利用太陽影子的定位技術(shù)

-.z.2014高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽承諾書我們仔細(xì)閱讀了"全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽章程"和"全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽參賽規(guī)則"〔以下簡稱為“競賽章程和參賽規(guī)則〞，可從全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽下載〕。我們完全明白，在競賽開場后參賽隊(duì)員不能以任何方式〔包括、電子、網(wǎng)上咨詢等〕與隊(duì)外的任何人〔包括指導(dǎo)教師〕研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽章程和參賽規(guī)則的，如果引用別人的成果或其他公開的資料〔包括網(wǎng)上查到的資料〕，必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們重承諾，嚴(yán)格遵守競賽章程和參賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽章程和參賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們授權(quán)全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽組委會，可將我們的論文以任何形式進(jìn)展公開展示〔包括進(jìn)展網(wǎng)上公示，在書籍、期刊和其他媒體進(jìn)展正式或非正式發(fā)表等〕。我們參賽選擇的題號是〔從A/B/C/D中選擇一項(xiàng)填寫〕：A我們的報名參賽隊(duì)號為〔8位數(shù)字組成的編號〕：3所屬學(xué)校〔請?zhí)顚懲暾娜常嚎哲娗趧?wù)學(xué)院參賽隊(duì)員(打印并簽名)：1.2.3.指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人(打印并簽名)：〔論文紙質(zhì)版與電子版中的以上信息必須一致，只是電子版中無需簽名。以上容請仔細(xì)核對，提交后將不再允許做任何修改。如填寫錯誤，論文可能被取消評獎資格?！橙掌冢?015年9月13日賽區(qū)評閱編號〔由賽區(qū)組委會評閱前進(jìn)展編號〕：2014高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽編號專用頁賽區(qū)評閱編號〔由賽區(qū)組委會評閱前進(jìn)展編號〕：賽區(qū)評閱記錄〔可供賽區(qū)評閱時使用〕：評閱人評分備注全國統(tǒng)一編號〔由賽區(qū)組委會送交全國前編號〕：全國評閱編號〔由全國組委會評閱前進(jìn)展編號〕：-.z.太陽影子定位摘要本文針對如何通過分析視頻中物體的太陽影子變化，太陽影子定位技術(shù)，確定視頻的拍攝地點(diǎn)和拍攝日期的方法為背景，提出了四個問題，并且利用二元非線性模型，三角函數(shù)和最小二乘法，同時借助matlab，成功建立了通過太陽影子位置確定地理經(jīng)緯度的模型。通過代入1、2、3的數(shù)據(jù)，并利用Photoshop獲取4視頻中截圖的數(shù)據(jù)，求解出了各個問題中的測量點(diǎn)地理經(jīng)緯度。針對問題一，在經(jīng)緯度，時間的條件下，我們可以得到太陽的高度角。對于地球上的*個地點(diǎn)，太陽高度角是指*地太線與通過該地與地心相連的地表切線的夾角〔如圖1〕。桿的高度乘以太陽高度角的余切，可以得到影子長度變化的數(shù)學(xué)模型。最后代入數(shù)據(jù)求得，利用MATLAB可以獲得2015年10月22日時間9:00-15:00之間天安門廣場3米高的直桿的太陽影子長度的變化曲線?！踩鐖D3〕。針對問題二，在測量時刻的日期，時間和影子的直角坐標(biāo)的情況下，我們可以直接求得太陽赤緯角，方位角，影長。我們對1的數(shù)據(jù)處理之后，通過對影長和方位角用最小二乘法擬合，得到擬合函數(shù)。通過擬合函數(shù)求得正午時刻的影長，即函數(shù)圖像最低點(diǎn)時的方位角和影長〔如圖4、5〕。由正午時刻的太陽高度角計(jì)算的特殊性將公式化簡為QUOTE，代入數(shù)據(jù)求得緯度。再根據(jù)當(dāng)?shù)貢r刻在正午12:00時的時間，求得經(jīng)度。針對問題三，通過對第二問的求得的地理經(jīng)緯度，將二*一組數(shù)據(jù)反帶求得桿長L，利用影長和桿長求得高度角。再次利用第二問的方法，擬合影長和高度角〔如圖6、7〕，聯(lián)立三個方程就可以解出緯度QUOTE，赤緯角QUOTE，以及時角t。利用時角t和求得當(dāng)?shù)貢r間，和時間的差求出經(jīng)度；利用赤緯角求出測量時刻的日期。針對問題四，在日期的情況下，對4視頻中隨機(jī)取17截圖〔盡量時間間隔均勻〕，利用Photoshop的標(biāo)尺工具測量截圖中的桿長度和影子長度〔如圖8〕，且桿2米，由等比例對照得到不同時刻影長的數(shù)據(jù)〔如表1〕，對數(shù)據(jù)進(jìn)展擬合得出正午時刻的影長〔如圖9〕。將拍攝日期，影長代入問題三的模型當(dāng)中，對模型求解得到緯度。由當(dāng)?shù)貢r間和時間的差值求得經(jīng)度。在未知日期的情況下，由視頻截圖可知此時為早晨，太陽在東側(cè)，則攝影機(jī)位置大概是在桿的北側(cè)，故由Photoshop測量可得太陽方位角大致是264.6°。由方程組可以求得緯度和赤緯角，再通過赤緯角求得日期，通過當(dāng)?shù)貢r間求得經(jīng)度。關(guān)鍵詞：影子定位二元非線性方程擬合函數(shù)等比例對照一．問題重述如何確定視頻的拍攝地點(diǎn)和拍攝日期是視頻數(shù)據(jù)分析的重要方面，太陽影子定位技術(shù)就是通過分析視頻中物體的太陽影子變化，確定視頻拍攝的地點(diǎn)和日期的一種方法。1.建立影子長度變化的數(shù)學(xué)模型，分析影子長度關(guān)于各個參數(shù)的變化規(guī)律，并應(yīng)用你們建立的模型畫出2015年10月22日時間9:00-15:00之長度的變化曲線。間天安門廣場〔北緯39度54分26秒,東經(jīng)116度23分29秒〕3米高的直桿的太陽影子2.根據(jù)*固定直桿在水平地面上的太陽影子頂點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)，建立數(shù)學(xué)模型確定直桿所處的地點(diǎn)。將你們的模型應(yīng)用于1的影子頂點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)，給出假設(shè)干個可能的地點(diǎn)。3.根據(jù)*固定直桿在水平地面上的太陽影子頂點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)，建立數(shù)學(xué)模型確定直桿所處的地點(diǎn)和日期。將你們的模型分別應(yīng)用于2和3的影子頂點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)，給出假設(shè)干個可能的地點(diǎn)與日期。4．4為一根直桿在太陽下的影子變化的視頻，并且已通過*種方式估計(jì)出直桿的高度為2米。請建立確定視頻拍攝地點(diǎn)的數(shù)學(xué)模型，并應(yīng)用你們的模型給出假設(shè)干個可能的拍攝地點(diǎn)。如果拍攝日期未知，你能否根據(jù)視頻確定出拍攝地點(diǎn)與日期？二．模型假設(shè)1.忽略海拔，地面平整度的影響。2.忽略天氣因素和大氣對太的折射造成的影響。3.所研究的圍不能太大，認(rèn)為所研究地面為一平面。4.確定桿為直桿，鉛直直立，且與當(dāng)?shù)氐孛娲怪薄?.因?yàn)橐曨l中桿與影子距攝像機(jī)距離大致一樣，所以忽略透視效果造成的測量誤差。三．符號說明符號釋義δ太陽的赤緯角，即太陽直射角緯度h太陽高度角，太的入射方向和地平面之間的夾角φ地理緯度地方時(時角)以QUOTE表示L確定直桿長度桿的影長M為兩個地方的經(jīng)度差H正午的太陽高度角四．問題分析太陽影子定位技術(shù)是根據(jù)不同地點(diǎn)，不同時刻，太陽在南回歸線和北回歸線之間運(yùn)動到不同位置時從而來確定時間，利用物體的實(shí)際長度和影長之比算出太陽的高度差，從而確定其緯度，在此過程中近視的認(rèn)為所研究的圍為一平面，在問題一中，知道時間和經(jīng)緯度，從而可以根據(jù)太陽的高度角得出影子長度；而問題二，為問題一的反求，利用MATLAB的數(shù)據(jù)擬合，因?yàn)榈厍蛟诶@著太陽公轉(zhuǎn)的同時還在自傳，即為太陽的赤緯角，所以可認(rèn)為影子的頂點(diǎn)的位置是以定桿位置為原點(diǎn)的函數(shù)，利用MATLAB的數(shù)據(jù)擬合可在誤差允許的圍擬合出這個函數(shù)的方程，從而確定極小致為正午十二點(diǎn)時的影長，利用太陽高度角的計(jì)算公式，得出緯度值，而經(jīng)度則是根據(jù)和時差得出；問題三則是聯(lián)立太陽高度角和太陽方位角公式得出赤緯角，從而得出時間，地點(diǎn)則與第二問的求法相似；問題四，拍攝日期時，在視頻中利用Photoshop隨機(jī)截圖假設(shè)干，測量數(shù)據(jù)，利用問題二三的方法計(jì)算時間地點(diǎn)；未知拍攝日期時，先利用截圖測量太陽方位角和高度角聯(lián)立方程組求解出拍攝日期，然后照前述的方法求出地理位置。五．模型建立與求解5.1.問題一針對第一問，在經(jīng)緯度，時間的條件下，我們可以得到太陽的高度角，即對于地球上的*個地點(diǎn)太陽高度角是指*地太線與通過該地與地心相連的地表切線的夾角。然后桿的高度除以太陽高度角的正切，得到影子長度隨時間變化的函數(shù)方程。日升日落，同一地點(diǎn)一天太陽高度角是不斷變化的。時角是以正午12點(diǎn)為0度開場算，每一小時為15度。即14點(diǎn)和10點(diǎn)分別為30度和-30度。日出日落時角度都為0。太陽高度角隨著地方時和太陽的赤緯的變化而變化。太陽赤緯〔與太陽直射點(diǎn)緯度相等〕以δ表示，觀測地地理緯度用φ表示〔太陽赤緯與地理緯度都是北緯為正，南緯為負(fù)〕，地方時(時角)以QUOTE表示，有太陽高度角的計(jì)算公式：sinh=sinφsinδ+cosφcosδcosQUOTEh〔圖1〕〔圖2〕上述式子中都涉及太陽赤緯，太陽赤緯的算法如下:由于太陽赤緯角在周年運(yùn)動中任何時刻的具體值都是嚴(yán)格的，所以它(δ)也可以用表達(dá)式表述，即:QUOTE0.3723+23.2567sinθ+0.1149sin2θ-0.1712sin3θ-0.758cosθ+0.3656cos2θ+0.0201cos3θ式中θ稱日角，即θ=2πT/365.2422這里T又由兩局部組成，即T=N-N0式中N為積日，所謂積日，就是日期在年的順序號，例如，1月1日其積日為1，平年12月31日的積日為365，閏年則為366，等等。N0=79.6764+0.2422×(年份-1985)-INT〔(年份-1985)/4〕(式中INT表示取整數(shù)局部，例如INT(3.25)=3)根據(jù)條件為10月22日，則t=295則根據(jù)公式θ=2QUOTEt/365.2422得到θ=5.0747QUOTE0.3723+23.2567sinθ+0.1149sin2θ-0.1712sin3θ-0.758cosθ+0.3656cos2θ+0.0201cos3θ=-22.0906根據(jù)緯度計(jì)算出φ=40.3333QUOTEsinh=sinφsinδ+cosφcosδcost=0.0482+0.8697cost所以sinh=0.0482+0.8697cost所以QUOTE==QUOTE由桿長的關(guān)系QUOTE所以可得影長的變化模型為：QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE借助MATLAB繪制出2015年10月22日時間9:00-15:00之長度的變化曲線。間天安門廣場〔北緯39度54分26秒,東經(jīng)116度23分29秒〕3米高的直桿的太陽影子頂點(diǎn)變化曲線圖：〔圖3〕5.2．問題二5.2.1模型的建立我們以桿與地面接觸的點(diǎn)作為原點(diǎn)，穿過該點(diǎn)的緯線在該點(diǎn)處的水平切線作為*軸，與*軸垂直的地面切線作為Y軸建立直角坐標(biāo)系。有1中的數(shù)據(jù)我們可以得出在*一時刻下的影子長度和此時的方位角。由影長，桿長可以求得太陽的高度角。我們由第一問可知，知道太陽赤緯角和地理緯度，加上當(dāng)?shù)貢r間就可以求得太陽高度角?，F(xiàn)在我們知道了影長，赤緯角〔太陽直射點(diǎn)緯度〕，求桿長，地理緯度。所以我們將數(shù)據(jù)進(jìn)展擬合估計(jì)出正午時影子長度以及正午時此刻的方位角，通過方程組聯(lián)立求解桿長，地理緯度和當(dāng)?shù)貢r間，結(jié)合當(dāng)?shù)貢r間和時間的差值求得經(jīng)度。由公式：QUOTEQUOTEQUOTE0.3723+23.2567sinθ+0.1149sin2θ-0.1712sin3θ-0.758cosθ+0.3656cos2θ+0.0201cos3θθ=2T/365.2422(T為日期)可知，在2015年4月14日時，QUOTE22.6571，太陽赤緯角sinδ=-0.6178。此時由太陽高度角的計(jì)算公式：sinh=sinφsinδ+cosφcosδcosQUOTE日升日落時，同一地點(diǎn)一天太陽高度角是不斷變化的。日出日落角度都是0度，正午太陽高度角最大，正午時時角為0，以上計(jì)算公式可以簡化為：其中，H表示正午太陽高度角。由兩點(diǎn)和與差的三角函數(shù)公式，可得因此，對于北半球而言，；對于南半球而言，其中，QUOTE為當(dāng)?shù)鼐暥?，QUOTE為太陽直射點(diǎn)的緯度，既赤緯角。QUOTE為緯度差如果QUOTE與QUOTE在同一半球，則緯度差為QUOTE，如果QUOTE與QUOTE在異半球，則緯度差為QUOTE，因?yàn)闂U長未知，所以高度角可以表示為：故上式可化為根據(jù)太陽方位角的計(jì)算公式：其中A為正午時刻的方位角，將sinH代入可得：故只要用擬合出來的正午方位角，赤緯角就可以確定當(dāng)?shù)鼐暥萉UOTE將當(dāng)?shù)鼐暥确创接?jì)算出桿長L，由此得出高度角H，其中太陽高度角可以表示為QUOTE,當(dāng)?shù)貢r間QUOTE可表示為QUOTE+B,其中t為標(biāo)準(zhǔn)時間，A是當(dāng)?shù)嘏c時間的時角差。最后，得出的方程為QUOTE=sinφsinδ+cosφcosδcos〔QUOTE+B〕;將桿長L與地理緯度QUOTE〖〗_||_D時角與時間的轉(zhuǎn)化公式如下：QUOTE,QUOTE地球是自西向東自傳的，東邊比西邊先看到太陽，東邊的時間比西邊的早。所以規(guī)定將全球劃分24個時區(qū)，每個時區(qū)相差1個小時，也就是說1度相差4分鐘，故可建立以下模型：其中QUOTE為待求地地方時，t為地地方時，M為兩地之間的經(jīng)度差。假設(shè)QUOTE>t則待求地在地的東向，既，地經(jīng)度+M。假設(shè)QUOTE<t則待求地在地的西向，既地經(jīng)度—M，其中為待求地經(jīng)度，為地經(jīng)度。5.2.2模型的求解現(xiàn)在將一的數(shù)據(jù)代入到該模型當(dāng)中：根據(jù)將一的數(shù)據(jù)擬合，得到影長擬合函數(shù)：當(dāng)函數(shù)圖像最低點(diǎn)時，*=13.6，y=0.5476既正午的影長為0.5476;〔圖4-1〕〔圖4-2〕〔圖4-3〕方位角擬合函數(shù)：〔圖5-1〕〔圖5-2〕〔圖5-3〕當(dāng)函數(shù)圖像最低點(diǎn)時，*=13.6，y=1.8836,既tanA=1.8836,A=QUOTE代入模型：得到QUOTE將QUOTE代入計(jì)算出桿長L=1.7919m,代入下面模型，取一中時間15:00時的影長為1.3533=sin5.3sin22.66+cos5.3cos22.66cos〔QUOTE+B〕計(jì)算得到B=QUOTE則M=QUOTE因?yàn)闉闁|經(jīng)QUOTE所以待測地經(jīng)度為東經(jīng)QUOTE綜上所示，直桿的地理經(jīng)緯度為〔〕通過衛(wèi)星地圖確定在省。5.3問題三5.3.1模型的建立基于第二問我們知道除了需要確定直桿的地理位置外，還需要確定此時所處的日期，也就是說直桿所處的赤緯角是未知的，桿長，地理緯度，當(dāng)?shù)貢r間以及赤緯角，結(jié)合當(dāng)?shù)貢r間和時間的差值求得經(jīng)度，根據(jù)赤緯角來確定當(dāng)?shù)厝掌?，此時由太陽高度角的計(jì)算公式：sinh=sinφsinδ+cosφcosδcosQUOTE其中太陽高度角可以表示為QUOTE,當(dāng)?shù)貢r間QUOTE可表示為QUOTE+B,其中t為標(biāo)準(zhǔn)時間，B是當(dāng)?shù)嘏c時間的時角差。最后，得出的方程為QUOTE=sinφsinδ+cosφcosδcos〔QUOTE+B〕;由第二問可以得出桿長L，所以由太陽方位角的計(jì)算公式：sinh=sinQUOTEsinδ+cosQUOTEcosδcosQUOTE其中高度角h可以由第二問的桿長以及此刻所具有的影長，QUOTE可以由此刻的時間確定，聯(lián)立三個方程就可以解出緯度QUOTED_Dd______由公式：QUOTEQUOTEQUOTE0.3723+23.2567sinθ+0.1149sin2θ-0.1712sin3θ-0.758cosθ+0.3656cos2θ+0.0201cos3θθ=2T/365.2422(T為日期)就可以計(jì)算出當(dāng)?shù)厝掌跁r角與時間的轉(zhuǎn)化公式如下：QUOTE,經(jīng)度計(jì)算方法與第二問一樣，即：地球是自西向東自傳的，東邊比西邊先看到太陽，東邊的時間比西邊的早。所以規(guī)定將全球劃分24個時區(qū)，每個時區(qū)相差1個小時，也就是說1度相差4分鐘，故可建立以下模型：其中QUOTE為待求地地方時，t為地地方時，M為兩地之間的經(jīng)度差。假設(shè)QUOTE>t則待求地在地的東向，既，地經(jīng)度+M。假設(shè)QUOTE<t則待求地在地的西向，既地經(jīng)度—M，其中為待求地經(jīng)度，為地經(jīng)度5.3.2模型的求解首先將二的數(shù)據(jù)進(jìn)展擬合：擬合后的影長擬合函數(shù)為：〔圖6-1〕〔圖6-2〕〔圖6-3〕當(dāng)函數(shù)圖像在最低點(diǎn)時，*=14.43,y=0.7920擬合后的方位角擬合函數(shù)為;〔圖7-1〕〔圖7-2〕〔圖7-3〕當(dāng)函數(shù)圖像在最低點(diǎn)時，*=14.43,y=-14.8716，既tanA=-14.8716取13:02時的影子長度為1..794將數(shù)據(jù)代入方程組：sinh=sinQUOTEsinδ+cosQUOTEcosδcosQUOTE解方程可得QUOTEQUOTE查表得到大約是5月22日經(jīng)度計(jì)算得QUOTE綜上所述地點(diǎn)為〔〕日期為5月22日將模型應(yīng)用到三當(dāng)中同理可得，地點(diǎn)為〔〕日期為7月13日5.4問題四5.4.1拍攝日期的情況針對第四問中的四影子與直桿的比例關(guān)系，利用Photoshop，可以測量出視頻截圖中影子的長度。根據(jù)等比例對照可得假設(shè)干組影長的數(shù)據(jù)?！矆D8〕可得隨機(jī)截得的17視頻截圖中的數(shù)據(jù)如下表：時間圖上桿長圖上影長實(shí)際影長時間圖上桿長圖上影長實(shí)際影長8-54-505.166.062.3488379-11-405.165.542.1472878-58-045.165.982.3178299-14-295.165.42.0930238-59-315.165.972.3139539-19-485.165.242.0310089-00-295.165.932.298459-21-595.165.1629-01-575.165.912.2906989-23-185.165.121.9844969-03-175.165.852.2674429-29-585.164.851.8798459-05-095.165.782.240319-32-325.164.811.8643419-08-485.165.612.1744199-33-585.164.761.8449619-34-265.164.741.837209〔表1〕通過與時間的擬合，估計(jì)出正午的影長，根據(jù)第二問中，正午太陽高度角最大，正午時時角為0，以上計(jì)算公式可以簡化為：通過日期計(jì)算出赤緯角QUOTE，H為正午時的高度角，如此就可以計(jì)算出當(dāng)?shù)鼐暥冗x擇*一時刻的影長來確定高度角h，將赤緯角，緯度以及高度角代入下面公式QUOTE=sinφsinδ+co