曲線的切線和法面、密切面

.z.§1.2曲線的切向量、切線和法面、密切平面假設(shè)中的三個(gè)分量具有我們所需要的各階導(dǎo)數(shù)。切向量的定義及求法z對(duì)曲線進(jìn)展研究，從曲線的割線及割線的極限入手。z定義如圖給出曲線上一點(diǎn)，點(diǎn)是曲線上鄰近的一點(diǎn)，經(jīng)過和的直線稱為曲線的一條割線。當(dāng)點(diǎn)沿著曲線趨近于點(diǎn)時(shí)，假設(shè)割線趨近于一定的位置，則我們把這個(gè)割線的極限位置稱為曲線在點(diǎn)處的切線。而定點(diǎn)叫做切點(diǎn)。直觀上看，切線是通過點(diǎn)的所有直線當(dāng)中最貼近曲線的直線。設(shè)曲線的參數(shù)方程是，。設(shè)是該曲線上的一點(diǎn)，記為，，給一個(gè)增量，考慮曲線上的另外一點(diǎn)記，；則有，在割線上作向量，使得；當(dāng)〔即〕時(shí)，如果有著確定的極限，則，根據(jù)曲線的切線的定義，則這個(gè)極限就是切線上的一向量，稱它為曲線在點(diǎn)處的切向量。也就是說，定義為曲線的切向量，用來表示?！?〕切向量的求法因?yàn)?，令得。特別，對(duì)平面曲線，①：，切向量為切線的斜率。②曲線切向量為切線的斜率。平面曲線的切線方程和法線方程。例1、求圓的切向量。解：切向量是所以，這說明與垂直。二、切線方程曲線在點(diǎn)處的切線方程為，，，，這稱為切線方程的點(diǎn)向式。三、曲線的法平面經(jīng)過切點(diǎn)而垂直于切線的平面，稱為曲線的法平面或法面。下面導(dǎo)出曲線的法平面方程。設(shè)曲線上一點(diǎn)，它所對(duì)應(yīng)的參數(shù)為，點(diǎn)的向徑是，是法面上的任一點(diǎn)，則由，得，假設(shè)設(shè)，，則得法面方程為。四、光滑曲線定義8.2設(shè)曲線，如果，則稱是曲線的一個(gè)奇點(diǎn)。如果,稱為是曲線的一個(gè)正則點(diǎn)〔或正常點(diǎn)〕。例如，，，是曲線的一個(gè)奇點(diǎn)，其它點(diǎn)為正則點(diǎn)。由，得，在處不可導(dǎo)。畫出曲線圖象。例曲線，，，，當(dāng)時(shí)，有，均為曲線的奇點(diǎn)，其它點(diǎn)為正則點(diǎn)畫出曲線圖形。注：，是奇點(diǎn)，，不是奇點(diǎn)，表示同一條曲線，原因是變換不是正則的。定義如果曲線全由正則點(diǎn)組成，則稱這條曲線是一條正則曲線。設(shè)曲線，，如果切向量的三個(gè)分量都是上的連續(xù)函數(shù)，并且，則稱曲線是一條光滑曲線。設(shè)曲線〔〕，如果在上連續(xù)，并且，則稱曲線是一條光滑曲線。如果曲線表示式〔〕中的函數(shù)是階連續(xù)可微的函數(shù)，則把這曲線稱為類曲線。記號(hào)，，等的涵義。例如：圓柱螺線是一條光滑曲線，且是類曲線〔任意正整數(shù)〕?！策@種曲線，也稱為無(wú)窮次光滑曲線?！撤侄喂饣那€概念。分段光滑的曲線的圖例，出現(xiàn)被使用的場(chǎng)合。例1.求曲線在點(diǎn)處的切線和法平面方程.解因及點(diǎn)對(duì)應(yīng)參數(shù)所以曲線在點(diǎn)M處的切向量為于是所求的切線方程為；法平面方程為即例2、求曲線上平行于直線的切線方程.解直線的方向向量由于曲線的切向量平行于向量所以解得切點(diǎn)坐標(biāo)為切向量為所以切線方程為即例3.設(shè)曲線在任一點(diǎn)的法平面都過原點(diǎn),證明此曲線必在以原點(diǎn)為球心的*個(gè)球面上.解任取曲線上一點(diǎn)曲線過該點(diǎn)的法平面方程為:由于法平面過原點(diǎn)，得于是，即曲線在球面上.例4.設(shè)參數(shù)曲線段，它的分量和在上連續(xù)，在可導(dǎo)，并且對(duì)，有，我們稱由與兩點(diǎn)決定的直線段為這條參數(shù)曲線段的弦.求證：曲線上至少有一點(diǎn)使得曲線在這點(diǎn)上的切線與弦平行.證:由柯西中值定理,存在,使得,弦的斜率為,曲線上點(diǎn)處的切線斜率為,兩者相等,故弦線與點(diǎn)處的切線平行,結(jié)果得證.五、空間曲線的密切平面經(jīng)過上面的討論，我們知道，在類曲線的正常點(diǎn)處，總存在一條切線，它是最貼近曲線的直線。下面我們將指出，對(duì)于一條類空間曲線而言，過曲線上一點(diǎn)有無(wú)數(shù)多個(gè)切平面，其中有一個(gè)最貼近曲線的切平面，它在討論曲線的性質(zhì)時(shí)起很重要的作用。定義1過空間曲線上點(diǎn)的切線和點(diǎn)鄰近一點(diǎn)可作一平面，當(dāng)點(diǎn)沿著曲線趨于時(shí)，平面的極限位置稱為曲線在點(diǎn)的密切平面?，F(xiàn)在我們找出密切平面的方程。給出類的空間曲線：。設(shè)曲線上的和點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)參數(shù)和。根據(jù)泰勒公式，有，其中，。因?yàn)橄蛄亢投荚谄矫嫔?，所以它們的線性組合也在平面上。當(dāng)點(diǎn)沿著曲線趨于時(shí)，，這時(shí)不動(dòng)，但，這個(gè)線性組合向量就趨于，所以平面的極限位置是向量和所確定的平面。也就是說，如果和不平行，即，這兩個(gè)向量及點(diǎn)就完全確定了曲線在點(diǎn)的密切平面。根據(jù)以上的討論，曲線在點(diǎn)的密切平面的方程是，其中表示點(diǎn)的密切平面上任意一點(diǎn)的向徑。上式也可以用行列式表示為。定義2給出類的空間曲線：。設(shè)曲線上的和點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)參數(shù)和。過點(diǎn)作由成的切平面，當(dāng)點(diǎn)沿著曲線趨于時(shí)，平面的極限位置稱為曲線在點(diǎn)的密切平面?，F(xiàn)在我們找出密切平面的方程。的方程為，其法方向?yàn)?，，?dāng)點(diǎn)沿著曲線趨于時(shí)，，，平面的法向量的極限為，就是的法方向，故曲線在點(diǎn)的密切平面的方程是，其中表示點(diǎn)的密切平面上任意一點(diǎn)的向徑。密切平面的幾何意義：設(shè)曲線上的和點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)參數(shù)和。過點(diǎn)作一平面，考察點(diǎn)到平面的距離的接近情況，設(shè)為平面的單位法向量，由作平面的垂線，垂足為，則，其中從平面到點(diǎn)有向距離。由于，，，其中，。所以有，欲使，需要，此時(shí)可為任一過切線的平面；欲使，需要，，也就是需要的法方向?yàn)?，此時(shí)的