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文檔簡介
清華大學附中2022-2023學年高三下學期二模考試數(shù)學試題試卷注意事項:1.答卷前,考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.數(shù)列{an}是等差數(shù)列,a1=1,公差d∈[1,2],且a4+λa10+a16=15,則實數(shù)λ的最大值為()A. B. C. D.2.已知拋物線和點,直線與拋物線交于不同兩點,,直線與拋物線交于另一點.給出以下判斷:①直線與直線的斜率乘積為;②軸;③以為直徑的圓與拋物線準線相切.其中,所有正確判斷的序號是()A.①②③ B.①② C.①③ D.②③3.已知整數(shù)滿足,記點的坐標為,則點滿足的概率為()A. B. C. D.4.已知拋物線上的點到其焦點的距離比點到軸的距離大,則拋物線的標準方程為()A. B. C. D.5.山東煙臺蘋果因“果形端正、色澤艷麗、果肉甜脆、香氣濃郁”享譽國內外.據統(tǒng)計,煙臺蘋果(把蘋果近似看成球體)的直徑(單位:)服從正態(tài)分布,則直徑在內的概率為()附:若,則,.A.0.6826 B.0.8413 C.0.8185 D.0.95446.已知底面為邊長為的正方形,側棱長為的直四棱柱中,是上底面上的動點.給出以下四個結論中,正確的個數(shù)是()①與點距離為的點形成一條曲線,則該曲線的長度是;②若面,則與面所成角的正切值取值范圍是;③若,則在該四棱柱六個面上的正投影長度之和的最大值為.A. B. C. D.7.已知f(x)=是定義在R上的奇函數(shù),則不等式f(x-3)<f(9-x2)的解集為()A.(-2,6) B.(-6,2) C.(-4,3) D.(-3,4)8.函數(shù)的圖象大致為()A. B.C. D.9.在我國傳統(tǒng)文化“五行”中,有“金、木、水、火、土”五個物質類別,在五者之間,有一種“相生”的關系,具體是:金生水、水生木、木生火、火生土、土生金.從五行中任取兩個,這二者具有相生關系的概率是()A.0.2 B.0.5 C.0.4 D.0.810.定義在上的奇函數(shù)滿足,若,,則()A. B.0 C.1 D.211.把函數(shù)圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍,縱坐標不變,再將圖象向右平移個單位,那么所得圖象的一個對稱中心為()A. B. C. D.12.已知為圓的一條直徑,點的坐標滿足不等式組則的取值范圍為()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.三對父子去參加親子活動,坐在如圖所示的6個位置上,有且僅有一對父子是相鄰而坐的坐法有________種(比如:B與D、B與C是相鄰的,A與D、C與D是不相鄰的).14.已知數(shù)列中,為其前項和,,,則_________,_________.15.設為數(shù)列的前項和,若,則____16.在平面直角坐標系xOy中,直角三角形ABC的三個頂點都在橢圓上,其中A(0,1)為直角頂點.若該三角形的面積的最大值為,則實數(shù)a的值為_____.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知,函數(shù),(是自然對數(shù)的底數(shù)).(Ⅰ)討論函數(shù)極值點的個數(shù);(Ⅱ)若,且命題“,”是假命題,求實數(shù)的取值范圍.18.(12分)已知函數(shù),.(1)討論的單調性;(2)當時,證明:.19.(12分)設函數(shù),其中.(Ⅰ)當為偶函數(shù)時,求函數(shù)的極值;(Ⅱ)若函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點,求的取值范圍.20.(12分)已知.(1)求的單調區(qū)間;(2)當時,求證:對于,恒成立;(3)若存在,使得當時,恒有成立,試求的取值范圍.21.(12分)如圖所示的幾何體中,,四邊形為正方形,四邊形為梯形,,,,為中點.(1)證明:;(2)求二面角的余弦值.22.(10分)設函數(shù),其中是自然對數(shù)的底數(shù).(Ⅰ)若在上存在兩個極值點,求的取值范圍;(Ⅱ)若,函數(shù)與函數(shù)的圖象交于,且線段的中點為,證明:.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】
利用等差數(shù)列通項公式推導出λ,由d∈[1,2],能求出實數(shù)λ取最大值.【詳解】∵數(shù)列{an}是等差數(shù)列,a1=1,公差d∈[1,2],且a4+λa10+a16=15,∴1+3d+λ(1+9d)+1+15d=15,解得λ,∵d∈[1,2],λ2是減函數(shù),∴d=1時,實數(shù)λ取最大值為λ.故選D.【點睛】本題考查實數(shù)值的最大值的求法,考查等差數(shù)列的性質等基礎知識,考查運算求解能力,是基礎題.2、B【解析】
由題意,可設直線的方程為,利用韋達定理判斷第一個結論;將代入拋物線的方程可得,,從而,,進而判斷第二個結論;設為拋物線的焦點,以線段為直徑的圓為,則圓心為線段的中點.設,到準線的距離分別為,,的半徑為,點到準線的距離為,顯然,,三點不共線,進而判斷第三個結論.【詳解】解:由題意,可設直線的方程為,代入拋物線的方程,有.設點,的坐標分別為,,則,.所.則直線與直線的斜率乘積為.所以①正確.將代入拋物線的方程可得,,從而,,根據拋物線的對稱性可知,,兩點關于軸對稱,所以直線軸.所以②正確.如圖,設為拋物線的焦點,以線段為直徑的圓為,則圓心為線段的中點.設,到準線的距離分別為,,的半徑為,點到準線的距離為,顯然,,三點不共線,則.所以③不正確.故選:B.【點睛】本題主要考查拋物線的定義與幾何性質、直線與拋物線的位置關系等基礎知識,考查運算求解能力、推理論證能力和創(chuàng)新意識,考查數(shù)形結合思想、化歸與轉化思想,屬于難題.3、D【解析】
列出所有圓內的整數(shù)點共有37個,滿足條件的有7個,相除得到概率.【詳解】因為是整數(shù),所以所有滿足條件的點是位于圓(含邊界)內的整數(shù)點,滿足條件的整數(shù)點有共37個,滿足的整數(shù)點有7個,則所求概率為.故選:.【點睛】本題考查了古典概率的計算,意在考查學生的應用能力.4、B【解析】
由拋物線的定義轉化,列出方程求出p,即可得到拋物線方程.【詳解】由拋物線y2=2px(p>0)上的點M到其焦點F的距離比點M到y(tǒng)軸的距離大,根據拋物線的定義可得,,所以拋物線的標準方程為:y2=2x.故選B.【點睛】本題考查了拋物線的簡單性質的應用,拋物線方程的求法,屬于基礎題.5、C【解析】
根據服從的正態(tài)分布可得,,將所求概率轉化為,結合正態(tài)分布曲線的性質可求得結果.【詳解】由題意,,,則,,所以,.故果實直徑在內的概率為0.8185.故選:C【點睛】本題考查根據正態(tài)分布求解待定區(qū)間的概率問題,考查了正態(tài)曲線的對稱性,屬于基礎題.6、C【解析】
①與點距離為的點形成以為圓心,半徑為的圓弧,利用弧長公式,可得結論;②當在(或時,與面所成角(或的正切值為最小,當在時,與面所成角的正切值為最大,可得正切值取值范圍是;③設,,,則,即,可得在前后、左右、上下面上的正投影長,即可求出六個面上的正投影長度之和.【詳解】如圖:①錯誤,因為,與點距離為的點形成以為圓心,半徑為的圓弧,長度為;②正確,因為面面,所以點必須在面對角線上運動,當在(或)時,與面所成角(或)的正切值為最?。橄碌酌婷鎸蔷€的交點),當在時,與面所成角的正切值為最大,所以正切值取值范圍是;③正確,設,則,即,在前后、左右、上下面上的正投影長分別為,,,所以六個面上的正投影長度之,當且僅當在時取等號.故選:.【點睛】本題以命題的真假判斷為載體,考查了軌跡問題、線面角、正投影等知識點,綜合性強,屬于難題.7、C【解析】
由奇函數(shù)的性質可得,進而可知在R上為增函數(shù),轉化條件得,解一元二次不等式即可得解.【詳解】因為是定義在R上的奇函數(shù),所以,即,解得,即,易知在R上為增函數(shù).又,所以,解得.故選:C.【點睛】本題考查了函數(shù)單調性和奇偶性的應用,考查了一元二次不等式的解法,屬于中檔題.8、A【解析】
確定函數(shù)在定義域內的單調性,計算時的函數(shù)值可排除三個選項.【詳解】時,函數(shù)為減函數(shù),排除B,時,函數(shù)也是減函數(shù),排除D,又時,,排除C,只有A可滿足.故選:A.【點睛】本題考查由函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象,可通過解析式研究函數(shù)的性質,如奇偶性、單調性、對稱性等等排除,可通過特殊的函數(shù)值,函數(shù)值的正負,函數(shù)值的變化趨勢排除,最后剩下的一個即為正確選項.9、B【解析】
利用列舉法,結合古典概型概率計算公式,計算出所求概率.【詳解】從五行中任取兩個,所有可能的方法為:金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土,共種,其中由相生關系的有金水、木水、木火、火土、金土,共種,所以所求的概率為.故選:B【點睛】本小題主要考查古典概型的計算,屬于基礎題.10、C【解析】
首先判斷出是周期為的周期函數(shù),由此求得所求表達式的值.【詳解】由已知為奇函數(shù),得,而,所以,所以,即的周期為.由于,,,所以,,,.所以,又,所以.故選:C【點睛】本小題主要考查函數(shù)的奇偶性和周期性,屬于基礎題.11、D【解析】
試題分析:把函數(shù)圖象上各點的橫坐標伸長為原來的倍(縱坐標不變),可得的圖象;再將圖象向右平移個單位,可得的圖象,那么所得圖象的一個對稱中心為,故選D.考點:三角函數(shù)的圖象與性質.12、D【解析】
首先將轉化為,只需求出的取值范圍即可,而表示可行域內的點與圓心距離,數(shù)形結合即可得到答案.【詳解】作出可行域如圖所示設圓心為,則,過作直線的垂線,垂足為B,顯然,又易得,所以,,故.故選:D.【點睛】本題考查與線性規(guī)劃相關的取值范圍問題,涉及到向量的線性運算、數(shù)量積、點到直線的距離等知識,考查學生轉化與劃歸的思想,是一道中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、192【解析】
根據題意,分步進行分析:①,在三對父子中任選1對,安排在相鄰的位置上,②,將剩下的4人安排在剩下的4個位置,要求父子不能坐在相鄰的位置,由分步計數(shù)原理計算可得答案.【詳解】根據題意,分步進行分析:①,在三對父子中任選1對,有3種選法,由圖可得相鄰的位置有4種情況,將選出的1對父子安排在相鄰的位置,有種安排方法;②,將剩下的4人安排在剩下的4個位置,要求父子不能坐在相鄰的位置,有種安排方法,則有且僅有一對父子是相鄰而坐的坐法種;故答案為:【點睛】本題考查排列、組合的應用,涉及分步計數(shù)原理的應用,屬于基礎題.14、8(寫為也得分)【解析】
由,得,.當時,,所以,所以的奇數(shù)項是以1為首項,以2為公比的等比數(shù)列;其偶數(shù)項是以2為首項,以2為公比的等比數(shù)列.則,.15、【解析】
當時,由,解得,當時,,兩式相減可得,即,可得數(shù)列是等比數(shù)列再求通項公式.【詳解】當時,,即,當時,,兩式相減可得,即,即,故數(shù)列是以為首項,為公比的等比數(shù)列,所以.故答案為:【點睛】本題考查數(shù)列的前項和與通項公式的關系,還考查運算求解能力以及化歸與轉化思想,屬于基礎題.16、3【解析】
設直線AB的方程為y=kx+1,則直線AC的方程可設為yx+1,(k≠0),聯(lián)立方程得到B(,),故S,令t,得S,利用均值不等式得到答案.【詳解】設直線AB的方程為y=kx+1,則直線AC的方程可設為yx+1,(k≠0)由消去y,得(1+a2k2)x2+2a2kx=0,所以x=0或x∵A的坐標(0,1),∴B的坐標為(,k?1),即B(,),因此AB?,同理可得:AC?.∴Rt△ABC的面積為SAB?AC?令t,得S.∵t2,∴S△ABC.當且僅當,即t時,△ABC的面積S有最大值為.解之得a=3或a.∵a時,t2不符合題意,∴a=3.故答案為:3.【點睛】本題考查了橢圓內三角形面積的最值問題,意在考查學生的計算能力和轉化能力.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)當時,沒有極值點,當時,有一個極小值點.(2)【解析】試題分析:(1),分,討論,當時,對,,當時,解得,在上是減函數(shù),在上是增函數(shù)。所以,當時,沒有極值點,當時,有一個極小值點.(2)原命題為假命題,則逆否命題為真命題。即不等式在區(qū)間內有解。設,所以,設,則,且是增函數(shù),所以。所以分和k>1討論。試題解析:(Ⅰ)因為,所以,當時,對,,所以在是減函數(shù),此時函數(shù)不存在極值,所以函數(shù)沒有極值點;當時,,令,解得,若,則,所以在上是減函數(shù),若,則,所以在上是增函數(shù),當時,取得極小值為,函數(shù)有且僅有一個極小值點,所以當時,沒有極值點,當時,有一個極小值點.(Ⅱ)命題“,”是假命題,則“,”是真命題,即不等式在區(qū)間內有解.若,則設,所以,設,則,且是增函數(shù),所以當時,,所以在上是增函數(shù),,即,所以在上是增函數(shù),所以,即在上恒成立.當時,因為在是增函數(shù),因為,,所以在上存在唯一零點,當時,,在上單調遞減,從而,即,所以在上單調遞減,所以當時,,即.所以不等式在區(qū)間內有解綜上所述,實數(shù)的取值范圍為.18、(1)見解析;(2)見解析【解析】
(1)求導得,分類討論和,利用導數(shù)研究含參數(shù)的函數(shù)單調性;(2)根據(1)中求得的的單調性,得出在處取得最大值為,構造函數(shù),利用導數(shù),推出,即可證明不等式.【詳解】解:(1)由于,得,當時,,此時在上遞增;當時,由,解得,若,則,若,,此時在遞增,在上遞減.(2)由(1)知在處取得最大值為:,設,則,令,則,則在單調遞減,∴,即,則在單調遞減∴,∴,∴.【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和最值,涉及分類討論和構造新函數(shù),通過導數(shù)證明不等式,考查轉化思想和計算能力.19、(Ⅰ)極小值,極大值;(Ⅱ)或【解析】
(Ⅰ)根據偶函數(shù)定義列方程,解得.再求導數(shù),根據導函數(shù)零點列表分析導函數(shù)符號變化規(guī)律,即得極值,(Ⅱ)先分離變量,轉化研究函數(shù),,利用導數(shù)研究單調性與圖象,最后根據圖象確定滿足條件的的取值范圍.【詳解】(Ⅰ)由函數(shù)是偶函數(shù),得,即對于任意實數(shù)都成立,所以.此時,則.由,解得.當x變化時,與的變化情況如下表所示:00↘極小值↗極大值↘所以在,上單調遞減,在上單調遞增.所以有極小值,有極大值.(Ⅱ)由,得.所以“在區(qū)間上有兩個零點”等價于“直線與曲線,有且只有兩個公共點”.對函數(shù)求導,得.由,解得,.當x變化時,與的變化情況如下表所示:00↘極小值↗極大值↘所以在,上單調遞減,在上單調遞增.又因為,,,,所以當或時,直線與曲線,有且只有兩個公共點.即當或時,函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點.【點睛】利用函數(shù)零點的情況求參數(shù)值或取值范圍的方法(1)利用零點存在的判定定理構建不等式求解.(2)分離參數(shù)后轉化為函數(shù)的值域(最值)問題求解.(3)轉化為兩熟悉的函數(shù)圖象的上、下關系問題,從而構建不等式求解.20、(1)單調減區(qū)間為,單調增區(qū)間為;(2)詳見解析;(3).【解析】
試題分析:(1)對函數(shù)求導后,利用導數(shù)和單調性的關系,可求得函數(shù)的單調區(qū)間.(2)構造函數(shù),利用導數(shù)求得函數(shù)在上遞減,且,則,故原不等式成立.(3)同(2)構造函數(shù),對分成三類,討論函數(shù)的單調性、極值和最值,由此求得的取值范圍.試題解析:(1),當時,.解得.當時,解得.所以單調減區(qū)間為,單調增區(qū)間為.(2)設,當時,由題意,當時,恒成立.,∴當時,恒成立,單調遞減.又,∴當時,恒成立,即.∴對于,恒成立.(3)因為.由(2)知,當時,恒成立,即對于,,不存在滿足條件的;當時,對于,,此時.∴,即恒成立,不存在滿足條件的;當時,令,可知與符號相同,當時,,,單調遞減.∴當時,,即恒成立.綜上,的取值范圍為.點睛:本題主要考查導數(shù)和單調區(qū)間,導數(shù)與不等式的證明,導數(shù)與恒成立問題的求解方法.第一問求函數(shù)
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