地學(xué)計(jì)算第四章

2023/10/241第四章變異函數(shù)和擬合模型資源與環(huán)境學(xué)院楊勇2023/10/242華中農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院目錄半方差函數(shù)影響半方差函數(shù)的因素變異函數(shù)的理論擬合模型變異函數(shù)（半方差函數(shù)）r(h)是地統(tǒng)計(jì)學(xué)的基石2023/10/243華中農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院4.1半方差函數(shù)—半方差云圖表示兩個(gè)實(shí)測值之間差的一半，稱為半方差值，一般意義上，半方差值會(huì)隨著兩點(diǎn)間距離的加大而加大，這是因?yàn)榫嚯x相近的樣品點(diǎn)的性質(zhì)較為相似。根據(jù)點(diǎn)對之間的空間滯后距離h將所有半方差值繪制成的散點(diǎn)圖稱為半方差云圖（如下圖，紅色圈內(nèi)為特異值）2023/10/244華中農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院4.1半方差函數(shù)—經(jīng)驗(yàn)半方差函數(shù)在實(shí)踐中，一般是將滯后距（h）劃分為不同的級別，計(jì)算每個(gè)滯后級別上的平均半方差值，進(jìn)而得到經(jīng)驗(yàn)半方差值和經(jīng)驗(yàn)半方差圖來分析數(shù)據(jù)的空間關(guān)系。表示滯后級別，更為常見的表示方法為：2023/10/245華中農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院一般地，在實(shí)際計(jì)算時(shí)，假設(shè)步長為lag，當(dāng)前滯后級別為n(n為正整數(shù))，則h=n*lag，應(yīng)該這樣處理：（1）研究區(qū)所有點(diǎn)，找到點(diǎn)對（Pi,Pj），其符合條件：(n-1)*lag<dis(Pi,Pj)<=n*lag，它們之間的距離記為DISi（2）計(jì)算[z(pi)-z(pj)]2,記為Si.（3）設(shè)找到N(h)個(gè)這樣的點(diǎn)對，計(jì)算平均距離（4）計(jì)算，為n滯后級別上的經(jīng)驗(yàn)半方差值。（5）將各個(gè)級別的（havg，r*(havg)），繪制在圖上，形成經(jīng)驗(yàn)半方差圖2023/10/246華中農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院經(jīng)驗(yàn)半方差圖2023/10/247華中農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院課堂練習(xí)假設(shè)給出某地土壤元素含量采樣數(shù)據(jù)，其格式為（x,y,k），共N個(gè)采樣點(diǎn)，其中，x和y分別表示采樣點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)值，k為實(shí)驗(yàn)室測得的元素含量值，步長為h，試給出相應(yīng)的程序步驟，計(jì)算該區(qū)域內(nèi)土壤元素的經(jīng)驗(yàn)半方差圖。（需計(jì)算的最大滯后據(jù)為樣點(diǎn)間最大距離的一半）2023/10/248華中農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院2023/10/249華中農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院變異函數(shù)的一些現(xiàn)象1、躍遷現(xiàn)象當(dāng)h超過某一個(gè)范圍，例如變程a，變異函數(shù)r(h)不再增大，而是在一個(gè)極限值r(∞)附近擺動(dòng)，這種現(xiàn)象稱為“躍遷現(xiàn)象”2023/10/2410華中農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院變異函數(shù)的一些現(xiàn)象2、塊金效應(yīng)當(dāng)h=0時(shí)，變異函數(shù)r(h)不等于0，而是等于1個(gè)常數(shù)C0，這種現(xiàn)象稱為“塊金效應(yīng)”2023/10/2411華中農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院變異函數(shù)的一些現(xiàn)象3、各向異性2023/10/2412華中農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院4.2影響半方差函數(shù)的因素一、統(tǒng)計(jì)方面1、統(tǒng)計(jì)分布：特異值的影響，極大或極小值越靠近區(qū)域中間，影響越大。采樣數(shù)據(jù)的不均勻分布（h-散點(diǎn)圖）。2、屏蔽：特異值可能是錯(cuò)誤的值，也可能是真實(shí)的值，可區(qū)分對待。如果檢查發(fā)現(xiàn)時(shí)錯(cuò)誤。的值，必須去除。但如果是真實(shí)的值，可以去除，也可以保留（如污染區(qū)的污染物含量值）3、偏斜：數(shù)據(jù)的偏態(tài)分布，也會(huì)造成方差的不穩(wěn)定

異常值對變異函數(shù)的影響2023/10/2413華中農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院4.2影響半方差函數(shù)的因素二、樣品大小和設(shè)計(jì)1、更多的樣品能增強(qiáng)經(jīng)驗(yàn)半方差值的穩(wěn)定性，但考慮到工作量和資金，實(shí)際取樣不可能無限取點(diǎn)，一般要求在變程a以內(nèi)，各距離上的點(diǎn)對數(shù)據(jù)不應(yīng)小于20對，有的學(xué)者認(rèn)為不應(yīng)小于30對。2、在采樣的設(shè)計(jì)上，一般來講，規(guī)則格網(wǎng)采樣更有助于后續(xù)的分析。2023/10/2414華中農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院4.2影響半方差函數(shù)的因素三、采樣間距：應(yīng)大致地了解變異的空間尺度以選擇一個(gè)合適的采樣密度。（1）對于完全未知的領(lǐng)域，不知道變異的尺度或模式，應(yīng)預(yù)采樣，找到合適的采樣間距（2）若先前的采樣間距造成經(jīng)驗(yàn)半方差函數(shù)呈純塊金效應(yīng)，沒有明顯的空間自相關(guān)性，則先前的采樣間距過大，應(yīng)縮小。（3）若依先前的采樣間距得到的半方差函數(shù)有明顯的結(jié)構(gòu)，但研究區(qū)內(nèi)樣點(diǎn)分布不均勻，則可進(jìn)一步優(yōu)化其分布。對于第（1）（2）情況，可以采取套合采樣解決。2023/10/2415華中農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院4.3變異函數(shù)的理論擬合模型理論變異函數(shù)用來擬合一些列經(jīng)驗(yàn)變異函數(shù)值，供后續(xù)進(jìn)行插值估計(jì)時(shí)使用。選用理論變異函數(shù)模型是，要根據(jù)經(jīng)驗(yàn)半方差圖的形狀來選取合適的模型2023/10/2416華中農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院4.3變異函數(shù)的理論擬合模型變異函數(shù)在原點(diǎn)處的形狀2023/10/2417華中農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院4.3變異函數(shù)的理論擬合模型變異函數(shù)的理論模型：有基臺值模型無基臺值模型2023/10/2418華中農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院有基臺值模型—球狀模型C0：塊金常數(shù)C0+C：基臺值C：拱高a：變程應(yīng)用最廣的模型2023/10/2419華中農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院有基臺值模型—指數(shù)模型C0：塊金常數(shù)C0+C：基臺值C：拱高3a：變程當(dāng)C0=0,C=1時(shí)，稱為標(biāo)準(zhǔn)指數(shù)函數(shù)模型2023/10/2420華中農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院有基臺值模型—高斯模型C0：塊金常數(shù)C0+C：基臺值C：拱高：變程當(dāng)C0=0,C=1時(shí)，稱為標(biāo)準(zhǔn)高斯函數(shù)模型2023/10/2421華中農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院三種常用模型比較0.952023/10/2422華中農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院有基臺值模型—線性有基臺值模型C0：塊金常數(shù)C0+C：基臺值C：拱高A：常數(shù)，表示直線斜率當(dāng)C0=0,C=1時(shí)，稱為標(biāo)準(zhǔn)指數(shù)函數(shù)模型2023/10/2423華中農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院有基臺值模型—純塊金效應(yīng)模型2023/10/2424華中農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院無基臺值模型——線性無基臺值模型2023/10/2425華中農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院無基臺值模型——冪函數(shù)值模型2023/10/2426華中農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院無基臺值模型——對數(shù)值模型2023/10/2427華中農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院套合模型在實(shí)際中，有時(shí)區(qū)域化隨機(jī)變量Z(x)的變化相當(dāng)復(fù)雜，往往包含各種尺度及各種層次的變化，反映在變異函數(shù)r(h)上，就是單一的模型結(jié)構(gòu)不能將其合理表達(dá)，而是多層次的結(jié)構(gòu)相互疊加在一起，地統(tǒng)計(jì)學(xué)上稱為套合。所謂套合結(jié)構(gòu)，就是把分別出現(xiàn)在不同距離h上或不同方向上同時(shí)起作用的變異性組合起來，對全部有效的結(jié)構(gòu)信息，作定量化的概括，以表示區(qū)域化變量的主要特征。2023/10/2428華中農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院套合模型土壤是一個(gè)不均與、具有高度空間異質(zhì)性的復(fù)合體，它與土壤母質(zhì)、氣候、水文、地形和生物等因素有關(guān)，分析土壤空間變異的因素，可將其變異分為系統(tǒng)變異（土壤形成因素相互作用造成）和隨機(jī)變異（可以觀測到的，但與土壤形成印務(wù)無關(guān)且不能直接分析的）兩大類。如由h分開的兩個(gè)點(diǎn)x和x+h的土壤某一性質(zhì)Z(x)和Z(x+h)。當(dāng)h趨近于0時(shí)，可以認(rèn)為兩點(diǎn)間的差異完全是由取樣和測定誤差造成，當(dāng)h逐步增大，如h<1m，差異可能還要加上諸如水分等因素，當(dāng)h<100m時(shí)，在新的變異要考慮地形的作用。2023/10/2429華中農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院套合模型當(dāng)h一定時(shí)，變異函數(shù)r(h)應(yīng)包含小于h的所有影響因素，因此，絕大多數(shù)變異函數(shù)都由下面兩個(gè)變異函數(shù)組成：

r(h)=r0(h)+r1(h)，即一個(gè)代表純塊金方差，一個(gè)代表空間相關(guān)的方差。一般情況下，套合模型可以用放映各種不同尺度變化的多個(gè)變異函數(shù)之和表示，即：ri(h)可以是相同的或不同的理論模型2023/10/2430華中農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院套合模型如，區(qū)域化變量Z(x)的變異性由r0(h),r1(h)和r2(h)組成，其中2023/10/2431華中農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院套合模型三者組成的套合模型為：2023/10/2432華中農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院套合模型2023/10/2433華中農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院套合模型實(shí)例某區(qū)域鎳蘊(yùn)藏量的變異函數(shù)計(jì)算值2023/10/2434華中農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院套合模型實(shí)例鎳含量的變異函數(shù)曲線圖可以看出基臺值在2.55左右對頭兩點(diǎn)作切線與縱坐標(biāo)相交的交點(diǎn)就是塊金值，大約在0.4左右0.4/2.55=0.156則大約16%的誤差是隨機(jī)現(xiàn)象造成的，而空間自相關(guān)現(xiàn)象造成的誤差為84%2023/10/2435華中農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院套合模型實(shí)例C0=0.4C1=1.55a1=14C2=0.6a2=50從圖中可看出，理論值與實(shí)際值差異較大，尤其是在15到40m之間，因此，需進(jìn)行反復(fù)修改2023/10/2436華中農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院套合模型實(shí)例C0=0.4C1=1.15a1=12C2=1a2=60從圖中可看出，理論值與實(shí)際值差異擬合較好2023/10/2437華中農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院變異函數(shù)理論模型的最優(yōu)擬合要使變異函數(shù)的理論模型真實(shí)地描述變量的變化規(guī)律，在建立理論模型過程中，要對模型進(jìn)行最優(yōu)擬合，即確定模型中各個(gè)參數(shù)的值。地統(tǒng)計(jì)學(xué)中，擬合過程主要包括三個(gè)步驟：確定曲線類型、參數(shù)最優(yōu)估計(jì)、最優(yōu)曲線的確定。2023/10/2438華中農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院最優(yōu)擬合—確定曲線類型一般來講，通過(h,r(h))散點(diǎn)圖確定曲線的大致類型或初步類型，對這個(gè)大致的初步類型進(jìn)行參數(shù)最優(yōu)估計(jì)，確定是否為最優(yōu)曲線。2023/10/2439華中農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院最優(yōu)擬合—參數(shù)最優(yōu)估計(jì)變異函數(shù)的理論模型主要是曲線模型，將曲線模型經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖儞Q，化為線性模型，然后用最小二乘法原理求未知參數(shù)的估計(jì)。2023/10/2440華中農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院最優(yōu)擬合—參數(shù)最優(yōu)估計(jì)上表式地統(tǒng)計(jì)學(xué)中常用的變異函數(shù)理論模型經(jīng)過適當(dāng)變換后，化為的線性模型，對于球狀模型、指數(shù)模型和高斯模型，只討論0<h<=a時(shí)的擬合問題，對變換后的變異函數(shù)理論模型，除球狀模型為二元線性回歸模型外，其余均為一元線性回歸模型，根據(jù)最小二乘法原理對這兩類線性回歸模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。2023/10/2441華中農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院一元線性回歸模型的參數(shù)估計(jì)指數(shù)模型，高斯模型，冪函數(shù)模型和對數(shù)模型，均可以變換成一元線性回歸模型根據(jù)最小二乘法：通過得到的b0和b1，可以反算理論模型中的C0，C和a等參數(shù)值2023/10/2442華中農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院一元線性回歸模型的參數(shù)估計(jì)但上述一般方法沒有注意到變異函數(shù)曲線上的頭幾個(gè)點(diǎn)的重要性遠(yuǎn)大于其他點(diǎn)的重要性（因?yàn)楹罄m(xù)預(yù)測算法中，與預(yù)測點(diǎn)距離較近的已知點(diǎn)對預(yù)測的結(jié)果影響較大），因此，不應(yīng)把它們與其他實(shí)際變異函數(shù)曲線上的點(diǎn)平均對待，為了克服這個(gè)問題，采用加權(quán)回歸的方法比較合適，擬合度較高，權(quán)重系數(shù)主要是采用每一距離上的樣本對數(shù)N(hi)2023/10/2443華中農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院加權(quán)回歸法其中：2023/10/2444華中農(nóng)業(yè)大學(xué)資源與環(huán)境學(xué)院二元線性回歸模型的參數(shù)估計(jì)在地統(tǒng)計(jì)學(xué)的理論模型中，只有球狀模型線性化后成為二元線性回歸模型，共有三個(gè)參數(shù)：，三個(gè)參數(shù)加權(quán)最小二乘法的參數(shù)最優(yōu)估計(jì)為：20