2021新高考數(shù)學(xué)高三一輪復(fù)習(xí) 應(yīng)用建模1 函數(shù)模型及其應(yīng)用

應(yīng)用建模1函數(shù)模型及其應(yīng)用

課程要求J精細(xì)考點(diǎn)r素養(yǎng)達(dá)成f

通過用函數(shù)圖象刻畫變化過程，培養(yǎng)直觀

用函數(shù)圖象刻畫變化過程

1.了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、痔函數(shù)的增長想象的數(shù)學(xué)素養(yǎng)

特征，結(jié)合具體實例體會直線上升、指數(shù)增

長、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義.通過已知函數(shù)模型的實際應(yīng)用，培養(yǎng)邏輯

c7血工就小謝,而出此？版TT已知函數(shù)模型的實際應(yīng)用

2.了解函數(shù)模型（如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、嘉推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)素養(yǎng)

函數(shù)、分段函數(shù)等在社會生活中普遍使用

的函數(shù)模型）的廣泛應(yīng)用

通過構(gòu)建函數(shù)模型解決實際問題,培養(yǎng)數(shù)

構(gòu)建函數(shù)模型解決實際問題

學(xué)建模、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)素養(yǎng)

口基礎(chǔ)知識

對應(yīng)學(xué)生用書第50頁

?夯實基礎(chǔ)鞏固提升

知識清單

1.幾類函數(shù)模型

函數(shù)模型函數(shù)解析式

一次函數(shù)模型=ax+b（a,b為常數(shù)石*0）

反比例函數(shù)模，入k心心小岫口,小

型4Mq+勿〃乃為常數(shù)且Z/0）

二次函數(shù)模型4萬:aEb,u為常數(shù),8工0)

指數(shù)函數(shù)模型4M為常數(shù)力，0,a>0且awl)

對數(shù)函數(shù)模型4M=4ogaX+aab,u為常數(shù),/?/0,3>0且8/1)

幕函數(shù)模型心)二次+僅己,6,"為常數(shù),3/0,"工0)

"對勾"函數(shù)

0)=*&>0)

模型

B拓展知識

對勾函數(shù)0）=*出己>0）在（-8,班］和

［Va,+8）上單調(diào)遞增，在［々5,0）和（0,向上單調(diào)遞

減.

當(dāng)x>0時,在x=?時取最小值，最小值為2孤;

當(dāng)x<0時，4M在x=S時取最大值，最大值為

-2Va.

2.三種函數(shù)模型的性質(zhì)

函數(shù)y=\og^a>l

y=#(a>l)片次(">0)

性質(zhì))

在(0,+8)上的單調(diào)遞_單調(diào)遞_

單調(diào)遞_______

增減性增____

越來越_越來越_

增長速度相對平穩(wěn)

快ts

隨X的增隨X的增

大,逐漸表大,逐漸表

圖象的變化隨"值變化而各有不同

現(xiàn)為與y現(xiàn)為與X

軸平行軸平行

值的比較存在一個由當(dāng)時，有l(wèi)ogaX<*<^

□特別提醒

(1)當(dāng)描述增長速度變化很快時，選用指數(shù)函

數(shù)模型.

(2)當(dāng)要求不斷增長，但又不會增長過快，也不會增

長到很大時,選用對數(shù)函數(shù)模型.

(3)幕函數(shù)模型y=*(">0)可以描述增長幅度不

同的變化，當(dāng)"值較小(〃41)時，增長較慢;當(dāng)〃值

較大(〃>1)時，增長較快.

夯實基礎(chǔ)

【概念辨析】

判斷下面結(jié)論是否正確.(對的打"V",錯的打"「‘)

(1)某種商品進(jìn)價為每件100元，按進(jìn)價增加10%出售，后因庫存積壓降價，若按九折出售，則每件還能獲利.

()

(2)函數(shù)y=2*的函數(shù)值比，=解的函數(shù)值大.()

(3)不存在出,使a與<砧<log〃b.()

(4)"指數(shù)爆炸”是指數(shù)型函數(shù)y=a〃+4aw0,6>0,bwl)增長速度越來越快的形象比喻.()

(l)x(2)x(3)x(4)x

【瀛Sk材】

某公司為激勵創(chuàng)新,計劃逐年加大研發(fā)資金投入.若該公司2019年全年投入研發(fā)資金130萬元，在此基礎(chǔ)

上,每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%,則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是

().(參考數(shù)據(jù):1g1.12~0.05,1g1.3=0.11,lg2=0.30)

A.2020年B.2021年

C.2022年D.2023年

D

K設(shè)經(jīng)過"年研發(fā)資金開始超過200萬元,

即130(1-12%)〃>200,貝山1+12%)”>置.

兩邊取對數(shù)，得"1g1.12>lg2-lg1.3,

Ig2-lgl,3^0,30-0.11_19

”》中五"一俞一下4

..從2023年開始，該公司投入的研發(fā)資金開始超過200萬元.

【易錯自糾】

某公司為了發(fā)展業(yè)務(wù)制定了一個激勵銷售人員的獎勵方案，當(dāng)銷售額x為8萬元時，獎勵1萬元.當(dāng)銷售額

x為64萬元時，獎勵4萬元.若公司擬定的獎勵模型為y=Wog4X+b.某業(yè)務(wù)員要得到8萬元獎勵，則他的銷售

額應(yīng)為萬元.

1024

依題音f°g48+b=1,解得產(chǎn)=2-

?處理層（alog464+b=4,lb=-2,

.:y=2log4X-2,令2log4X-2=8,得x=45-1024.

【真題演練】

Logistic模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域.有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立

了某地區(qū)新冠肺炎累計確診病例數(shù)的單位:天）的Logistic模型:"=1+網(wǎng)金"53），其中K為最大確診病

例數(shù).當(dāng)?力句.95《時標(biāo)志著已初步遏制疫情，則f約為().(ln19K3)

A.60B.63C.66D.69

C

:At)=,OMSG，F(xiàn)t)=——力.95《則ed23(t*-53)=19,

---------\)1+e-0.23(t-53)>\/1+e-0.23(t-S3)

.023(六53)=ln19*3,解得加2+53”66.故選C.

...........................E考點(diǎn)考向?qū)?yīng)學(xué)生用書第50頁

?6精研考向錘煉技能

口O用函數(shù)圖象刻畫變化過程【題組過關(guān)】

某工廠6年來生產(chǎn)某種產(chǎn)品的情況是前3年年產(chǎn)量的增長速度越來越快，后3年年產(chǎn)量保持不變,則該廠6

年來這種產(chǎn)品的總產(chǎn)量C與時間”年）的函數(shù)圖象正確的是（）.

A

:二—前3年年產(chǎn)量的增長速度越來越快，說明呈高速增長，只有A,C圖象符合要求，而后3年年產(chǎn)量保

持不變，故選A.

汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程.下圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下

的燃油效率情況.下列敘述中正確的是（）.

A.消耗1升汽油，乙車最多可行駛5千米

B.以相同速度行駛相同路程，三輛車中,甲車消耗汽油量最多

C.甲車以80千米4寸的速度行駛1小時，消耗10升汽油

D.某城市機(jī)動車最高限速80千米/W,相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油

D

根據(jù)圖象所給數(shù)據(jù)，逐個驗證選項.

根據(jù)圖象知，當(dāng)行駛速度大于40千米寸時，消耗1升汽油，乙車最多行駛里程大于5千米,故選項A錯誤;

以相同速度行駛時，甲車燃油效率最高，因此以相同速度行駛相同路程時，甲車消耗汽油最少，故選項B錯誤；

甲車以80千米4寸的速度行駛時，燃油效率為10千米閉，行駛1小時,里程為80千米，消耗8升汽油，故選項

C錯誤;最高限速80千米冏，丙車的燃油效率比乙車高，因此相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油，故選

項D正確.

匚次判斷函數(shù)圖象與實際問題變化過程相吻合的兩種方法

（1）構(gòu)建函數(shù)模型法:先建立函數(shù)模型，再結(jié)合模型選圖象.

（2）驗證法:根據(jù)實際問題中變量的變化快慢等特點(diǎn)，結(jié)合圖象的變化趨勢，驗證是否吻合,從中排除不符

合實際情況的答案.

員點(diǎn)⑥已知函數(shù)模型的實際應(yīng)用問題【典例遷移】

Ofl某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品固定成本為2000萬元，并且每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品，成本增加10

萬元.又知總收入《是產(chǎn)品單位數(shù)Q的函數(shù),{0=40（?喘（？,則總利潤的最大值是萬元.

2500

由已知得￡（00-10Q-2000=（40Q$Q2）-10Q-2000=志Q-300）2+2500,

所以當(dāng)Q=300時工（0max=25OO（萬元）.

已知函數(shù)模型，解決實際問題的要點(diǎn)

（1）認(rèn)清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù).

（2）根據(jù)已知條件，利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù).

（3）利用該函數(shù)模型，借助函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)等求解實際問題，并進(jìn)行檢驗.

【追蹤訓(xùn)練1】（1）某公司在甲、乙兩地銷售同一種品牌汽車，利潤（單位:萬元）分別為

4=5.06x015/22=2%其中x為銷售量（單位:輛）.若該公司在這兩地共銷售15輛汽車，則能獲得的最大利

潤為（）.

A.45.606萬元B.45.6萬元

C.45.56萬元D.45.51萬元

(2)將甲桶中的aL水緩慢注入空桶乙中,fmin后甲桶中剩余的水量符合指數(shù)衰減

曲線;/=aea假設(shè)過5min后甲桶和乙桶的水量相等,若再過mmin甲桶中的水只有/L,則m的值

為.

(1)8(2)5

(1)依題意可設(shè)在甲地銷售了x輛汽車，則在乙地銷售了Q5-才輛汽車,總利潤

S=/i心=5.06x015層+2(15/=015/+3.06%+30=015(*-10.2)2M5.606(0"S15且后N),所以當(dāng)

X=10時,5max=45.6.故選B.

(2)因為5min后甲桶和乙桶的水量相等，所以函數(shù)片內(nèi)=羽〃，滿足Q)二弟5〃亨,可得〃=g嗎，所以

tkk

村二廳(爐,設(shè)Amin后甲桶中的水只有；L,則化=才(丁號所以(爐號解得4=10,所以機(jī)=公5=5.

母點(diǎn)⑥構(gòu)建函數(shù)模型解決實際問題【典例遷移】

題型1構(gòu)建二次函數(shù)模型

倒?某村利用當(dāng)?shù)貎?yōu)勢引進(jìn)經(jīng)濟(jì)效益好、養(yǎng)殖密度高的"活水圍網(wǎng)〃養(yǎng)魚技術(shù).研究表明：〃活水圍網(wǎng)〃

養(yǎng)魚時，某種魚在一定的條件下，每尾魚的平均生長速度U(單位:千克壽)是養(yǎng)殖密度M單位:尾女方米)的連

續(xù)函數(shù).當(dāng)x不超過4尾血方米時,i/的值為2千克柞;當(dāng)4<心20時，卜是x的一次函數(shù);當(dāng)x達(dá)到20尾&

方米時，因缺氧等原因，卜的值為0千克壽.

(1)當(dāng)0<%<20時,求函數(shù)/關(guān)于x的函數(shù)解析式；

(2)當(dāng)養(yǎng)殖密度x為多大時,魚的年生長量(單位:千克加方米)可以達(dá)到最大？并求出最大值.

(1)由題意得當(dāng)0<x&4時,卜=2,

當(dāng)4Vxw20時，設(shè)v=ax+b{a^0),

顯然》二己/"在(4,20］內(nèi)是減函數(shù)，

解得.

由已知得,20Q+b=°，

,4a+b=2,阱傳7,

所以v=^x^.

(2,0<x<4,

故函數(shù)+"vxM2。.(旌2

(2)設(shè)年生長量為［才千克血方米，

f2x,0<%<4,

依題意，由(1)得病+Q<xV20(后刈

當(dāng)0<腔4時才為增函數(shù)，

故4Mmax"4)=4*2=8；

當(dāng)4Vx420時,

心)=/亭-20A)=*-10)2吟,心)max="0)=12.5.

所以當(dāng)0。320時,小0的最大值為125

故當(dāng)養(yǎng)殖密度為10尾及方米時，魚的年生長量可以達(dá)到最大，最大值為12.5千克方米.

題型2構(gòu)建指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型

劭?某位股民購進(jìn)某只股票，在接下來的交易時間內(nèi)，他的這只股票先經(jīng)歷了"次漲停

（每次上漲10%）,又經(jīng)歷了"次跌停（每次下跌10%）,則該股民這只股票的盈虧情況（不考慮其他費(fèi)用）為

A.略有盈利B.略有虧損

C.沒有盈利也沒有虧損D.無法判斷盈虧情況

B

設(shè)該股民購買這只股票的價格為a,則經(jīng)歷"次漲停后股票的價格為式1?10%）〃=廳1.1",經(jīng)歷"

次跌停后股票的價格為K."Q-10%）"=K.l"09"=aQ.lx0.9）”=0.99aa<a,故該股民這只股票略有虧

損.故選B.

題型3構(gòu)建函數(shù)y=axq（a>04>0）模型

位J0Q）某汽車運(yùn)輸公司購買了一批豪華大客車投入營運(yùn)，據(jù)市場分析，每輛客車營運(yùn)的總利潤"萬元）

與營運(yùn)年數(shù)x的關(guān)系如圖所示（拋物線的一段），則為使其營運(yùn)年平均利潤最大，每輛客車營運(yùn)年數(shù)

為.

某地區(qū)要建造一條防洪堤,其橫斷面為等腰梯形，腰與底邊夾角為60°（如圖），考慮防洪堤堅固性及石塊

用料等因素，設(shè)計其橫斷面要求面積為9遙平方米，且高度不低于冉米.記防洪堤橫斷面的腰長為x米,外周長

（梯形的上底線段3U與兩腰長的和）為y米.要使防洪堤的上面與兩側(cè)面的水泥用料最?。礄M斷面的外周長

最?。?，則防洪堤的腰長x=米.

疊(1)5(2)273

(1)根據(jù)圖象求得y=-(x-6)2+ll,

.：年平均利潤(=12｛乂+§),

?.x+§210,當(dāng)且僅當(dāng)x=5時等號成立，

二要使年平均利潤最大，客車營運(yùn)年數(shù)為5.

(2)由題意可得BC=^^(2<x<6),

〃*號22序>6倔

當(dāng)且僅當(dāng)F號(2vx<6),即x=28時等號成立.

題型4構(gòu)建分段函數(shù)模型

倒?已知某公司生產(chǎn)某款手機(jī)的年固定成本為40萬美元，每生產(chǎn)1萬只還需另投入16萬美元.設(shè)該公

司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款手機(jī)x萬只并全部銷售完,每萬只的銷售收入為萬美元，且

(400-6%,0<x<40,

740040000、

I---x>4°-

(1)寫出年利潤僧萬美元)關(guān)于年產(chǎn)量M萬只)的函數(shù)解析式；

(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬只時，該公司在該款手機(jī)的生產(chǎn)中所獲得的年利潤最大？并求出最大年利潤.

⑴當(dāng)0vx“0時，

-(16x+40)=$解+384xY0;

當(dāng)x>40時，

%*戊的-(16X+40)=^^-16x+7360.

f-6x2+384x-40,0<x<40,

所以W=\40000“.、仃

(——--?16x+7360,x>40.

(2)⑦當(dāng)0<x<40時,％-6(x-32)2+6104,

所以當(dāng)x=32時，〃取最大值，最大值為6104.

②當(dāng)x>40時,心華2-16X+7360,

因為噌+16應(yīng)2J華X16X=1600,

當(dāng)且僅當(dāng)竺詈=16%即x=50時，取等號，

所以幺的最大值為5760.

綜合。②，當(dāng)年產(chǎn)量為32萬只時，年利潤最大，最大值為6104萬美元.

大去構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解決實際問題，要正確理解題意，分清條件和結(jié)論,理順數(shù)量關(guān)系，將文字語言轉(zhuǎn)化成

數(shù)學(xué)語言,建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，求解過程中不要忽略實際問題對變量的限制.如實際問題中有些變量間的關(guān)

系不能用同一個關(guān)系式給出，而是由幾個不同的關(guān)系式構(gòu)成，如出租車票價與路程之間的關(guān)系，應(yīng)構(gòu)建分段函

數(shù)模型求解;當(dāng)涉及增長率等有關(guān)問題時應(yīng)構(gòu)建指數(shù)函數(shù)模型求解.

【追蹤訓(xùn)練2】(1)一個放射性物質(zhì)不斷衰變?yōu)槠渌镔|(zhì)，每經(jīng)過一年就有弓的質(zhì)量發(fā)生

衰變，剩余質(zhì)量為原來的若該物質(zhì)余下質(zhì)量不超過原有的1%,則至少需要衰變的年數(shù)是().

A3B.4C.5D.6

（2）已知某服裝廠生產(chǎn)某種品牌的衣服，銷售量4M（單位:百件）關(guān)于每件衣服的利潤M單位:元）的函數(shù)解

析式為a2°，則該服裝廠所獲得的最大效益是________元.

（90-3遍?Vx,20<x<180,

（1）B⑵240000

（i）設(shè)原物質(zhì)的質(zhì)量為單位i,一年后剩余質(zhì)量為原來的今兩年后變?yōu)樵瓉淼腉）：依此類推年后

的質(zhì)量是原來的（3”,只需要（3"v擊，故〃24.

(2)設(shè)該服裝廠所獲效益為*力元，

貝|J4m=100匈M(fèi)

件等,0<xV20,

(100x(90-375?《),20<x<180.

當(dāng)0<心20時,心）二與罌=126000明竿，外）在區(qū)間（0,20]上單調(diào)遞增,所以當(dāng)x=20時,仆）取得最大

值，最大值為120000.

當(dāng)20<x<180時，辦）=9000x-300底

則外向與000450v

令力，解得*=80.

當(dāng)20<x<80時/⑶>0,。）單調(diào)遞增，當(dāng)80<七180時,打吊<0,外）單調(diào)遞減，

所以當(dāng)*=80時,心）取得極大值，也是最大值，最大值為240000.

因為120000<240000,

所以該服裝廠所獲得的最大效益是240000元.

[□方法技巧

對應(yīng)學(xué)生用書第52頁

卜方法探究分類突破

05法突破函數(shù)實際應(yīng)用中的數(shù)學(xué)建模問題

數(shù)學(xué)建模是高考中的熱點(diǎn)，主要考查數(shù)學(xué)建模能力及分析、解決問題的能力.數(shù)學(xué)建模是對現(xiàn)實問題進(jìn)行

數(shù)學(xué)抽象,用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題，用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題.

￡3碉某廠有一個容量為300噸的水塔，每天從早上六點(diǎn)到晚上十點(diǎn)供應(yīng)生活和生產(chǎn)用

水，已知該廠的生活用水為每小時10噸,生產(chǎn)用水總量亞噸）與時間《單位:小時，規(guī)定早晨六點(diǎn)時fR）的函

數(shù)關(guān)系為%iooa冰塔的進(jìn)水量有10級，第一級每小時進(jìn)水10噸，以后每提高一級，進(jìn)水量增加10噸.若

某天水塔原有水100噸，在供應(yīng)用水時同時打開進(jìn)水管，問該天進(jìn)水量應(yīng)選擇幾級，既能保證該廠用水（即水

塔中水不空），又不會使水溢出？

設(shè)水塔進(jìn)水量選擇第"級，在f時刻水塔中的水容量y等于水塔中的存水量100噸加進(jìn)水量10市

噸,減去生活用水10f噸，再減去生產(chǎn)用水"=100"噸，即y=100+10"t-10M006(0v仁16).

若水塔中的水量既能保證該廠用水，又不會使水溢出，則一定有0<旌300,即

0<100+10/7M0M00Vt<300,

所以丹瑞+1<”纖琮以對一切怎(016］恒成立.

因為平琮+1=口。(身丫吊馬

甥5

所以卜〃弓，即"=4.

故進(jìn)水量應(yīng)選擇4級.

方法總結(jié)

構(gòu)建數(shù)學(xué)模型一定要過好的三關(guān)

(1)事理關(guān):通過閱讀、理解，明確問題講的是什么,

熟悉實際背景，為解題找出突破口.

(2)文理關(guān):將實際問題的文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符

號語言，用數(shù)學(xué)式子表達(dá)數(shù)學(xué)關(guān)系.

(3)數(shù)理關(guān):在構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的過程中，對已知數(shù)學(xué)

知識進(jìn)行檢索，從而認(rèn)定或構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型.

【突破訓(xùn)練】某工廠在甲、乙兩地的兩個分廠各生產(chǎn)某種機(jī)器12臺、6臺，現(xiàn)銷售給力地10臺,8地8

臺.已知從甲地調(diào)運(yùn)1臺機(jī)器至4地、8地的運(yùn)費(fèi)分別為400元、800元，從乙地調(diào)運(yùn)1臺機(jī)器至/地、B

地的費(fèi)用分別為300元、500元.

(1)設(shè)從乙地調(diào)運(yùn)x臺機(jī)器至A地，求總費(fèi)用乂元)關(guān)于臺數(shù)x的函數(shù)解析式.

(2)若總運(yùn)費(fèi)不超過9000元，問:共有幾種調(diào)運(yùn)方案？

(3)求出總運(yùn)費(fèi)最低的調(diào)運(yùn)方案及最低的費(fèi)用.

甲、乙兩地調(diào)運(yùn)至43兩地的機(jī)器臺數(shù)及運(yùn)費(fèi)(元)如下表：

調(diào)出地甲地乙地

調(diào)至地/地8地A地8地

臺數(shù)10-x12-(10-A)X6-x

每臺運(yùn)費(fèi)

400800300500

(元)

運(yùn)費(fèi)(元)合400(10

800(12-(10-A)]300x500(6-A)

計)

(1)依題意得y=400(10-?+800[12Y10-M]+300X+500(6-M=200(X+43)(0VXV6,XGZ).

（2）由冰9000,解得心2.因為0vxs6,xGZ,所以*0,1,2.所以共有3種調(diào)運(yùn)方案.

（3）由一次函數(shù)的單調(diào)性知，當(dāng)x=0時,總運(yùn)費(fèi)y最低％^=8600.

所以從乙地調(diào)6臺給8地，從甲地調(diào)10臺給力地，調(diào)2臺給8地的調(diào)動方案的總運(yùn)費(fèi)最低，最低費(fèi)用是

8600元.

0課后作業(yè)對應(yīng)《精練案》第23頁

卜課后加練鞏固升華

基礎(chǔ)過關(guān)?>

一根蠟燭長20cm,點(diǎn)燃后每小時燃燒5cm,則燃燒時剩下的高度《cm）與燃燒時間?h）的函數(shù)關(guān)系用圖

象表示為（）.

由題意得關(guān)系式為力=20-5?04仁4）.圖象應(yīng)為B項.

出售某種文具盒,若每個可獲利x元，一天可售出（6封個.當(dāng)一天出售該種文具盒的總

利潤y最大時,x的值為（）.

A.lB.2C.3D.4

C

因為總利潤等于單個利潤乘以個數(shù)，

所以y=M6-M，

將其進(jìn)行變形，可得y=《x-3）2+9,

故當(dāng)x=3時『取得最大值，最大值為9,故選C.

某種動物的繁殖數(shù)量M單位:只）與時間M單位:年）的關(guān)系式為y=目。gXx+D,若這種動物

第1年有100只測到第7年它們發(fā)展到（）.

A.300只B.400只C.500只D.600只

郅:.A

由題意，得100=alog2（l+l）,解得a=100,所以y=100bg2（x+l）,當(dāng)x=7

時/=1001。92（7+1）=300,故至1」第7年它們發(fā)展到300只.

設(shè)某公司原有員工100人從事產(chǎn)品力的生產(chǎn)，平均每人每年創(chuàng)造產(chǎn)值?t>0）萬元.公司決

定從原有員工中分流M0〈x<100，*GN）人去進(jìn)行新開發(fā)的產(chǎn)品8的生產(chǎn).分流后，繼續(xù)從事產(chǎn)品/生產(chǎn)的員

工平均每人每年的創(chuàng)造產(chǎn)值在原有的基礎(chǔ)上增長了1.2M6.若要保證產(chǎn)品/的年產(chǎn)值不減少,則最多能分流

的人數(shù)是（）.

A.15B.16C.17D.18

』B

由題意，分流前每年創(chuàng)造的產(chǎn)值為100?萬元），分流x人后，每年創(chuàng)造的產(chǎn)值為Q00/Q<L2A%）t

則由K藍(lán)晶鱉就t>M得F因為旌”所以X的最大值為16.

我們處在一個有聲世界里，不同場合，人們對聲音的音量會有不同要求.音量大小的單位是分貝（018）,對于一

個強(qiáng)度為/的聲波,其音量的大小可由如下公式計算:〃=10lg#其中而是人耳能聽到聲音的最低聲波強(qiáng)度）.

則70dB的聲音的聲波強(qiáng)度A是60dB的聲音的聲波強(qiáng)度12的（）.

倍B.IOJ倍C.10倍D.l《

C

由〃=10lg；得/=而10為所以人=為107,萬同106,所以2=10,所以70dB的聲音的聲波強(qiáng)度R是

60dB的聲音的聲波強(qiáng)度￡的10倍.

當(dāng)生物死亡后，其體內(nèi)原有的碳14的含量大約每經(jīng)過5730年衰減為原來的一半，這個時間稱為"半衰

期”.當(dāng)死亡生物體內(nèi)的碳14含量不足死亡前的千分之一時,用一般的放射性探測器就測不到了.若某死亡

生物體內(nèi)的碳14用一般放射性探測器探測不到，則它經(jīng)過的“半衰期"個數(shù)至少是（）.

A.8B.9C.10D.11

C

生工設(shè)該死亡生物體內(nèi)原有的碳14的含量為1,則經(jīng)過"個"半衰期”后的含量為由島,

得"210.

所以，若某死亡生物體內(nèi)的碳14用一般放射性探測器探測不到，則它至少需要經(jīng)過10個"半衰期”.

通過實驗數(shù)據(jù)可知，某液體的蒸發(fā)速度M單位:升ZJ、時）與液體所處環(huán)境的溫度M單位：℃）

近似地滿足函數(shù)關(guān)系y=e^b（e為自然對數(shù)的底數(shù)?力為常數(shù)）.若該液體在0。（:的蒸發(fā)速度是0.1升/J、時，

在30°C的蒸發(fā)速度為0.8升/卜時，則6=，該液體在20°C的蒸發(fā)速度為升/J、時.

In0.10.4

由y=e&"及已知條件得0.1=e解得°=|n0.1.

又0.8=e30??,.：30Z+ln0.1=ln0.8,解得Z挈，

.,.y=e^x+ln01,

2

則該液體在20℃的蒸發(fā)速度為e3xin8+ino.i=emo.4=o.4^/N4）.

甲、乙、丙、丁四個物體同時從某一點(diǎn)出發(fā)向同一方向做直線運(yùn)動,它們的路程次力（/=1,2,3,4）關(guān)于時間

M尬0）的函數(shù)關(guān)系式分別為&（吊=27,女才=/用（刃=比左（才=1。92（戶1）,有以下結(jié)論：

②當(dāng)x>l時，甲走在最前面；

②當(dāng)x>l時，乙走在最前面；

③當(dāng)Ovxvl時,丁走在最前面，當(dāng)x>l時，丁走在最后面；

④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；

⑤如果它們一直運(yùn)動下去，最終走在最前面的是甲.

其中正確結(jié)論的序號為.

一二③④⑤

可:甲、乙、丙、丁的路程〃M（j=L2,3,4）關(guān)于時間M應(yīng)。）的函數(shù)關(guān)系式分別為

蟲>0=2*-1向4=必向?=%4（4=1。92（戶1）,它們對應(yīng)的函數(shù)模型分別為指數(shù)型函數(shù)模型、二次函數(shù)模型、

一次函數(shù)模型、對數(shù)型函數(shù)模型.當(dāng)x=2時,左2）=3,句2）=4,所以切正確;當(dāng)>=5時，蟲5）=31,氏5）=25,

所以②不正確;根據(jù)四種函數(shù)的變化特點(diǎn),對數(shù)型函數(shù)的增長速度是先快后慢，又當(dāng)x=l時，甲、乙、丙、丁四

個物體走過的路程相等，從而可知，當(dāng)0<x<l時,丁走在最前面，當(dāng)x>l時，丁走在最后面,所以③正確;指數(shù)型

函數(shù)的增長速度是先慢后快，當(dāng)運(yùn)動的時間足夠長時,最前面的物體一定是按照指數(shù)型函數(shù)模型運(yùn)動的物體，

即一定是甲物體,所以⑤正確;結(jié)合對數(shù)型函數(shù)和指數(shù)型函數(shù)的圖象變化情況，可知丙不可能走在最前面，也不

可能走在最后面，所以?正確.

<?考能提升.

近年來，"共享單車”的出現(xiàn)為市民“綠色出行”提供了極大的方便，某共享單車公司計

劃在甲、乙兩座城市共投資120萬元，根據(jù)行業(yè)規(guī)定,每座城市至少要投資40萬元,由前期市場調(diào)研可知，甲

城市收益/單位:萬元）與投入K單位:萬元）滿足戶=3房￡乙城市收益Q單位:萬元）與投入4單位:萬元）

滿足Q=>l+2,則投資兩座城市收益的最大值為（）.

A.26萬元B.44萬元C.48萬元D.72萬元

B

設(shè)在甲城市投資x萬元,在乙城市投資Q20-萬萬元，所以總收益

~6臼120-A）+2=3X+3VS?+26.

由題意知f輯AH解得40<X<80.

klZU-XN4U,

令仁石，則代［2VIU,4V可，所以y=-F+3夜"26=*t6/I）2+44,當(dāng)tV或，即x=72時/取得最大值,

最大值為44,所以當(dāng)甲城市投資72萬元，乙城市投資48萬元時，總收益最大，且最大收益為44萬元.故選B.

（本題為多項選擇題）某校甲、乙兩食堂去年1月份的營業(yè)額均為a,甲食堂的營業(yè)額逐月增加，并且每月

的增加值也為劣乙食堂的營業(yè)額也逐月增加，并且每月增加的百分率為x已知該年9月份兩食堂的營業(yè)額又

相等，則（）.

A.x=V9-l

B.x=g

C.5月份甲食堂的營業(yè)額較高

D.5月份乙食堂的營業(yè)額較高

AC

由題意,a+8a=a(l+M8,所以、=眄一1,則5月份甲食堂的營業(yè)額力=5a,5月份乙食堂的營業(yè)額

尢=a(l+A)4=3a,所以外>以,故選AC.

某市用37輛汽車往災(zāi)區(qū)運(yùn)送一批救災(zāi)物資,假設(shè)以i/km/h的速度直達(dá)災(zāi)區(qū),

已知該市到災(zāi)區(qū)公路線長400km,為了安全起見，兩輛汽車的間距不得小于(A)?km,那么這批物資全部到

達(dá)災(zāi)區(qū)的最少時間是h.(車身長度不計)

12

設(shè)全部物資到達(dá)災(zāi)區(qū)所需時間為th,由題意可知,1相當(dāng)于最后一輛車行駛了卜x(盤)2+

400km所用的時間，因此上變遍出嘯心與12,當(dāng)且僅當(dāng)提=坐即i/岑時取.

Iv400v400v3

故這些汽車以竽km/h的速度勻速行駛時,所需時間最少，最少時間為12h.

某書商為提高某套叢書的銷售量,準(zhǔn)備舉辦一場展銷會.據(jù)市場調(diào)查，當(dāng)每套叢書售價定為x元時,銷售量

可達(dá)到Q59.1M萬套.現(xiàn)出版社為配合該書商的活動，決定進(jìn)行價格改革，將每套叢書的供貨價格分成固定價

格和浮動價格兩部分，其中固定價格為30元，浮動價格(單位:元)與銷售量(單位:萬套)成反比，比例系數(shù)為10.

假設(shè)不計其他成本，即銷售每套叢書的利潤=售價-供貨價格，問：

(1)每套叢書售價定為100元時,書商能獲得的總利潤是多少萬元？

(2)每套叢書售價定為多少元時，單套叢書的利潤最大？

(1)每套叢書售價定為100元時，銷售量為15-0.1xlOO=5(萬套)，此時每套供貨價格為

30岑=32(元)，書商所獲得的總利潤為5x(100-32)=340(萬元).

(2)每套叢書售價定為x元時，由｛:個產(chǎn)>°,解得0<x<150.

依題意，單套叢書利潤

(“,10\100”

Pn^\30+1^0W=X15^-30'

所以P=-(150-x+出D+120.

\150-x/

因為0<xvl50,所以150-^>0,

貝ij150■廣黑22J(150㈤.黑=2*10=20,當(dāng)且僅當(dāng)150-x=^,Wx=140時等號成立，

此時,/ax=-20+120=100.

所以每套叢書售價定為140元時,單套叢書的利潤最大，最大值為100元.

拓展延伸

如圖所示，已知邊長為8米的正方形鋼板有一個角被銹蝕,其中/￡=4米,0=6米.為合理利用這塊鋼板，在五

邊形力8?！陜?nèi)截取一個矩形BNPM,使點(diǎn)P在邊DEE

(1)設(shè)的二*米,必仁/米，將y表示成x的函數(shù)，求該函數(shù)的解析式及定義域；

(2)求矩形8/V"例面積的最大值.

鬟近

(1)作PQ_LZ尸于點(diǎn)Q,

所以PQ=(8少米,&?Nx4)米.

又2EPQiEDF,

所喘嗡