東北師大附中凈月實驗學校2024屆高二上數(shù)學期末教學質量檢測模擬試題含解析

東北師大附中凈月實驗學校2024屆高二上數(shù)學期末教學質量檢測模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是古老的傳統(tǒng)民間藝術之一.如圖是一個窗花的圖案，以正六邊形各頂點為圓心、邊長為半徑作圓，陰影部分為其公共部分.現(xiàn)從該正六邊形中任取一點，則此點取自于陰影部分的概率為（）A. B.C. D.2．我國古代的數(shù)學名著《九章算術》中有“衰分問題”：今有女子善織，日自倍，五日織五尺，問次日織幾問?其意為：一女子每天織布的尺數(shù)是前一天的2倍，5天共織布5尺，請問第二天織布的尺數(shù)是（）A. B.C. D.3．若構成空間向量的一組基底，則下列向量不共面的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，4．從1，2，3，4，5中任取2個不同的數(shù)，兩數(shù)和為偶數(shù)的概率為（）A. B.C. D.5．已知函數(shù)的導函數(shù)為，若的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象可能是（）A. B.C. D.6．在等差數(shù)列中，，則等于A.2 B.18C.4 D.97．已知等比數(shù)列{an}中，，，則（）A. B.1C. D.48．已知雙曲線：，直線經(jīng)過點，若直線與雙曲線的右支只有一個交點，則直線的斜率的取值范圍是（）A. B.C. D.9．已知雙曲線，過左焦點且與軸垂直的直線與雙曲線交于、兩點，若弦的長恰等于實鈾的長，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.10．若復數(shù)，則（）A B.C. D.11．已知等比數(shù)列的前n項和為，，，則（）A. B.C. D.12．已知函數(shù)，，當時，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．雙曲線的右焦點到C的漸近線的距離為，則C漸近線方程為______14．如圖①，用一個平面去截圓錐，得到的截口曲線是橢圓.許多人從純幾何的角度出發(fā)對這個問題進行過研究，其中比利時數(shù)學家（1794-1847）的方法非常巧妙，極具創(chuàng)造性.在圓錐內放兩個大小不同的球，使得它們分別與圓錐的側面，截面相切，兩個球分別與截面相切于，在截口曲線上任取一點，過作圓錐的母線，分別與兩個球相切于，由球和圓的幾何性質，可以知道，，于是.由的產(chǎn)生方法可知，它們之間的距離是定值，由橢圓定義可知，截口曲線是以為焦點的橢圓.如圖②，一個半徑為2的球放在桌面上，桌面上方有一個點光源，則球在桌面上的投影是橢圓.已知是橢圓的長軸，垂直于桌面且與球相切，，則橢圓的離心率為___________.15．已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，，對，成立，則的解集為_________16．已知平面的法向量為，平面的法向量為，若，則___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知在時有極值0.（1）求常數(shù)，的值；（2）求在區(qū)間上的最值.18．（12分）求滿足下列條件的雙曲線的標準方程（1）焦點在x軸上，實軸長為4，實半軸長是虛半軸長的2倍；（2）焦點在y軸上，漸近線方程為，焦距長為19．（12分）已知為各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令，求數(shù)列前n項和.20．（12分）已知數(shù)列的前項和為，已知，且當，時，（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設，求數(shù)列的前項和21．（12分）已知橢圓C：的上頂點與橢圓的左右頂點連線的斜率之積為-.（1）求橢圓C的離心率（2）點M（，）在橢圓C上，橢圓的左頂點為D，上頂點為B，點A的坐標為（1，0），過點D的直線L與橢圓在第一象限交于點P，與直線AB交于點Q設L的斜率為k，若，求k的值.22．（10分）某餐館將推出一種新品特色菜，為更精準確定最終售價，這種菜按以下單價各試吃1天，得到如下數(shù)據(jù)：（1）求銷量關于的線性回歸方程；（2）預計今后的銷售中，銷量與單價服從（1）中的線性回歸方程，已知每份特色菜的成本是15元，為了獲得最大利潤，該特色菜的單價應定為多少元？（附：，）

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】求得陰影部分的面積，結合幾何概型概率計算公式，計算出所求的概率.【詳解】設正六邊形的邊長為，則其面積為.陰影部分面積為，故所求概率為.故選：D2、C【解析】根據(jù)等比數(shù)列求和公式求出首項即可得解.【詳解】由題可得該女子每天織布的尺數(shù)成等比數(shù)列，設其首項為，公比為，則，解得所以第二天織布的尺數(shù)為.故選：C3、C【解析】根據(jù)空間向量共面的條件即可解答.【詳解】對于A，由，所以，，共面；對于B，由，所以，，共面；對于D，，所以，，共面，故選：C.4、B【解析】利用列舉法，結合古典概型概率計算公式，計算出所求概率.【詳解】從中任取個不同的數(shù)的方法有，共種，其中和為偶數(shù)的有共種，所以所求的概率為.故選：B【點睛】本小題主要考查古典概型概率計算，屬于基礎題.5、D【解析】根據(jù)導函數(shù)大于，原函數(shù)單調遞增；導函數(shù)小于，原函數(shù)單調遞減；即可得出正確答案.【詳解】由導函數(shù)得圖象可得：時，，所以單調遞減，排除選項A、B，當時，先正后負，所以在先增后減，因選項C是先減后增再減，故排除選項C，故選：D.6、D【解析】利用等差數(shù)列性質得到，，計算得到答案.詳解】等差數(shù)列中，故選D【點睛】本題考查了等差數(shù)列的計算，利用性質可以簡化運算，是解題的關鍵.7、D【解析】設公比為，然后由已知條件結合等比數(shù)列的通項公式列方程求出，從而可求出，【詳解】設公比為，因為等比數(shù)列{an}中，，，所以，所以，解得，所以，得故選：D8、D【解析】以雙曲線的兩條漸近線作為邊界條件，即可保證直線與雙曲線的右支只有一個交點.【詳解】雙曲線：的兩條漸近線為和兩漸近線的傾斜角分別為和由經(jīng)過點的直線與雙曲線的右支只有一個交點，可知直線的傾斜角取值范圍為，故直線的斜率的取值范圍是故選：D9、B【解析】求出，進而求出，之間的關系，即可求解結論【詳解】解：由題意，直線方程為：，其中，因此，設，，，，解得，得，，弦的長恰等于實軸的長，，，故選：B10、A【解析】根據(jù)復數(shù)的乘法運算即可求解.【詳解】由，故選：A11、A【解析】由，可得等比數(shù)列公比q=2，利用等比數(shù)列求和公式和通項公式即可求.【詳解】設等比數(shù)列的公比為q，則，.故選：A.12、C【解析】由題意得出，構造函數(shù)，可知函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，可得出對任意的恒成立，利用參變量分離法可得出，利用導數(shù)求得函數(shù)在區(qū)間上的最大值，由此可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】函數(shù)的定義域為，當時，恒成立，即，構造函數(shù)，則，所以，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，則對任意的恒成立，，令，其中，則.，所以函數(shù)在上單調遞減；又，所以.因此，實數(shù)的取值范圍是.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)給定條件求出雙曲線漸近線，再用點到直線的距離公式計算作答【詳解】雙曲線的漸近線為：，即，依題意，，即，解得，所以C漸近線方程為.故答案為：14、##0.5【解析】利用球與圓錐相切，得出截面，在平面圖形中求解，以及圓錐曲線的來源來理解切點為橢圓的一個焦點，求出，得出離心率.【詳解】設球切于，切于E，，球半徑為2，所以，，∴，又中，，，故橢圓長軸長為,,根據(jù)橢圓在圓錐中截面與二球相切的切點為橢圓的焦點知：球O與相切的切點為橢圓的一個焦點，且，，橢圓的離心率為.故答案：.15、【解析】根據(jù)題意可以設，求其導數(shù)可知在上的單調性，由是上的奇函數(shù)，可知的奇偶性，進而可知在上的單調性，由可知的零點，最后分類討論即可.【詳解】設，則對，，則在上為單調遞增函數(shù)，∵函數(shù)是上的奇函數(shù)，∴，∴，∴偶函數(shù)，∴在上為單調遞減函數(shù)，又∵，∴，由已知得，所以當時，；當時，；當時，；當時，；若，則；若，則或，解得或或；則的解集為.故答案為：.16、2【解析】由，可兩平面的法向量也平行，從而可求出，進而可求得答案【詳解】因為平面的法向量為，平面的法向量為，，所以∥，所以存實數(shù)使，所以，所以，解得，所以，故答案為：2三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2）最小值為0，最大值為4.【解析】（1）對求導，根據(jù)在時有極值0，得到，再求出，的值；（2）由（1）知，，然后判斷的單調性，再求出的值域【詳解】解：（1），由題知：聯(lián)立（1）、（2）有(舍)或.當時在定義域上單調遞增，故舍去；所以，，經(jīng)檢驗，符合題意（2）當，時，故方程有根或由，得或由得，函數(shù)的單調增區(qū)間為：，，減區(qū)間為：.函數(shù)在取得極大值，在取極小值；經(jīng)計算，，，，所以最小值為0，最大值為4.18、（1）（2）【解析】（1）（2）直接由條件解出即可得到雙曲線方程.【小問1詳解】由題意有，解得：，則雙曲線的標準方程為：【小問2詳解】由題意有，解得：，則雙曲線的標準方程為：19、（1）；（2）.【解析】（1）先通過等比數(shù)列的基本量運算求出公比，進而求出通項公式；（2）結合（1）求出，然后根據(jù)錯位相減法求得答案.【小問1詳解】設等比數(shù)列公比為q,,,，（負值舍去），所以.【小問2詳解】，，所以，解得：.20、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）消去，只保留數(shù)列的遞推關系，根據(jù)題干提示來證明，注意證明首項不是零；（2）利用裂項求和來解決.【小問1詳解】證明：由題意，當時，即，，整理，得，，，，數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列【小問2詳解】解：由（1）知，，則，，，，，各項相加，可得，當n=1成立，故21、（1）（2）1【解析】（1）根據(jù)橢圓的上頂點與橢圓的左右頂點連線的斜率之積為-，由求解；（2）根據(jù)點M（，）在橢圓C上，頂點，再由，求得橢圓方程，由，結合，得到，設直線方程為，與橢圓方程聯(lián)立，求得點P的坐標，再由，求得Q的坐標，代入求解.【小問1詳解】解：設橢圓C：的上頂點為，左頂點為，右頂點為，因為橢圓的上頂點與橢圓的左右頂點連線的斜率之積為-,所以，即，又所以，解得；【小問2詳解】因為點M（，）在橢圓C上，所以，又，解得，所以橢圓方程為，，則，因為，所以，又，所以，則，設，則，當時，則，不合題意；當時，設直線方程為，與