表象和想象是兩種主要形式，其中數(shù)學表象是數(shù)學形象思維的基本元素．（1）表象表象不同于感知，它是以往感知過的事物形象在人意識中的重現(xiàn)；表象具有直觀性和概括性的特征；數(shù)學表象常常以反映事物本質(zhì)聯(lián)系的特定模式來表現(xiàn)．(2)想象①再造性想象.再造性想象是根據(jù)數(shù)學語言、符號、圖形、圖表等提示，經(jīng)過加工改造而形成新的數(shù)學形象的思維過程．②創(chuàng)造性想象.創(chuàng)造性想象是不依靠現(xiàn)成的數(shù)學語言和符號的描述與提示，只依據(jù)思維的目的和任務(wù)在頭腦中獨立創(chuàng)造出新形象的思維過程．

3.數(shù)學直覺思維

(1)數(shù)學直覺(2)數(shù)學靈感

三、數(shù)學思維的一般方法在中學數(shù)學教學中，常用的數(shù)學思維的方法主要有觀察與實驗、分析與綜合、比較與分類、抽象與概括、歸納與演繹、特殊化與一般化、類比與猜想等．

四、數(shù)學思維的品質(zhì)1.數(shù)學思維的深刻性2.數(shù)學思維的靈活性3.數(shù)學思