關于實變函數教學的一些思考

關于實變函數教學的一些思考

1基于實變函數的內容實際變化函數是高師數學專業(yè)的一項重要基礎課程。其任務是讓學生掌握現代抽象分析的基本思想，提高抽象思維和表達能力，加深對數學表現的理解，加深對數學的理解。實變函數的內容已經廣泛滲透到現代數學的各個領域,例如泛函分析、現代偏微分方程、調和分析、分形理論等。Lebesgue積分的創(chuàng)立是二十世紀數學標志性成就之一,而測度論是現代概率論的基礎。因此,學好實變函數有著重要意義。但是由于實變函數概念的抽象和理論的艱深,許多學習過這門課程的學生感到實變函數晦澀難學,很難理解。作為任教老師應當認真研究這門課的教法,上好這門課,使學生能真正理解這門課的思想實質。2改進實用函數教育法的一些方法2.1結合正反兩方面的實例數學中的所謂反例就是用以否定錯誤命題而舉的例子。反例可以分成三類:用來否定似是而非的命題的,用來說明命題和定理的條件、結論是不可更改的,用來糾正直觀上可能產生的錯覺的。反例同正面例子結合,可以達到以反輔正、殊途同歸的目的。實變函數概念繁多,而且相互聯系很強,一個概念往往與許多概念密切相關。如果學生對其中一個概念不能深刻理解,往往會影響到對一批概念的理解。同時,實變函數概念往往很抽象,這也使得學生在理解概念時不容易把握其內涵。在講解概念時,除了認真講清概念的含義外還應當結合正反兩方面的例子,即使學生理解概念的本質,也使學生去掉一些錯誤的認識。例如:講解可測函數的概念時,應當首先講清其含義,特別強調是對于任意的a∈R,E[f>a]為可測集,則稱f為E上一個Lebesgue可測函數,然后證明這等價于對于任意的a∈R,E[f≥a](或E[f≤a]或E[f<a])為可測集。最后再從反面構成一個非可測函數的例子,使學生知道即便對于任意的a∈R,E[f=a]為可測集,f不一定為E上的可測函數。例1在(0,∞)中取不可測集A,在E=R1上定義f(x)={x,x∈A,?xx?Af(x)={x,x∈A,-xx?A則?x∈R1,集E[f=a]至多包含兩點,所以是可測集,但因集E[f>0]∩(0,∞)=A不可測,所以f為不可測函數。實變函數論中的定理條件往往很簡單卻很抽象,容易被學生忽視,通過一些反例可以幫助學生把握這些極容易被忽視和認識模糊的地方。例如,Egoroff定理中條件mE<∞是不可少的。例2取E=(0,+∞),則mE=∞。作E上函數列:fn(x)={1,x∈(0,n]?0?x∈(n,+∞),n=1,2,?fn(x)={1,x∈(0,n]?0?x∈(n,+∞),n=1,2,?顯然,{fn(x)}處處收斂于1,但是對于任意δ>0與可測集Eδ?E,當mEδ<δ時,{fn(x)}在E＼Eδ上不一致收斂于1。事實上對任何n,因mEδ<δ,所以(n,∞)＼Eδ≠〉。從而存在x∈(n,∞)＼Eδ使fn(x)=0。在使用反例教學時,應從正面例子入手,同時反例也不宜舉得過多。2.2利用lebesgue積分進行內實變函數是一門承上啟下的課程,一方面它是數學分析課的繼續(xù)、發(fā)展、深化和拓廣,另一方面,它也是泛函分析、偏微方程、概率論與隨機過程等的基礎。這是實變函數同其他課程的聯系,是外部的聯系。Riemann積分是數學分析的重要內容,而Lebesgue積分是變實函數論的主要組成部分,這兩種積分從思想及形式上有著明顯的區(qū)別,但它們也有著深刻的聯系,Lebesgue積分是Riemann積分本質的改造,這種改造是對Riemann積分的缺陷認識基礎上進行的。首先Riemann積分對函數連續(xù)性的要求比較高,Riemann可積函數的間斷點集只能是零測度集。其次,由于Riemann可積函數列的極限函數不一定是Riemann可積的。這就使得交換積分與極限的順序還必須附加一些強的條件。Lebesgue積分是在Lebesgue測度與Lebesgue可測函數等新的概念引入基礎上對Riemann積分的一種變革,不同于Riemann積分,Lebesgue積分是通過值域分劃得到新的積分和。同樣,數學分析中連續(xù)函數的概念與可測函數是緊密聯系的。一方面,連續(xù)函數必為可測函數,反之未必。另一方面,由魯津定理知,可測函數是基本上連續(xù)的函數。把實變函數論中的概念同數學分析中有關概念加以比較,可以加深對這些概念的理解。實變函數同泛函分析有著密切的聯系。例如,泛函分析中的Lp[a,b]空間,C[a,b]的共軛空間等,現代概率論的公理體系是建立在測度論的基礎之上。實變函數中有大量分形的例子,由于實變函數課程講述的時間安排,我們不可能在講述實變函數時,仔細的介紹實變函數與這些后續(xù)課程的聯系。但我們在講述實變函數時,簡單地介紹其與相關后續(xù)課程的重要聯系,使學生認識到實變函數的應用,會增強學生學習的興趣,提高學生學習的主動性與積極性。實變函數內容理論體系嚴密完整,前后知識貫穿一起,這是其內部的聯系。學習完各章節(jié)后,分別對各章節(jié)內容予以梳理,有助于學生從總體把握,知道各個部分的內在聯系,在整體中理解部分。2.3直觀化的教學手段很多學過實變函數的學生總結起來總是感到實變函數不可捉摸,難以深入理解其思想本質,這是由于實變函數理論的高度抽象性。教學過程中適當地應用直觀化教學手段,可以幫助學生克服覺著實變函數難懂、抽象、枯燥的心理,學好實變函數。實變函數直觀化的教學手段應是多樣性的,它可以是為學生所熟悉的數學分析中的直觀例子。例如,講到開集概念時,使用開圓或開區(qū)間做例子等。直觀化的教學手段還應包括實變函數發(fā)展史中富有趣味、直觀形象且具啟發(fā)意義的例子。例如,講到基數時,可以簡單地介紹史學家對原始人獵物分配過程的猜測性描述,從而引出一一對應可以作為比較兩個無限集的元素多少的手段。再如,講到不存在最大基數的定理時,可由有限集上這一結論的成立(即n<2n,引導學生發(fā)現這一結論,再結合著名的理發(fā)師悖論講述這一定理的證明思路。在講到Riemann積分與Lebesgue積分的區(qū)別時,可以使用Lebesgue本人所使用的一個例子:償還一筆錢,可以從口袋中摸出不同面值的鈔票,還給債主,直到還清,這叫Riemann積分,也可以分不同面值將口袋中錢還給債主,這叫Lebesgue積分。直觀化的圖示可以幫助學生清理思路,認識概念、命題之間的聯系。例如:結合實變函數教學,介紹數學史中關于實變函數的論述,可以增加學生對實變函數的感性認識,理解其思想實質,增強學生的學習興趣,培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識。目前,已有一些實變函數教科書將實變函數有關概念的發(fā)展演化列舉在其章節(jié)附錄中(見)。2.4以問題為導向,拓展課程體系,增加學生學習的基礎,提高學生專業(yè)生學生感到實變函數難于掌握,一個重要原因是面對習題總是感覺到束手無策。實變函數的大部分習題是證明題,理論性很強,需要學生在熟悉所學概念與定理的基礎上,展開抽象思維,認真分析,合理推證,這對學生的數學素養(yǎng)要求很高。如果學生對課后習題不能順利做出,長此以往,就會使學生產生實變函數難學的心理負擔,不利于學生對實變函數知識與概念的鞏固復習。因此,分章及梳理小結,精選習題,上好習題課,對于學生掌握實變函數問題的典型方法、分解難點,增強學習信心十分必要,選題原則是強調基本概念、性質、定理,突出基本方法,題目不宜太多太難,應努力使學生發(fā)現解題技巧,選題對于一類習題要有啟發(fā)性,講解時要做好師生互動,有些只要講解思路予以提示即可,對于繁難題目可以認真講解。結合所學內容,設計小的專題研究問題,會增強學生的興趣,也培養(yǎng)了學生的科研能力,對于提高學生的綜合素質極為有利。例如,可測函數列的收斂性問