淺談如何在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中有效運(yùn)用知識(shí)

淺談如何在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中有效運(yùn)用知識(shí)

現(xiàn)代教育重視教育過(guò)程的展示，重視學(xué)生的參與和技能的發(fā)展。中學(xué)數(shù)學(xué)教材由于受篇幅的局限,許多思維過(guò)程被壓縮和隱藏,解題過(guò)程被簡(jiǎn)化,教材中時(shí)有與學(xué)生認(rèn)知能力相脫節(jié)之處,新舊知識(shí)的銜接有時(shí)出現(xiàn)斷層,對(duì)于其中的教學(xué)過(guò)程學(xué)生往往會(huì)有“從天而降”“措手不及”之感,于是只能是“依樣畫(huà)瓢”、“人云亦云”。長(zhǎng)此以往則會(huì)扼殺學(xué)生的主觀能動(dòng)性,不利于學(xué)生創(chuàng)造能力的培養(yǎng)。針對(duì)這一現(xiàn)象,筆者在課堂教學(xué)中就如何做好彌合和銜接作了一些嘗試,為學(xué)生的主動(dòng)學(xué)習(xí)鋪路搭橋。下面僅以人教版《初中幾何》第三冊(cè)第129頁(yè)例4的教學(xué)實(shí)錄為例。如圖(1):已知⊙O1和⊙O2外切于點(diǎn)P,AB是⊙O1和⊙O2的外公切線,切點(diǎn)分別是A、B,求證:AP⊥BP(見(jiàn)圖1)。對(duì)于兩圓公切線的概念和計(jì)算問(wèn)題在前一小節(jié)中教材已作過(guò)專(zhuān)題討論,但對(duì)于把“公切線”運(yùn)用到兩圓相切以“公切線作為輔助線”這個(gè)方法對(duì)學(xué)生是始料不及的,教材在處理上缺少鋪墊。為了消除學(xué)生“從天而降”的感覺(jué),使他們能自然的接受這種方法,教學(xué)中筆者是這樣為學(xué)生提供幫助,啟迪思維的。一、審查報(bào)告(1)切線長(zhǎng)定理及其主要作用(2)弦切角定理及其推論(3)判定直角三角形的常用方法(突出圓周角定理的推論3)二、學(xué)生法學(xué)中的應(yīng)用教師:上節(jié)課我們主要討論了兩圓公切線的有關(guān)計(jì)算問(wèn)題,本節(jié)課將研究“公切線在證明中的應(yīng)用”。教師板書(shū)課題(這里教師自然地把新舊知識(shí)間的聯(lián)系作一簡(jiǎn)單的過(guò)渡,導(dǎo)明了本節(jié)課的主題,同時(shí)暗示學(xué)生應(yīng)用公切線來(lái)解決本節(jié)課的內(nèi)容)。提出問(wèn)題(課本第129頁(yè)例4):教師:證明兩直線垂直的方法較多,觀察本題給出的圖形,可考慮證明△ABP為RT△。根據(jù)現(xiàn)有條件對(duì)照直角三角形的判定方法,顯然無(wú)法直接得出結(jié)論,則需要根據(jù)所學(xué)知識(shí)適當(dāng)添加輔助線,請(qǐng)同學(xué)們踴躍發(fā)表自己的創(chuàng)意(此時(shí)第一個(gè)高潮掀起)。學(xué)生1:延長(zhǎng)BP交⊙O1于C,連結(jié)AC,則∠1=∠C(見(jiàn)圖2)教師:你想證什么?學(xué)生1:利用∠C+∠B=90°教師:要證∠C+∠B=90°就必須證什么?學(xué)生1:一時(shí)語(yǔ)塞學(xué)生2:就要證AC是⊙O1的直徑,這無(wú)法從條件中獲得,此法行不通。教師:學(xué)生2分析的很有道理,請(qǐng)同學(xué)們繼續(xù)發(fā)言。學(xué)生3:由切線的性質(zhì)定理可連O1A和O2B,則∠O1AB=∠O2BA=90°(見(jiàn)圖2)教師:什么目的?學(xué)生3:證∠2=∠O1AP,利用∠1+∠O1AP=90°,稍頓……(自知缺少溝通條件)此法也難以成行。教師:不要急,從兩圓相切中能否想到什么?學(xué)生4:兩圓相切,切點(diǎn)在連心線上,可再連O1O2,(見(jiàn)圖2)由∠1、∠2是弦切角與所夾弧所對(duì)的圓心角的關(guān)系,可證得∠1=12∠AΟ1Ρ?∠2=12∠BΟ2Ρ∠1=12∠AO1P?∠2=12∠BO2P,由O1A//O2B可推得∠AO1P+∠BO2P=180°從而證得∠1+∠2=90°∴∠APB=90°即AP⊥BP教師:回答的非常好!學(xué)生4從弦切角與所夾弧所對(duì)的圓心角的關(guān)系找到了突破口,對(duì)圓周角定理有了新的認(rèn)識(shí),這種創(chuàng)新意識(shí)應(yīng)予以發(fā)揚(yáng)(證明過(guò)程由教師簡(jiǎn)略的寫(xiě)出)(此時(shí)學(xué)生的創(chuàng)造性思維得以充分展示,表現(xiàn)欲、探索欲強(qiáng)烈,教師把握時(shí)機(jī),直奔本節(jié)課的主題。)教師:剛才學(xué)生4提供的證法行之有效,但此法添線較多,證法較煩,是否有更好的方法?(學(xué)生面面相覷,一時(shí)難以回答。)教師:兩圓外切共有幾條公切線,能否再調(diào)動(dòng)其它公切線的積極性呢,請(qǐng)同學(xué)們小組討論一下。(頓時(shí),學(xué)生為之一振,相互討論)學(xué)生5:過(guò)點(diǎn)P作⊙O1和⊙O2的內(nèi)公切線MN與外公切線AB交于點(diǎn)C。(見(jiàn)圖3)教師:如何作出?請(qǐng)你上臺(tái)作出此內(nèi)公切線(學(xué)生上臺(tái)作圖,教師略加指點(diǎn))教師:請(qǐng)學(xué)生5繼續(xù)發(fā)言。學(xué)生5:由切線長(zhǎng)定理可推得CA=CΡ=CB=12AB,根據(jù)圓周角定理推論3可證得△PAB是RT△∴∠APB=90°即AP⊥BP教師:太精彩了!此法突破了直線和圓相切的思維定勢(shì),與前面證法相比更具創(chuàng)造性,更具合理性。證明過(guò)程請(qǐng)同學(xué)們看P129。三、問(wèn)題的提出、論證和再發(fā)現(xiàn)來(lái)源于書(shū)本,不拘泥于書(shū)本是教師在教學(xué)設(shè)計(jì)中必須重視的重要環(huán)節(jié),它對(duì)開(kāi)闊學(xué)生的思路,培養(yǎng)學(xué)生的探索精神是極有益處的。教師應(yīng)充分挖掘教材的深度和廣度。教師:剛才我們是從線段之間的關(guān)系證得RT△PAB,能否換個(gè)視角從“角”的關(guān)系來(lái)尋求解決問(wèn)題的方法呢?學(xué)生:由CP=CA=CB∴∠1=∠2,∠3=∠4,由三角形內(nèi)角和定理可推得∠1+∠3=90°,即∠APB=90°,AP⊥BP教師:不錯(cuò)!是不是可以不用切線長(zhǎng)定理,從弦切角的關(guān)系來(lái)得出角的關(guān)系?(此時(shí)學(xué)生稍作議論,繼而沉默)教師:觀察弦切角∠1與∠2所夾的弧你能得出什么結(jié)論?學(xué)生:∠1和∠2所夾弧是同一條⌒AΡ?由弦切角定理的推論可得到∠1=∠2,同理∠3=∠4,再利用三角形內(nèi)角和定理就可證得PA⊥PB(教師簡(jiǎn)單板書(shū))教師:該同學(xué)抓住了兩條切線與同一條弦所夾同一條弧,利用弦切角定理推論解決了問(wèn)題,此方法在今后證明兩角相等時(shí)也是非常有效的方法,請(qǐng)同學(xué)們重視它。以上我們從不同的角度探討了對(duì)命題證明的過(guò)程。請(qǐng)同學(xué)們考慮一下以上的證法中關(guān)鍵是得益于哪一方面的幫助?學(xué)生:內(nèi)公切線MN的幫助。教師:說(shuō)得好!內(nèi)公切線MN在此功不可沒(méi),它為我們以后解決兩圓相外(內(nèi))切問(wèn)題找到了突破口——“經(jīng)過(guò)兩圓的切點(diǎn)作公切線”是以后常用的輔助線,利用輔助線架設(shè)兩圓“線與角”之間的橋梁,從而找到解決問(wèn)題的有效途徑,這就是我們本節(jié)課所要解決的重點(diǎn)和難點(diǎn)。在這里我們不僅要記住這條重要的輔助線,而且還要記住這個(gè)RT△PAB,它是由哪三個(gè)頂點(diǎn)所構(gòu)成?學(xué)生:點(diǎn)A、B、P都是切點(diǎn)。教師:完全正確!請(qǐng)大家記住這個(gè)特征三角形,以后它常會(huì)作為一個(gè)隱含的條件出現(xiàn)在其它圖形中間,利用它可以起到承上啟下的作用。通過(guò)本題解答過(guò)程的探討,同學(xué)們可以從中得到哪些啟迪?(進(jìn)一步喚起學(xué)生思考的欲望)學(xué)生A:證明兩直線互相垂直,可轉(zhuǎn)化為證明與這兩直線有關(guān)的三角形是RT△。學(xué)生B:解決了兩圓相切輔助線的添加方法。學(xué)生C:對(duì)于同一個(gè)問(wèn)題應(yīng)多從不同的角度去尋找解決問(wèn)題的方法。教師:以上同學(xué)的回答都非常好,希望同學(xué)們不斷的去開(kāi)發(fā)自己的聰明才智,勇于探索,勇于創(chuàng)新……四、創(chuàng)造新的課堂主體,培養(yǎng)開(kāi)拓思維的能力“要讓學(xué)生看到數(shù)學(xué)建造過(guò)程中的腳手架,而不是簡(jiǎn)單的現(xiàn)成品?！苯處熞\(yùn)用課本有限的素材,針對(duì)學(xué)生的認(rèn)知水平、思維狀態(tài)為學(xué)生探索新的課題鋪路搭橋,不失時(shí)機(jī)的