信號與系統(tǒng) 課件 付華 第五章 非周期信號的頻率分析

信號與系統(tǒng)SignalsandSystems信號的頻域分析

連續(xù)周期信號的頻域分析

連續(xù)非周期信號的頻譜

常見連續(xù)時間信號的頻譜連續(xù)時間Fourier變換的性質

連續(xù)非周期信號的頻譜

從傅里葉級數(shù)到傅里葉變換頻譜函數(shù)與頻譜密度函數(shù)的區(qū)別傅里葉反變換非周期矩形脈沖信號的頻譜分析一、從傅里葉級數(shù)到傅里葉變換

討論周期T增加對離散譜的影響：周期為T寬度為t的周期矩形脈沖的Fourier系數(shù)為一、從傅里葉級數(shù)到傅里葉變換物理意義:F(jw)是單位頻率所具有的信號頻譜，稱之為非周期信號的頻譜密度函數(shù)，簡稱頻譜函數(shù)。二、頻譜函數(shù)與頻譜密度函數(shù)的區(qū)別（1）周期信號的頻譜為離散頻譜，

非周期信號的頻譜為連續(xù)頻譜。（2）周期信號的頻譜為Cn的分布，表示每個諧波分量的復振幅；非周期信號的頻譜為TCn的分布，表示每單位帶寬內所有諧波分量合成的復振幅，即頻譜密度函數(shù)。

兩者關系：三、傅里葉反變換物理意義：非周期信號可以分解為無數(shù)個頻率為

，復振幅為[F(j

)/2p]d

的虛指數(shù)信號ejw

t的線性組合。T

,記nw0=w,w0=2p/T=dw,傅立葉正變換：傅立葉反變換：符號表示：狄里赫萊條件狄里赫萊條件是充分條件，但不是必要條件（1）非周期信號在無限區(qū)間上絕對可積（2）在任意有限區(qū)間內，信號只有有限個最大值和最小值。（3）在任意有限區(qū)間內，信號僅有有限個不連續(xù)點，且這些點必須是有限值。例試求圖示非周期矩形脈沖信號的頻譜函數(shù)。解：

非周期矩形脈沖信號f(t)的時域表示式為由傅里葉正變換定義式，可得分析：2.

周期信號的離散頻譜可以通過對非周期信號的連續(xù)頻譜等間隔取樣求得3.

信號在時域有限，則在頻域將無限延續(xù)。4.

信號的頻譜分量主要集中在零頻到第一個過零點之間，工程中往往將此寬度作為有效帶寬。5.

脈沖寬度

越窄，有效帶寬越寬，高頻分量越多。即信號信息量大、傳輸速度快，傳送信號所占用的頻帶越寬。1.

非周期矩形脈沖信號的頻譜是連續(xù)頻譜，其形狀與周期矩形脈沖信號離散頻譜的包絡線相似。

常見連續(xù)時間信號的頻譜常見非周期信號的頻譜(頻譜密度)

單邊指數(shù)信號雙邊指數(shù)信號e-a|t|

單位沖激信號d(t)

直流信號符號函數(shù)信號單位階躍信號u(t)常見周期信號的頻譜密度

虛指數(shù)信號正弦型信號單位沖激串一、常見非周期信號的頻譜1.

單邊指數(shù)信號

幅度頻譜

相位頻譜一、常見非周期信號的頻譜1.

單邊指數(shù)信號單邊指數(shù)信號及其幅度頻譜與相位頻譜一、常見非周期信號的頻譜2.

雙邊指數(shù)信號e-a|t|幅度頻譜

相位頻譜一、常見非周期信號的頻譜3.

單位沖激信號d(t)單位沖激信號及其頻譜一、常見非周期信號的頻譜4.

直流信號f(t)=1,-<t<

直流信號不滿足絕對可積條件，可采用極限的方法求出其傅里葉變換。

一、常見非周期信號的頻譜4.

直流信號

對照沖激、直流時頻曲線可看出:時域持續(xù)越寬的信號，其頻域的頻譜越窄；時域持續(xù)越窄的信號，其頻域的頻譜越寬。直流信號及其頻譜一、常見非周期信號的頻譜5.

符號函數(shù)信號

符號函數(shù)定義為一、常見非周期信號的頻譜5.

符號函數(shù)信號符號函數(shù)的幅度頻譜和相位頻譜一、常見非周期信號的頻譜6.

單位階躍信號u(t)階躍信號及其頻譜二、常見周期信號的頻譜密度1.

虛指數(shù)信號同理:虛指數(shù)信號頻譜密度二、常見周期信號的頻譜密度2.

正弦型信號余弦信號及其頻譜函數(shù)二、常見周期信號的頻譜密度2.

正弦型信號正弦信號及其頻譜函數(shù)二、常見周期信號的頻譜密度3.

一般周期信號兩邊同取傅里葉變換

二、常見周期信號的頻譜密度4.

單位沖激串

因為

T(t)為周期信號，先將其展開為指數(shù)形式傅里葉級數(shù)：二、常見周期信號的頻譜密度4.

單位沖激串單位沖激串及其頻譜函數(shù)信號與系統(tǒng)SignalsandSystems信號的頻域分析

連續(xù)周期信號的頻域分析連續(xù)非周期信號的頻譜常見連續(xù)時間信號的頻譜

連續(xù)時間Fourier變換的性質

傅立葉變換的基本性質1.

線性特性 2.

共軛對稱特性3.

對稱互易特性 4.

展縮特性 5.

時移特性6.

頻移特性7.

時域卷積特性 8.

頻域卷積特性9.

時域微分特性10.

積分特性 11.

頻域微分特性12.

能量定理1.線性特性其中a和b均為常數(shù)。2.共軛對稱特性當f(t)為實函數(shù)時，有|F(jw)|=|F(-jw)|，

(w)=-

(-w)

F(jw)為復數(shù)，可以表示為2.共軛對稱特性當f(t)為實偶函數(shù)時，有F(jw)=F*(jw)，

F(jw)是w的實偶函數(shù)

當f(t)為實奇函數(shù)時，有F(jw)=-

F*(jw)，F(xiàn)(jw)是w的虛奇函數(shù)

3.時移特性式中t0為任意實數(shù)

證明：令x=t-t0，則dx=dt，代入上式可得

信號在時域中的時移，對應頻譜函數(shù)在頻域中產生的附加相移，而幅度頻譜保持不變。例1

試求圖示延時矩形脈沖信號f1(t)的頻譜函數(shù)F1(jw)。解：

無延時且寬度為

的矩形脈沖信號f(t)

如圖，因為，故由延時特性可得其對應的頻譜函數(shù)為4.展縮特性證明:令x=at，則dx

=adt

，代入上式可得時域壓縮，則頻域展寬；展寬時域，則頻域壓縮。4.展縮特性

尺度變換后語音信號的變化f(t)f(1.5t)f(0.5t)00.050.10.150.20.250.30.350.4-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5一段語音信號(“對了”)。抽樣頻率=22050Hzf(t)f(t/2)f(2t)5.互易對稱特性6.頻移特性（調制定理）若則式中w0為任意實數(shù)證明：由傅里葉變換定義有6.頻移特性（調制定理）

信號f(t)與余弦信號cosw0

t相乘后，其頻譜是將原來信號頻譜向左右搬移w0，幅度減半。同理例2

試求矩形脈沖信號f(t)與余弦信號cosw0

t相乘后信號的頻譜函數(shù)。

應用頻移特性可得解:

已知寬度為

的矩形脈沖信號對應的頻譜函數(shù)為例2

試求矩形脈沖信號f(t)與余弦信號cosw0

t相乘后信號的頻譜函數(shù)。

解:7.時域積分特性例3

試利用積分特性求圖示信號f(t)的頻譜函數(shù)。解：

利用時域積分特性，可得由于例4

試利用積分特性求圖示信號f(t)的頻譜函數(shù)。解：

將f(t)表示為f1(t)+f2(t)即8.時域微分特性若則例5

試利用微分特性求矩形脈沖信號的頻譜函數(shù)。解：

由上式利用時域微分特性，得因此有例6

試利用微分特性求圖示信號f(t)的頻譜函數(shù)。解：

利用時域微分特性，可得？信號的時域微分，使信號中的直流分量丟失。8.時域微分特性—修正的時域微分特性記

f'(t)=f1(t)則

例7

試利用修正的微分特性求圖示信號f(t)的頻譜函數(shù)。解：

利用修正的微分特性，可得與例4結果一致！9.頻域微分特性若將上式兩邊同乘以j得證明：例8

試求單位斜坡信號tu(t)的頻譜。解：

已知單位階躍信號傅里葉變換為:故利用頻域微分特性可得:10.時域卷積特性證明：例9

求如圖所示信號的頻譜。解：例10

計算其頻譜Y(jw)。解：利用Fourier變換的卷積特性可得11.頻域卷積特性（調制特性）證明：12.非周期信號的能量譜密度12.非周期信號的能量譜密度

上式表明信號的能量也可以由|F(jw)|2在整個頻率范圍的積分乘以1/2

來計算。物理意義：非周期能量信號的歸一化能量在時域中與在頻域中相等，保持能量守恒。

帕什瓦爾能量守恒定理：12.非周期信號的能量譜密度

帕什瓦爾能量守恒定理：

定義單位角頻率的信號能量為能量頻譜密度函數(shù)，簡稱能量頻。例11

計算。解：由

根據(jù)Parseval能量守恒定律，可得傅里葉變換性質一覽表1.線性特性

2.對稱互易特性3.展縮特性

4.時移特性 5.頻移