安徽省合肥市重點(diǎn)中學(xué)2023屆高三年級第一次模底考試數(shù)學(xué)試題試卷_第1頁
安徽省合肥市重點(diǎn)中學(xué)2023屆高三年級第一次模底考試數(shù)學(xué)試題試卷_第2頁
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文檔簡介

安徽省合肥市重點(diǎn)中學(xué)2023屆高三年級第一次模底考試數(shù)學(xué)試題試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知拋物線上一點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4,則點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)的距離為()A.2 B.3 C.4 D.52.已知雙曲線的一條漸近線經(jīng)過圓的圓心,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.23.已知函數(shù)(,)的一個(gè)零點(diǎn)是,函數(shù)圖象的一條對稱軸是直線,則當(dāng)取得最小值時(shí),函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是()A.() B.()C.() D.()4.已知的值域?yàn)?,?dāng)正數(shù)a,b滿足時(shí),則的最小值為()A. B.5 C. D.95.定義在上函數(shù)滿足,且對任意的不相等的實(shí)數(shù)有成立,若關(guān)于x的不等式在上恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A. B. C. D.6.已知整數(shù)滿足,記點(diǎn)的坐標(biāo)為,則點(diǎn)滿足的概率為()A. B. C. D.7.已知函數(shù),若函數(shù)的所有零點(diǎn)依次記為,且,則()A. B. C. D.8.兩圓和相外切,且,則的最大值為()A. B.9 C. D.19.已知函數(shù)的圖像的一條對稱軸為直線,且,則的最小值為()A. B.0 C. D.10.關(guān)于函數(shù),有下述三個(gè)結(jié)論:①函數(shù)的一個(gè)周期為;②函數(shù)在上單調(diào)遞增;③函數(shù)的值域?yàn)?其中所有正確結(jié)論的編號是()A.①② B.② C.②③ D.③11.若x∈(0,1),a=lnx,b=,c=elnx,則a,b,c的大小關(guān)系為()A.b>c>a B.c>b>a C.a(chǎn)>b>c D.b>a>c12.函數(shù)在的圖象大致為()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知不等式的解集不是空集,則實(shí)數(shù)的取值范圍是;若不等式對任意實(shí)數(shù)恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是___14.已知不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)?,則區(qū)域的外接圓的面積為______.15.若x5=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+…+a5(x-2)5,則a1=_____,a1+a2+…+a5=____16.已知函數(shù),則的值為____三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù),其中e為自然對數(shù)的底數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;(2)用表示中較大者,記函數(shù).若函數(shù)在上恰有2個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.18.(12分)在多面體中,四邊形是正方形,平面,,,為的中點(diǎn).(1)求證:;(2)求平面與平面所成角的正弦值.19.(12分)如圖,在斜三棱柱中,已知為正三角形,D,E分別是,的中點(diǎn),平面平面,.(1)求證:平面;(2)求證:平面.20.(12分)在中,a,b,c分別是角A,B,C的對邊,并且.(1)已知_______________,計(jì)算的面積;請①,②,③這三個(gè)條件中任選兩個(gè),將問題(1)補(bǔ)充完整,并作答.注意,只需選擇其中的一種情況作答即可,如果選擇多種情況作答,以第一種情況的解答計(jì)分.(2)求的最大值.21.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線為,是拋物線上上一點(diǎn),且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,.(1)求拋物線的方程;(2)過點(diǎn)的直線與拋物線交于、兩點(diǎn),過點(diǎn)且與直線垂直的直線與準(zhǔn)線交于點(diǎn),設(shè)的中點(diǎn)為,若、、四點(diǎn)共圓,求直線的方程.22.(10分)已知函數(shù)(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間(2)記函數(shù)的圖象為曲線,設(shè)點(diǎn)是曲線上不同兩點(diǎn),如果在曲線上存在點(diǎn),使得①;②曲線在點(diǎn)M處的切線平行于直線AB,則稱函數(shù)存在“中值和諧切線”,當(dāng)時(shí),函數(shù)是否存在“中值和諧切線”請說明理由

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】試題分析:拋物線焦點(diǎn)在軸上,開口向上,所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為,準(zhǔn)線方程為,因?yàn)辄c(diǎn)A的縱坐標(biāo)為4,所以點(diǎn)A到拋物線準(zhǔn)線的距離為,因?yàn)閽佄锞€上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離,所以點(diǎn)A與拋物線焦點(diǎn)的距離為5.考點(diǎn):本小題主要考查應(yīng)用拋物線定義和拋物線上點(diǎn)的性質(zhì)拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離,考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力.點(diǎn)評:拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離,這條性質(zhì)在解題時(shí)經(jīng)常用到,可以簡化運(yùn)算.2、B【解析】

求出圓心,代入漸近線方程,找到的關(guān)系,即可求解.【詳解】解:,一條漸近線,故選:B【點(diǎn)睛】利用的關(guān)系求雙曲線的離心率,是基礎(chǔ)題.3、B【解析】

根據(jù)函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)是,得出,再根據(jù)是對稱軸,得出,求出的最小值與對應(yīng)的,寫出即可求出其單調(diào)增區(qū)間.【詳解】依題意得,,即,解得或(其中,).①又,即(其中).②由①②得或,即或(其中,,),因此的最小值為.因?yàn)?,所以(?又,所以,所以,令(),則().因此,當(dāng)取得最小值時(shí),的單調(diào)遞增區(qū)間是().故選:B【點(diǎn)睛】此題考查三角函數(shù)的對稱軸和對稱點(diǎn),在對稱軸處取得最值,對稱點(diǎn)處函數(shù)值為零,屬于較易題目.4、A【解析】

利用的值域?yàn)?求出m,再變形,利用1的代換,即可求出的最小值.【詳解】解:∵的值域?yàn)?∴,∴,∴,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號,∴的最小值為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了對數(shù)復(fù)合函數(shù)的值域運(yùn)用,同時(shí)也考查了基本不等式中“1的運(yùn)用”,屬于中檔題.5、B【解析】

結(jié)合題意可知是偶函數(shù),且在單調(diào)遞減,化簡題目所給式子,建立不等式,結(jié)合導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的單調(diào)性關(guān)系,構(gòu)造新函數(shù),計(jì)算最值,即可.【詳解】結(jié)合題意可知為偶函數(shù),且在單調(diào)遞減,故可以轉(zhuǎn)換為對應(yīng)于恒成立,即即對恒成立即對恒成立令,則上遞增,在上遞減,所以令,在上遞減所以.故,故選B.【點(diǎn)睛】本道題考查了函數(shù)的基本性質(zhì)和導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)單調(diào)性關(guān)系,計(jì)算范圍,可以轉(zhuǎn)化為函數(shù),結(jié)合導(dǎo)函數(shù),計(jì)算最值,即可得出答案.6、D【解析】

列出所有圓內(nèi)的整數(shù)點(diǎn)共有37個(gè),滿足條件的有7個(gè),相除得到概率.【詳解】因?yàn)槭钦麛?shù),所以所有滿足條件的點(diǎn)是位于圓(含邊界)內(nèi)的整數(shù)點(diǎn),滿足條件的整數(shù)點(diǎn)有共37個(gè),滿足的整數(shù)點(diǎn)有7個(gè),則所求概率為.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了古典概率的計(jì)算,意在考查學(xué)生的應(yīng)用能力.7、C【解析】

令,求出在的對稱軸,由三角函數(shù)的對稱性可得,將式子相加并整理即可求得的值.【詳解】令,得,即對稱軸為.函數(shù)周期,令,可得.則函數(shù)在上有8條對稱軸.根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可知,將以上各式相加得:故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的對稱性,考查了三角函數(shù)的周期性,考查了等差數(shù)列求和.本題的難點(diǎn)是將所求的式子拆分為的形式.8、A【解析】

由兩圓相外切,得出,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì),即可得出答案.【詳解】因?yàn)閮蓤A和相外切所以,即當(dāng)時(shí),取最大值故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查了由圓與圓的位置關(guān)系求參數(shù),屬于中檔題.9、D【解析】

運(yùn)用輔助角公式,化簡函數(shù)的解析式,由對稱軸的方程,求得的值,得出函數(shù)的解析式,集合正弦函數(shù)的最值,即可求解,得到答案.【詳解】由題意,函數(shù)為輔助角,由于函數(shù)的對稱軸的方程為,且,即,解得,所以,又由,所以函數(shù)必須取得最大值和最小值,所以可設(shè),,所以,當(dāng)時(shí),的最小值,故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì),其中解答中利用三角恒等變換的公式,化簡函數(shù)的解析式,合理利用正弦函數(shù)的對稱性與最值是解答的關(guān)鍵,著重考查了分析問題和解答問題的能力,屬于中檔試題.10、C【解析】

①用周期函數(shù)的定義驗(yàn)證.②當(dāng)時(shí),,,再利用單調(diào)性判斷.③根據(jù)平移變換,函數(shù)的值域等價(jià)于函數(shù)的值域,而,當(dāng)時(shí),再求值域.【詳解】因?yàn)?,故①錯(cuò)誤;當(dāng)時(shí),,所以,所以在上單調(diào)遞增,故②正確;函數(shù)的值域等價(jià)于函數(shù)的值域,易知,故當(dāng)時(shí),,故③正確.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì),還考查推理論證能力以及分類討論思想,屬于中檔題.11、A【解析】

利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接求解.【詳解】∵x∈(0,1),∴a=lnx<0,b=()lnx>()0=1,0<c=elnx<e0=1,∴a,b,c的大小關(guān)系為b>c>a.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查三個(gè)數(shù)的大小的判斷,考查指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識,考查運(yùn)算求解能力,是基礎(chǔ)題.12、B【解析】

先考慮奇偶性,再考慮特殊值,用排除法即可得到正確答案.【詳解】是奇函數(shù),排除C,D;,排除A.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖象的判斷,屬于常考題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

利用絕對值的幾何意義,確定出的最小值,然后根據(jù)題意即可得到的取值范圍化簡不等式,求出的最大值,然后求出結(jié)果【詳解】的最小值為,則要使不等式的解集不是空集,則有化簡不等式有,即而當(dāng)時(shí)滿足題意,解得或所以答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查的是函數(shù)恒成立的問題和絕對值不等式,要注意到絕對值的幾何意義,數(shù)形結(jié)合來解答本題,注意去絕對值時(shí)的分類討論化簡14、【解析】

先作可行域,根據(jù)解三角形得外接圓半徑,最后根據(jù)圓面積公式得結(jié)果.【詳解】由題意作出區(qū)域,如圖中陰影部分所示,易知,故,又,設(shè)的外接圓的半徑為,則由正弦定理得,即,故所求外接圓的面積為.【點(diǎn)睛】線性規(guī)劃問題,首先明確可行域?qū)?yīng)的是封閉區(qū)域還是開放區(qū)域、分界線是實(shí)線還是虛線,其次確定目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,是求直線的截距、兩點(diǎn)間距離的平方、直線的斜率、還是點(diǎn)到直線的距離、可行域面積、可行域外接圓等等,最后結(jié)合圖形確定目標(biāo)函數(shù)最值取法、值域范圍.15、80211【解析】

由,利用二項(xiàng)式定理即可得,分別令、后,作差即可得.【詳解】由題意,則,令,得,令,得,故.故答案為:80,211.【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,屬于中檔題.16、4【解析】

根據(jù)的正負(fù)值,代入對應(yīng)的函數(shù)解析式求解即可.【詳解】解:.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)函數(shù)值的求解,是基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和,單調(diào)遞減區(qū)間為;(2).【解析】

(1)由題可得,結(jié)合的范圍判斷的正負(fù),即可求解;(2)結(jié)合導(dǎo)數(shù)及函數(shù)的零點(diǎn)的判定定理,分類討論進(jìn)行求解【詳解】(1),①當(dāng)時(shí),,∴函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增;②當(dāng)時(shí),令,解得或,當(dāng)或時(shí),,則單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),,則單調(diào)遞減,∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和,單調(diào)遞減區(qū)間為(2)(Ⅰ)當(dāng)時(shí),所以在上無零點(diǎn);(Ⅱ)當(dāng)時(shí),,①若,即,則是的一個(gè)零點(diǎn);②若,即,則不是的零點(diǎn)(Ⅲ)當(dāng)時(shí),,所以此時(shí)只需考慮函數(shù)在上零點(diǎn)的情況,因?yàn)?所以①當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增。又,所以(?。┊?dāng)時(shí),在上無零點(diǎn);(ⅱ)當(dāng)時(shí),,又,所以此時(shí)在上恰有一個(gè)零點(diǎn);②當(dāng)時(shí),令,得,由,得;由,得,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,因?yàn)?,所以此時(shí)在上恰有一個(gè)零點(diǎn),綜上,【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間,考查利用導(dǎo)數(shù)處理零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題,考查運(yùn)算能力,考查分類討論思想18、(1)證明見解析(2)【解析】

(1)首先證明,,,∴平面.即可得到平面,.(2)以為坐標(biāo)原點(diǎn),,,所在的直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系,分別求出平面和平面的法向量,帶入公式求解即可.【詳解】(1)∵平面,平面,∴.又∵四邊形是正方形,∴.∵,∴平面.∵平面,∴.又∵,為的中點(diǎn),∴.∵,∴平面.∵平面,∴.(2)∵平面,,∴平面.以為坐標(biāo)原點(diǎn),,,所在的直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系.如圖所示:則,,,.∴,,.設(shè)為平面的法向量,則,得,令,則.由題意知為平面的一個(gè)法向量,∴,∴平面與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題第一問考查線線垂直,先證線面垂直時(shí)解題關(guān)鍵,第二問考查二面角,建立空間直角坐標(biāo)系是解題關(guān)鍵,屬于中檔題.19、(1)見解析;(2)見解析【解析】

(1)根據(jù),分別是,的中點(diǎn),即可證明,從而可證平面;(2)先根據(jù)為正三角形,且D是的中點(diǎn),證出,再根據(jù)平面平面,得到平面,從而得到,結(jié)合,即可得證.【詳解】(1)∵,分別是,的中點(diǎn)∴∵平面,平面∴平面.(2)∵為正三角形,且D是的中點(diǎn)∴∵平面平面,且平面平面,平面∴平面∵平面∴∵且∴∵,平面,且∴平面.【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面平行的判定,面面垂直的性質(zhì)等,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意空間思維能力的培養(yǎng),中檔題.20、(1)見解析(2)1【解析】

(1)選②,③.可得,結(jié)合,求得.即可;若選①,②.由可得由,求得.即可;若選①,③,可得,又,可得,即可;(2)化簡,根據(jù)角的范圍求最值即可.【詳解】(1)若選②,③.,,,,又,.的面積.若選①,②.由可得,,,又,.的面積.若選①,③,,又,,可得,的面積.(2),當(dāng)時(shí),有最大值1.【點(diǎn)睛】本題考查了正余弦定理,三角三角恒等變形,考查了計(jì)算能力,屬于中檔題.21、(1)(2)【解析】

(1)由拋物線的定義可得,即可求出,從而得到拋物線方程;(2)設(shè)直線的方程為,代入,得.設(shè),,列出韋達(dá)定理,表示出中點(diǎn)的坐標(biāo),若、、、四點(diǎn)共圓,再結(jié)合,得,則即可求出參數(shù),從而得解;【詳解】解:(1)由拋物線定義,得,解得,所以拋物線的方程為.(2)設(shè)直線的方程為,代入,得.設(shè),,則,.由,,得,所以.因?yàn)橹本€的斜率為,所以直線的斜率為,則直線的方程為.由解得.若、、、四點(diǎn)共圓,再結(jié)合,得,則,解得,所以直線的方程為.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的定義及性質(zhì)的應(yīng)用,直線與拋物線綜合問題,屬于中檔題.22、(1)見解析(2)不存在,見解析【解析】

(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過討論的

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