第五章 數(shù)列 分層作業(yè)人教B版（2023）高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)（課件版+文檔版）（20份打包）

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第五章

5.2.1等差數(shù)列

A級(jí)必備知識(shí)基礎(chǔ)練

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1.[探究點(diǎn)二]已知等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=90-2n,則這個(gè)數(shù)列中正數(shù)項(xiàng)的個(gè)數(shù)為()

A.44B.45C.90D.無(wú)數(shù)

A

解析令an=90-2n>0,解得n0,∴an+an-1≠0,

∴an-an-1-2=0,即an-an-1=2(n≥2),

∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列.

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B級(jí)關(guān)鍵能力提升練

9.在數(shù)列{an}中,a1=5,a2=9.若數(shù)列{an+n2}是等差數(shù)列,則數(shù)列{an}的最大項(xiàng)為()

B

解析令bn=an+n2.

∵a1=5,a2=9,∴b1=a1+1=6,b2=a2+4=13,

∴數(shù)列{an+n2}的公差為13-6=7,

則an+n2=6+7(n-1)=7n-1,

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又n∈N+,

故選B.

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10.(多選題)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,則下列能判斷數(shù)列{an}是等差數(shù)列的是()

A.Sn=n

B.Sn=n2+n

C.Sn=2n

D.Sn=n2+n+1

AB

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解析對(duì)于A,當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=n-(n-1)=1,而a1=S1=1滿足上式,

則an=1(n∈N+),數(shù)列{an}是常數(shù)數(shù)列,是等差數(shù)列;

對(duì)于B,當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n,而a1=S1=2滿足上式,

則an=2n(n∈N+),數(shù)列{an}是等差數(shù)列;

對(duì)于C,當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=2n-2n-1=2n-1,而a1=S1=2不滿足上式,

對(duì)于D,當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=n2+n+1-(n-1)2-(n-1)-1=2n,而a1=S1=3不滿足上式,

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11.在等差數(shù)列{an}中,首項(xiàng)為33,公差為整數(shù),若前7項(xiàng)均為正數(shù),第7項(xiàng)以后各項(xiàng)均為負(fù)數(shù),則數(shù)列的通項(xiàng)公式為.

an=38-5n

解析設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.

又d∈Z,∴d=-5,

∴an=33+(n-1)×(-5)=38-5n.

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12.[2023山東煙臺(tái)高二專題練習(xí)]已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,數(shù)列{bn}滿足bn=an-2n,b3=-1,b5=-21,則{an}的公差d為.

2

解析由bn=an-2n得an=bn+2n,則a3=b3+8=-1+8=7,a5=b5+32=-21+32=11,則

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13.同時(shí)滿足下面兩個(gè)性質(zhì)的數(shù)列{an}的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=.

①是遞增的等差數(shù)列;②a2-a3+a4=1.

n-2

解析設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,由①可知d>0.

由a2-a3+a4=1,得a3=a1+2d=1.

取d=1,則a1=-1,所以數(shù)列{an}的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=-1+(n-1)=n-2.

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14.四個(gè)數(shù)成遞增的等差數(shù)列,中間兩數(shù)的和為2,首末兩項(xiàng)的積為-8,求這四個(gè)數(shù).

解設(shè)這四個(gè)數(shù)為a-3d,a-d,a+d,a+3d(公差為2d),依題意,2a=2,

且(a-3d)(a+3d)=-8,

即a=1,a2-9d2=-8,∴d2=1,∴d=1或d=-1.

又四個(gè)數(shù)成遞增的等差數(shù)列,

∴d>0,∴d=1,故所求的四個(gè)數(shù)為-2,0,2,4.

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(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

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16.已知數(shù)列{an}滿足a1=2,an=2an-1+2n+1(n≥2,n∈N+).設(shè)求證:數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,并分別求an和bn.

∴數(shù)列{bn}是以1為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列,

∴bn=1+(n-1)×2=2n-1,∴an=(2n-1)·2n.

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17.已知等差數(shù)列{an}:3,7,11,15,….

(1)求{an}的通項(xiàng)公式.

(2)135,4m+19(m∈N+)是數(shù)列{an}中的項(xiàng)嗎如果是,是第幾項(xiàng)

(3)若as,at(s,t∈N+)是數(shù)列{an}中的項(xiàng),那么2as+3at是數(shù)列{an}中的項(xiàng)嗎如果是,是第幾項(xiàng)

C級(jí)學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練

解(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d.依題意,有a1=3,d=7-3=4,∴an=3+4(n-1)=4n-1.

(2)由(1)可知,{an}的通項(xiàng)公式為an=4n-1.

令4n-1=135,得n=34,∴135是數(shù)列{an}的第34項(xiàng).

∵4m+19=4(m+5)-1,且m∈N+,

∴4m+19(m∈N+)是數(shù)列{an}的第(m+5)項(xiàng).

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(3)由(1)可知,{an}的通項(xiàng)公式為an=4n-1.

∵as,at是數(shù)列{an}中的項(xiàng),∴as=4s-1,at=4t-1,

∴2as+3at=2(4s-1)+3(4t-1)=4(2s+3t-1)-1.

∵s,t∈N+,∴2s+3t-1∈N+,∴2as+3at(s,t∈N+)是數(shù)列{an}的第(2s+3t-1)項(xiàng).第五章5.5數(shù)學(xué)歸納法

A級(jí)必備知識(shí)基礎(chǔ)練

1.[探究點(diǎn)二·2023北京高二階段練習(xí)]用數(shù)學(xué)歸納法證明1++…+1)時(shí),第一步應(yīng)驗(yàn)證不等式()

A.1+3n2+3n+1這一不等式時(shí),應(yīng)注意n必須為()

A.n∈N+B.n∈N+,n≥2

C.n∈N+,n≥3D.n∈N+,n≥4

3.[探究點(diǎn)二]用數(shù)學(xué)歸納法證明+…+時(shí),從n=k到n=k+1,不等式左邊需添加的項(xiàng)是()

A.

B.

C.

D.

4.[探究點(diǎn)二]用數(shù)學(xué)歸納法證明“2n+1≥n2+n+2(n∈N+)”時(shí),第一步的驗(yàn)證為.

5.[探究點(diǎn)一]用數(shù)學(xué)歸納法證明:1+5+9+13+…+(4n-3)=2n2-n(n∈N+).

6.[探究點(diǎn)三]數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足an=Sn+-2(n∈N+).

(1)求S1,S2,S3,S4的值;

(2)猜想數(shù)列{Sn}的通項(xiàng)公式,并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論.

B級(jí)關(guān)鍵能力提升練

7.利用數(shù)學(xué)歸納法證明+…+3n2+3n+1這一不等式時(shí),應(yīng)注意n必須為n∈N+,n≥4.故選D.

3.B當(dāng)n=k時(shí),左邊為+…+,

當(dāng)n=k+1時(shí),左邊為+…+,

所以左邊需添加的項(xiàng)是.故選B.

4.當(dāng)n=1時(shí),左邊=4,右邊=4,不等式成立

5.證明(1)當(dāng)n=1時(shí),左邊=1,右邊=1,等式成立.

(2)假設(shè)n=k(k∈N+)時(shí),等式成立,即1+5+9+13+…+(4k-3)=2k2-k.則當(dāng)n=k+1時(shí),1+5+9+13+…+(4k-3)+(4k+1)=2k2-k+(4k+1)=2k2+3k+1=2(k+1)2-(k+1).

所以當(dāng)n=k+1時(shí),等式成立.

綜合(1)(2)可知,等式對(duì)任意n∈N+恒成立.

6.解(1)當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=S1+-2,∴S1=.

又a2=S2-S1=S2+-2,

∴S2=,

同理S3=,S4=.

(2)猜想Sn=(n∈N+).

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)結(jié)論.

①當(dāng)n=1時(shí),結(jié)論成立.

②假設(shè)n=k(k∈N+)時(shí)結(jié)論成立,即Sk=,

當(dāng)n=k+1時(shí),ak+1=Sk+1-Sk=Sk+1+-2,

∴=2-Sk=2-.

∴Sk+1=,

即當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論成立.

由①②,知Sn=對(duì)任意的正整數(shù)n都成立.

7.C當(dāng)n=k時(shí),左端為+…+;當(dāng)n=k+1時(shí),左端為+…+,對(duì)比兩式,可得結(jié)論.

8.C∵P(n)對(duì)n=6不成立,無(wú)法判斷當(dāng)n>6時(shí),P(n)是否成立,故A錯(cuò)誤;假設(shè)P(n)對(duì)n=5成立,則根據(jù)推理關(guān)系,得P(n)對(duì)n=6成立,與條件P(n)對(duì)n=6不成立矛盾,∴假設(shè)不成立,故B錯(cuò)誤;同理可得,當(dāng)n2,k為偶數(shù))時(shí)命題為真,因?yàn)閚只能取偶數(shù),所以還需要證明n=k+2成立.

故選B.

10.BC數(shù)學(xué)歸納法是證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的一種方法,由此可知BC能用數(shù)學(xué)歸納法證明.

故選BC.

11.f(1)=1+;

當(dāng)n=k時(shí),f(k)=1++…+,

當(dāng)n=k+1時(shí),f(k+1)=1++…+,

所以f(k+1)=f(k)+.

12.k+1當(dāng)n=k+1時(shí),第k+1條直線被前k條直線分成(k+1)段,而每一段將它們所在區(qū)域一分為二,故增加了k+1個(gè)區(qū)域.

13.+…+因?yàn)閒(n)=1++…+,所以f(2k+1)=1++…++…+,

f(2k)=1++…+,

所以f(2k+1)-f(2k)=+…++…+.

14.(1)解∵a1=,前n項(xiàng)和Sn=(2n2-n)an,

∴令n=2,得a1+a2=6a2,∴a2=.

令n=3,得a1+a2+a3=15a3,∴a3=.

令n=4,得a1+a2+a3+a4=28a4,∴a4=.

猜想an=.

(2)證明證明如下:

①當(dāng)n=1時(shí),結(jié)論成立;

②假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N+)時(shí),結(jié)論成立,

即ak=,

則當(dāng)n=k+1時(shí),Sk+1=Sk+ak+1=(2k2-k)ak+ak+1=+ak+1=[2(k+1)2-(k+1)]·ak+1,

∴k(2k+3)·ak+1=,∴ak+1=,

∴當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論成立.

由①②可知,對(duì)一切n∈N+都有an=成立.

15.CD取n=1,則不成立;

取n=2,則不成立;

取n=3,則成立;

取n=4,則成立;

下面證明:當(dāng)n≥3時(shí),成立.

當(dāng)n=3,則成立;

假設(shè)當(dāng)n=k(k≥3)時(shí),有成立,

則當(dāng)n=k+1時(shí),有,

令t=,則=3-,

因?yàn)閠>,

故>3-,

因?yàn)?gt;0,

所以,

所以當(dāng)n=k+1時(shí),不等式也成立,

由數(shù)學(xué)歸納法可知,對(duì)任意的n≥3都成立.故k≥3.

故選CD.

16.證明(1)當(dāng)n=1時(shí),F1=1-1=1,命題成立;

當(dāng)n=2時(shí),F2=2-2=1,命題成立.

(2)假設(shè)當(dāng)2≤n≤k(k∈N+,k≥2)時(shí)命題成立,則Fk=k-k,

Fk-1=k-1-k-1,

那么當(dāng)n=k+1時(shí),Fk+1=Fk+Fk-1=k-k+k-1-k-1=k-1+1-k-1·+1=k-1·-k-1·=k-12-k-1·2=k+1-k+1,所以當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立.

由(1)(2)可知,Fn=n-n對(duì)任意n∈N+都成立.(共32張PPT)

第五章

培優(yōu)課等比數(shù)列習(xí)題課

A級(jí)必備知識(shí)基礎(chǔ)練

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1.[探究點(diǎn)一]在等比數(shù)列{an}中,a1+a3=10,a4+a6=,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為()

A.an=24-nB.an=2n-4C.an=2n-3D.an=23-n

A

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2.[探究點(diǎn)一]在等比數(shù)列{an}中,a1+a2=6,a3+a4=12,則數(shù)列{an}的前8項(xiàng)和為()

A

解析∵數(shù)列{an}是等比數(shù)列,

∴a1+a2,a3+a4,a5+a6,a7+a8也成等比數(shù)列.

∵a1+a2=6,a3+a4=12,

∴a5+a6=24,a7+a8=48,

∴前8項(xiàng)和為a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=90.故選A.

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3.[探究點(diǎn)四]已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=2n-1+1,則數(shù)列{an}的前10項(xiàng)中所有奇數(shù)項(xiàng)之和與所有偶數(shù)項(xiàng)之和的比為()

C

解析當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=2n-2,又a1=S1=2,即前10項(xiàng)分別為2,1,2,4,8,16,32,64,128,256,所以數(shù)列{an}的前10項(xiàng)中

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4.[探究點(diǎn)一]已知Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,a3與S2分別為方程

x2+3x-4=0的兩個(gè)根,則S5=()

A.-11B.8C.15D.-15

A

解析設(shè){an}的公比為q.

由x2+3x-4=0解得x=1或-4.

∵a3與S2分別為方程x2+3x-4=0的兩個(gè)根,

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故選A.

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5.[探究點(diǎn)四](多選題)若Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且Sn=2an+1,則下列說(shuō)法正確的是()

A.a5=-16

B.S5=-63

C.數(shù)列{an}是等比數(shù)列

D.數(shù)列{Sn+1}是等比數(shù)列

AC

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解析因?yàn)镾n為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且Sn=2an+1,

所以S1=2a1+1,因此a1=-1.

當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,即an=2an-1,

所以數(shù)列{an}是以-1為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,故C正確;

因此,a5=-1×24=-16,故A正確;

又Sn=2an+1=-2n+1,所以S5=-25+1=-31,故B錯(cuò)誤;

因?yàn)镾1+1=0,所以數(shù)列{Sn+1}不是等比數(shù)列,故D錯(cuò)誤.

故選AC.

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6.[探究點(diǎn)四](多選題)[2023黑龍江一模]已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且Sn=2n+1+a,則下列說(shuō)法正確的是()

A.a=-2

B.a=-1

AD

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解析當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=4+a.

當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=2n+1+a-(2n+a)=2n.

因?yàn)閧an}是等比數(shù)列,所以a1=21=4+a,

所以a=-2,an=2n(n∈N+),故A正確,B錯(cuò)誤;

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7.[探究點(diǎn)三·2023江蘇南京高二期中]已知數(shù)列{an}中,a1=3,an+1=3an-2,則an=.

2·3n-1+1

解析因?yàn)閍n+1=3an-2,

所以an+1-1=3(an-1).

又a1-1=2,所以{an-1}是一個(gè)以2為首項(xiàng),以3為公比的等比數(shù)列,

所以an-1=2·3n-1,an=2·3n-1+1.

1

2

3

4

5

6

7

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18

8.[探究點(diǎn)四]已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且對(duì)任意n∈N+,有2Sn=3an-2,則a1=;Sn=.

2

3n-1

解析令n=1,則2S1=3a1-2,得a1=2;

當(dāng)n≥2時(shí),2Sn-1=3an-1-2,

2an=2Sn-2Sn-1=3an-3an-1,即當(dāng)n≥2時(shí),an=3an-1.

又a1=2,

故數(shù)列{an}是以2為首項(xiàng),3為公比的等比數(shù)列,

1

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9.[探究點(diǎn)二·2023甘肅臨夏高二階段練習(xí)]在等差數(shù)列{an}中,已知a3=4,a5+a8=15.

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

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所以Tn=2×22+3×23+4×24+…+(n+1)×2n+1,①

則2Tn=2×23+3×24+…+n×2n+1+(n+1)×2n+2,②

1

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B級(jí)關(guān)鍵能力提升練

A.4n-1B.4n-1C.2n-1D.2n-1

D

1

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18

11.數(shù)列{an}中,a1=2,am+n=aman.若ak+1+ak+2+…+ak+10=215-25,則k=()

A.2B.3C.4D.5

C

解析∵am+n=aman,

令m=1,∴an+1=a1an=2an,

1

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18

12.(多選題)[2023江西鷹潭貴溪第一中學(xué)高二階段練習(xí)]已知數(shù)列{an},下列結(jié)論正確的有()

A.若a1=2,an+1=an+n+1,則a20=211

B.若a1=1,an+1=3an+2,則a4=53

AB

1

2

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5

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18

解析選項(xiàng)A,由an+1=an+n+1,得an+1-an=n+1,

則a20=(a20-a19)+(a19-a18)+…+(a2-a1)+a1=20+19+…+2+2=211,故A正確;

選項(xiàng)B,由an+1=3an+2得an+1+1=3(an+1).

又a1+1=2,所以數(shù)列{an+1}是以2為首項(xiàng),3為公比的等比數(shù)列,

則an+1=2×3n-1,即an=2×3n-1-1,所以a4=2×33-1=53,故B正確;

1

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13.數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知a1=,且對(duì)任意正整數(shù)m,n,都有am+n=aman,若Sn0,a8+a9>0,a8a90成立的n的最大值是()

A.8B.9C.16D.17

5.[探究點(diǎn)一、三](多選題)[2023江蘇連云港高二期末]已知等差數(shù)列{an}的公差為d,前n項(xiàng)和為Sn,且a1=15,S5=S11,則以下說(shuō)法正確的是()

A.d=-2

B.a6=-a11

C.Sn的最大值為S7

D.使得Sn≥0的最大正整數(shù)n為16

6.[探究點(diǎn)二]設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若S3=9,S6=36,則S9=.

7.[探究點(diǎn)一·人教A版教材習(xí)題]根據(jù)下列等差數(shù)列{an}中的已知量,求相應(yīng)的未知量:

(1)a1=20,an=54,Sn=999,求d及n;

(2)d=,n=37,Sn=629,求a1及an;

(3)a1=,d=-,Sn=-5,求n及an;

(4)d=2,n=15,an=-10,求a1及Sn.

8.[探究點(diǎn)三·人教A版教材習(xí)題]已知等差數(shù)列-4.2,-3.7,-3.2,…的前n項(xiàng)和為Sn,Sn是否存在最大(小)值如果存在,求出取得最值時(shí)n的值.

B級(jí)關(guān)鍵能力提升練

9.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若=a1+a200,且A,B,C三點(diǎn)共線(該直線不過(guò)原點(diǎn)O),則S200的值為()

A.100B.101C.200D.201

10.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,a3=8,a4=4,則前n項(xiàng)和Sn中最大的是()

A.S3B.S4或S5

C.S5或S6D.S6

11.一個(gè)凸多邊形各內(nèi)角的弧度數(shù)成等差數(shù)列,最小角為,公差為,則邊數(shù)n的值為()

A.9B.16

C.9或16D.18

12.(多選題)數(shù)列{an}滿足a1=10,an=an-1-2(n≥2),則()

A.數(shù)列{an}是遞減數(shù)列

B.an=2n+8

C.點(diǎn)(n,an)都在直線y=-2x+12上

D.數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn的最大值為32

13.在等差數(shù)列{an}中,3a1=7a7,a1>0,Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若Sn取得最大值,則n=.

14.與傳統(tǒng)燃油車相比較,新能源車具有環(huán)保、節(jié)能、減排等優(yōu)勢(shì),既符合我國(guó)的國(guó)情也代表了汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展的方向.工信部表示,到2025年中國(guó)的汽車總銷量將達(dá)到3500萬(wàn)輛,并希望新能源車至少占總銷量的四分之一.某公司年初購(gòu)入一批新能源車充電樁,每臺(tái)16200元,第一年每臺(tái)設(shè)備的維修保養(yǎng)費(fèi)用為1100元,以后每年增加400元,估計(jì)每臺(tái)充電樁每年可獲利8100元,則每臺(tái)充電樁從第年開(kāi)始獲利.(參考數(shù)據(jù):≈1.732)

15.[2023廣東深圳高二期末]已知Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若S15=5(a2+a6+ak)(k∈N+),則k=.

16.[2023山東泰安高二期末]已知等差數(shù)列{an},{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn,Tn,若,則=.

17.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和是Sn,且Sn=+k.當(dāng)k=時(shí),{an}是公差d=的等差數(shù)列.

18.[北師大版教材習(xí)題]已知數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn=n2+1.

(1)寫(xiě)出數(shù)列{an}的前5項(xiàng).

(2)數(shù)列{an}是等差數(shù)列嗎

(3)寫(xiě)出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

C級(jí)學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練

19.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a2=11,S7=161.

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

(2)若Sn≥6an-5n-12,求n的取值范圍;

(3)若bn=,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.

5.2.2等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

1.B(a1+a2+a3)+(a18+a19+a20)=(-24)+78=54,

又a1+a20=a2+a19=a3+a18,則3(a1+a20)=54,

∴a1+a20=18.故S20==10×18=180.

2.B設(shè){an}的公差為d.

由題意得解得

所以a5=a1+4d=13.

故選B.

3.D由條件可知,當(dāng)n=10時(shí),a10=31-10t≥0,a11=31-11t0,a8+a9>0,a8a90,a90,S17==17a90成立的n的最大值為16.故選C.

5.ABD因?yàn)閍1=15,S5=S11,所以5×15+×d=11×15+×d,解得d=-2,故A正確;

a6=15+5×(-2)=5,a11=15+10×(-2)=-5,所以a6=-a11,故B正確;

Sn=15n+·(-2)=-n2+16n=-(n-8)2+64,所以n=8時(shí)Sn取最大值,故C錯(cuò)誤;

令Sn=-n2+16n≥0,解得0≤n≤16(n∈N+),故D正確.

故選ABD.

6.81(方法一)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,

由題意得解得

∴S9=9a1+d=81.

(方法二)∵數(shù)列{an}為等差數(shù)列,∴S3,S6-S3,S9-S6成等差數(shù)列,∴2(S6-S3)=S3+S9-S6.

又S3=9,S6=36,則2×(36-9)=9+S9-36,

解得S9=81.

7.解(1)將a1=20,an=54,Sn=999代入Sn=,得n=27.再將a1=20,an=54,n=27代入an=a1+(n-1)d,得d=.

(2)將d=,n=37,Sn=629分別代入an=a1+(n-1)d,Sn=,得解得

(3)將a1=,d=-,Sn=-5代入Sn=na1+d(n∈N+),得n=15.再將a1=,d=-,n=15代入an=a1+(n-1)d,得an=-.

(4)將d=2,n=15,an=-10代入an=a1+(n-1)d,得a1=-38.再將a1=-38,an=-10,n=15代入Sn=,得Sn=-360.

8.解(方法一)存在最小值.由題意,知a1=-4.2,d=-3.7-(-4.2)=0.5,所以an=-4.2+(n-1)×0.5=0.5n-4.7.

令an≤0,則n≤9.4,

所以數(shù)列{an}前9項(xiàng)為負(fù)數(shù),從第10項(xiàng)起為正數(shù),

所以Sn存在最小值,此時(shí)n=9.

(方法二)存在最小值.由題意,知a1=-4.2,d=0.5,

Sn=-4.2n+×0.5=0.25n2-4.45n=0.25(n-8.9)2-19.8025,

所以Sn存在最小值,且S8>S9,所以此時(shí)n=9.

9.A依題意,a1+a200=1,

所以S200==100.

10.B設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,則d=a4-a3=4-8=-4,an=a3+(n-3)d=8+(n-3)×(-4)=20-4n,所以a4>0,a5=0,a60,a120,即n2-36n+811的傳染病,要隔離感染者,以控制傳染源,切斷傳播途徑),那么由1個(gè)初始感染者經(jīng)過(guò)六輪傳染被感染(初始感染者未被隔離,且不含初始感染者)的總?cè)藬?shù)為.(注:初始感染者傳染R0個(gè)人為第一輪傳染,這R0個(gè)人每人再傳染R0個(gè)人為第二輪傳染……)

15.某學(xué)習(xí)軟件以數(shù)學(xué)知識(shí)為題目設(shè)置了一項(xiàng)闖關(guān)游戲,共有15關(guān),每過(guò)一關(guān)可以得到一定的積分,現(xiàn)有三種積分方案供闖關(guān)者選擇.方案一,每闖過(guò)一關(guān)均可獲得40積分;方案二,闖過(guò)第一關(guān)可獲得5積分,后面每關(guān)的積分都比前一關(guān)多5;方案三,闖過(guò)第一關(guān)可獲得0.5積分,后面每關(guān)的積分都是前一關(guān)積分的2倍.若某關(guān)闖關(guān)失敗則停止游戲,最終積分為闖過(guò)的各關(guān)的積分之和.設(shè)三種方案闖過(guò)n(n≤15,且n∈N+)關(guān)后的積分之和分別為An,Bn,Cn,要求闖關(guān)者在開(kāi)始前要選擇積分方案.

(1)求出An,Bn,Cn的表達(dá)式.

(2)如果你是一個(gè)闖關(guān)者,為獲得盡量多的積分,這幾種積分方案該如何選擇小明通過(guò)試驗(yàn)后覺(jué)得自己至少能闖過(guò)12關(guān),他應(yīng)該選擇第幾種積分方案

C級(jí)學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練

16.[2023河北衡水高三期末]治理垃圾是S市改善環(huán)境的重要舉措.去年S市產(chǎn)生的垃圾量為200萬(wàn)噸,通過(guò)擴(kuò)大宣傳、環(huán)保處理等一系列措施,預(yù)計(jì)從今年開(kāi)始,連續(xù)5年,每年的垃圾排放量比上一年減少20萬(wàn)噸,從第6年開(kāi)始,每年的垃圾排放量為上一年的75%.

(1)寫(xiě)出S市從今年開(kāi)始的年垃圾預(yù)期排放量與治理年數(shù)n(n∈N+)的表達(dá)式;

(2)設(shè)An為從今年開(kāi)始n年內(nèi)的年平均垃圾排放量,寫(xiě)出An的表達(dá)式.

5.4數(shù)列的應(yīng)用

1.A設(shè)冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣日影長(zhǎng)組成等差數(shù)列{an},

其公差為d,由題意得

即解得

所以an=a1+(n-1)d=11.5-n,所以a7=11.5-7=4.5,即春分時(shí)節(jié)的日影長(zhǎng)為4.5尺.

2.D設(shè)每年償還的金額為x,

則a(1+p)m=x+x(1+p)+x(1+p)2+…+x(1+p)m-1,

所以a(1+p)m=x,

解得x=.

故選D.

3.AC從2023年起,每年年底的綠化率構(gòu)成一個(gè)數(shù)列a1,a2,a3,…,an,則a1=0.7×0.98+0.3×0.18=0.74,

且an+1=0.98an+0.18(1-an)=0.8an+0.18,

即an+1-0.9=0.8(an-0.9).又a1-0.9=-0.16,

則數(shù)列{an-0.9}是首項(xiàng)為-0.16,公比為0.8的等比數(shù)列,

則an-0.9=-0.16×0.8n-1,即an=0.9-0.16×0.8n-1.

a1=0.74,故A正確;

a3=0.9-0.16×0.82=0.797615,

所以b4=b5=…=b10=6.75,

設(shè){bn}的前n項(xiàng)的和為Bn,則B10=3+4.5+6.75×8=61.5.

所以從2023年至2030年這十年累計(jì)發(fā)放的汽車牌照數(shù)為(72.5+61.5=134)萬(wàn).

14.4095初始一名感染者,經(jīng)過(guò)一輪傳染后,感染人數(shù)為1+R0=4,

經(jīng)過(guò)二輪傳染后,感染人數(shù)為4+4R0=16,

經(jīng)過(guò)三輪傳染后,感染人數(shù)為16+16R0=64,

……

則每一輪傳染后的感染人數(shù)構(gòu)成以4為首項(xiàng),4為公比的等比數(shù)列,設(shè)為{an}.

經(jīng)過(guò)n輪傳染后,感染人數(shù)為an=4×4n-1=4n,

所以由1個(gè)初始感染者經(jīng)過(guò)六輪傳染被感染(不含初始感染者)的總?cè)藬?shù)為46-1=4095.

15.解(1)按方案一闖過(guò)各關(guān)所得積分構(gòu)成常數(shù)數(shù)列,故An=40n;

按方案二闖過(guò)各關(guān)所得積分構(gòu)成首項(xiàng)為5,公差為5的等差數(shù)列,

故Bn=5n+×5=;

按方案三闖過(guò)各關(guān)所得積分構(gòu)成首項(xiàng)為,公比為2的等比數(shù)列,

故Cn=(2n-1).

(2)令A(yù)n>Bn,即40n>,解得0Cn,即40n>(2n-1),因?yàn)閚∈N+,所以n≤9,

故當(dāng)n≤9時(shí),An>Cn;當(dāng)10≤n≤15時(shí),AnS8,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()

A.dS6

D.S6與S7均為Sn的最大值

4.[探究點(diǎn)一]有一位善于步行的人,第一天行走了100千米,以后每天比前一天多走d千米,九天他一共行走了1260千米,求d的值.關(guān)于該問(wèn)題,下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()

A.d=15

B.此人第二天行走了110千米

C.此人前七天共行走了910千米

D.此人前八天共行走了1080千米

5.[探究點(diǎn)一]記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若a1=-2,a2+a6=2,則S10=.

6.[探究點(diǎn)四]在等差數(shù)列{an}中,若a10,若對(duì)任意正整數(shù)n,都有Sn≥Sk,則整數(shù)k=.

8.[探究點(diǎn)三]“等和數(shù)列”的定義:在一個(gè)數(shù)列中,如果每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的和都等于同一個(gè)常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列稱為等和數(shù)列,這個(gè)常數(shù)稱為該數(shù)列的公和.已知數(shù)列{an}是等和數(shù)列,且a1=2,公和為5,則a18的值為.

9.[探究點(diǎn)一]將數(shù)列{2n-1}與{3n-2}的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列{an},則{an}的前n項(xiàng)和為.

10.[探究點(diǎn)四]數(shù)列{an}是首項(xiàng)為23,公差為-4的等差數(shù)列.

(1)當(dāng)an>0時(shí),求n的取值范圍;

(2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn的最大值.

11.[探究點(diǎn)二·2023安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)高二階段練習(xí)]已知數(shù)列{an}前n項(xiàng)和Sn滿足Sn=n2(n+1)+1.求:

(1)a1,a2;

(2)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

B級(jí)關(guān)鍵能力提升練

12.(多選題)[2023山東菏澤高二階段練習(xí)]已知數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列,則下列說(shuō)法正確的是()

A.an+1=an+d

B.數(shù)列{-an}是等差數(shù)列

C.數(shù)列是等差數(shù)列

D.2an+1=an+an+2

13.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2+n+3(n∈N+),則下列結(jié)論正確的是()

A.數(shù)列{an}是等差數(shù)列

B.數(shù)列{an}是遞增數(shù)列

C.a1,a5,a9成等差數(shù)列

D.S6-S3,S9-S6,S12-S9成等差數(shù)列

14.[2023江蘇南通高二期末]如圖的形狀被稱為“三角垛”.已知某“三角垛”的最上層有1個(gè)球,第二層有3個(gè)球,第三層有6個(gè)球……設(shè)各層(從上往下)球數(shù)組成一個(gè)數(shù)列{an},則a5=;+…+=.

15.已知在等差數(shù)列{an}中,a16+a17+a18=a9=-18,其前n項(xiàng)和為Sn.

(1)求Sn的最小值,并求出Sn取最小值時(shí)n的值;

(2)求Tn=|a1|+|a2|+…+|an|.

16.已知各項(xiàng)都不相等的等差數(shù)列{an}的前6項(xiàng)和為60,且滿足=a1a21.

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

(2)若數(shù)列{bn}滿足bn+1-bn=an,且b1=3,求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.

C級(jí)學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練

17.[2023江蘇南京外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高二期末]設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,Sn=an-3n+1,則an=;若不等式an≥對(duì)任意n∈N+恒成立,則正數(shù)k的最小值為.

培優(yōu)課等差數(shù)列習(xí)題課

1.C設(shè)數(shù)列{an}的公差為d.因?yàn)閍1+a6=2a1+5d=4,a1=,所以d=,所以an=+(n-1)×=37,所以n=56.

2.B設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,由題可知d>0.

∵a4a6=(a5-d)(a5+d)=(10-d)(10+d)=96,∴d=2或d=-2(舍去),

∴等差數(shù)列{an}的公差為2.

故選B.

3.C由于S5S8,所以S6-S5=a6>0,S7-S6=a7=0,S8-S7=a80,故Sn的最小值為S12.

7.18在等差數(shù)列{an}中,S35==35a180,則a18+a19>0,即有a19>-a18,

于是數(shù)列{an}的公差d=a19-a18>0,即{an}是遞增數(shù)列,其前18項(xiàng)均為負(fù)數(shù),從第19項(xiàng)起為正數(shù),

因此Sn的最小值為S18,所以對(duì)任意正整數(shù)n,都有Sn≥S18,所以k=18.

8.3由題意可得an+an+1=5,∴an+1+an+2=5,

∴an+2-an=0.∵a1=2,∴a2=5-a1=3,∴當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),an=3;當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),an=2,∴a18=3.

9.3n2-2n數(shù)列{2n-1}的項(xiàng)均為奇數(shù),數(shù)列{3n-2}的所有奇數(shù)項(xiàng)均為奇數(shù),所有偶數(shù)項(xiàng)均為偶數(shù).顯然{3n-2}中的所有奇數(shù)項(xiàng)均能在{2n-1}中找到,所以{2n-1}與{3n-2}的所有公共項(xiàng)就是{3n-2}的所有奇數(shù)項(xiàng),這些項(xiàng)從小到大排列組成的新數(shù)列{an}為以1為首項(xiàng),6為公差的等差數(shù)列,所以{an}的前n項(xiàng)和為n×1+×6=3n2-2n.

10.解(1)由題可知an=23+(n-1)×(-4)=27-4n>0,

∴n21時(shí),

Tn=-a1-a2-…-a21+a22+…+an=Sn-2S21=(n2-41n)+630.

16.解(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0),

則解得

則an=2n+3.

(2)由bn+1-bn=an,得bn-bn-1=an-1(n≥2),

∴bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)+b1=an-1+an-2+…+a1+b1=(n-1)(n+3)+3=n(n+2)(n≥2),b1=3滿足上式,

∴bn=n(n+2),

∴,

∴Tn=.

17.(4n+2)×3n當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=a1-32,得a1=18.

當(dāng)n≥2時(shí),Sn-1=an-1-3n,

所以an=Sn-Sn-1=an-an-1-2×3n,得an=3an-1+4×3n,

所以=4(n≥2).

又因?yàn)?6,所以是以6為首項(xiàng),4為公差的等差數(shù)列,

所以=4n+2,即an=(4n+2)×3n.

因?yàn)閍n≥,所以(4n+2)×3n≥,即(k>0).

記bn=,則bn>0,>1,所以{bn}為遞增數(shù)列,所以bn≥b1=6.

所以≤6,所以k≥,

則k的最小值為.(共33張PPT)

第五章

5.3.1等比數(shù)列

A級(jí)必備知識(shí)基礎(chǔ)練

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1.[探究點(diǎn)一]對(duì)等比數(shù)列{an},下列說(shuō)法一定正確的是()

A.a1,a3,a9成等比數(shù)列B.a2,a3,a6成等比數(shù)列

C.a2,a4,a8成等比數(shù)列D.a3,a6,a9成等比數(shù)列

D

解析因?yàn)樵诘缺葦?shù)列中,an,a2n,a3n,…也成等比數(shù)列,所以a3,a6,a9成等比數(shù)列.

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2.[探究點(diǎn)二]設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1+a3=3,a1-a5=-3,則a7=()

A.8B.-8C.6D.-6

A

解析設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,

a1+a3=3,即a1(1+q2)=3,①

a1-a5=-3,即a1(1-q4)=-3,②

由②÷①得1-q2=-1,即q2=2,a1=1.

則an=a1qn-1=qn-1,所以a7=q6=(q2)3=8.

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3.[探究點(diǎn)三]在下面所示的表格中,每格填上一個(gè)數(shù)字后,使每一行成等差數(shù)列,每一列成等比數(shù)列,則a+b+c的值為()

12

1

a

b

c

C

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解析根據(jù)題意填寫(xiě)表格,得

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4.[探究點(diǎn)二·2023黑龍江鶴崗一中高三期末]在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列

D

解析設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,由題可知q>0.

即a1q4=2a1q2+a1q3,

可得q2-q-2=0,解得q=2或q=-1(舍去),

故選D.

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C

解析由題可知a2+b2=c2.

故選C.

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6.[探究點(diǎn)二](多選題)[2023福建寧德高二期末]已知等比數(shù)列{an}的公比q=,等差數(shù)列{bn}的首項(xiàng)b1=9,若a7>b7且a8>b8,則以下結(jié)論正確的有

()

A.a8>0B.b8a8D.b7>b8

BD

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解析因?yàn)榈缺葦?shù)列{an}的公比,而a1的正負(fù)不確定,因此不能確定a7和a8的正負(fù)及大小關(guān)系,AC錯(cuò)誤;

顯然a7和a8異號(hào),又a7>b7且a8>b8,則b7,b8中至少有一個(gè)是負(fù)數(shù),而b1=9>0,

于是等差數(shù)列{bn}的公差db8,且b80),∴a2=2b,2b=a+30,

∴a2-a-30=0,∴a=6,∴b=18.

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8.[探究點(diǎn)三]已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)都為正數(shù),對(duì)任意的m,n∈N+,aman=am+n恒成立,且a3a5+a4=72,則log2a1+log2a2+…+log2a7=.

21

解析∵對(duì)任意的m,n∈N+,aman=am+n恒成立,

令m=1,則a1an=a1+n對(duì)任意的n∈N+恒成立,

∴數(shù)列{an}為等比數(shù)列,公比為a1.

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9.[探究點(diǎn)一、二·北師大版教材例題]在各項(xiàng)均為負(fù)數(shù)的數(shù)列{an}中,已知

(1)求證:數(shù)列{an}是等比數(shù)列,并求出它的通項(xiàng)公式.

(2)試問(wèn)是數(shù)列{an}中的項(xiàng)嗎如果是,指出是{an}中的第幾項(xiàng);如果不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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B級(jí)關(guān)鍵能力提升練

10.(多選題)數(shù)列{an}滿足an=qn(q>0),則以下結(jié)論正確的是()

A.數(shù)列{a2n}是等比數(shù)列

ABD

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11.(多選題)[2023安徽安慶一中高二階段練習(xí)]已知三角形的三邊長(zhǎng)組成公比為q的等比數(shù)列,則q的值可以為()

BC

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12.如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的和除以與它前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列就稱為“和差等比數(shù)列”.已知{an}是“和差等比數(shù)列”,a1=2,a2=3,則滿足使不等式an>10的n的最小值是()

A.8B.7C.6D.5

D

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所以n的最小值是5.

故選D.

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13.十二平均律是目前世界上通用的把一組音(八度)分成十二個(gè)半音音程的律制,各相鄰兩律之間的頻率之比完全相等,亦稱“十二等程律”.即一個(gè)八度13個(gè)音,相鄰兩個(gè)音之間的頻率之比相等,且最后一個(gè)音是最初那個(gè)音

D

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14.已知等比數(shù)列{an}的公比是q,則“q>1”是“an+1>an”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

D

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解析當(dāng)a1=-1時(shí),an=-qn-1,an+1=-qn.

因?yàn)閝>1,所以qn>qn-1,

所以-qn1不能推出an+1>an.

由an+1>an,得-qn>-qn-1,則qnan不能推出q>1,

所以“q>1”是“an+1>an”的既不充分也不必要條件.

故選D.

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15.(多選題)已知等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),公比為q,且a1>1,a8+a9>a8a9+1>2,記{an}的前n項(xiàng)積為T(mén)n,則下列選項(xiàng)中正確的是()

A.q>1B.a8>1C.T16>1D.T17>1

BC

解析由題意知(a8-1)(1-a9)=a8+a9-a8a9-1>0,

則a8,a9中一個(gè)大于1,另一個(gè)小于1.

∵等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),∴q>0.

又a1>1,∴a8>1>a9,且1>q>0.

由題意知a8a9>1.

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16.已知兩個(gè)等比數(shù)列{an},{bn},滿足a1=a(a>0),b1-a1=1,b2-a2=2,b3-a3=3.若數(shù)列{an}是唯一的,則a的值為.

解析設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,則b1=1+a,b2=2+aq,b3=3+aq2,

由b1,b2,b3成等比數(shù)列,得(2+aq)2=(1+a)(3+aq2),得aq2-4aq+3a-1=0.(*)

由a>0得Δ=4a2+4a>0,故方程(*)有兩個(gè)不同的實(shí)根.由數(shù)列{an}唯一知方程(*)必有一根為0,將q=0代入(*)得

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3或4

∴n=3或n=4時(shí),a1a2…an取得最小值.

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18.[2023海南模擬預(yù)測(cè)]已知數(shù)列{an}滿足(an≠0,且n∈N+),且a2,a3+2,a4成等差數(shù)列.

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

(2)若bn=log2an(n∈N+),求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.

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解(1)在數(shù)列{an}中,由,得an+1=2an,而an≠0,則數(shù)列{an}是公比為2的等比數(shù)列.

因?yàn)閍2,a3+2,a4成等差數(shù)列,即2(a3+2)=a2+a4,所以8a1+4=2a1+8a1,解得a1=2,

所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2×2n-1=2n.

(2)由(1)得bn=log22n=n,有b1=1,bn+1-bn=(n+1)-n=1,即數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列,

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解(1)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,由題意,知q>1.

∴3a3=a4+2a2,∴3q2=q3+2q,

即q2-3q+2=0,解得q=2或q=1(舍去),∴q=2,

∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=a1qn-1=2n-1.

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20.[2023重慶高二期末]已知數(shù)列{an}滿足a1=4,nan+1=2(n+1)an,則a4=,若數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,則滿足不等式Sn≥14的n的最小值為.

C級(jí)學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練

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所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n·2n+1,

則a4=4×25=128.

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20(共17張PPT)

第五章

5.1.2數(shù)列中的遞推

A級(jí)必備知識(shí)基礎(chǔ)練

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3.[探究點(diǎn)三]1202年,意大利數(shù)學(xué)家斐波那契出版了他的《算盤(pán)全書(shū)》,書(shū)中有一個(gè)著名的數(shù)列——“斐波那契數(shù)列”,此數(shù)列可以表示為{Fn}:F1=1,F2=1,Fn+2=Fn+Fn+1(n∈N+),則其前10項(xiàng)和為()

A.10B.88C.143D.232

C

解析因?yàn)镕1=1,F2=1,且Fn+2=Fn+Fn+1(n∈N+),

所以F3=F1+F2=2,F4=F2+F3=3,F5=F3+F4=5,F6=F4+F5=8,F7=F5+F6=13,F8=F6+F7=21,F9=F7+F8=34,F10=F8+F9=55,

所以此數(shù)列的前10項(xiàng)和為1+1+2+3+5+8+13+21+34+55=143.

故選C.

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4.[探究點(diǎn)一]數(shù)列{an}滿足an=4an-1+3(n≥2),且a1=0,則此數(shù)列的第5項(xiàng)是.

255

解析因?yàn)閍n=4an-1+3(n≥2),a1=0,

所以a2=4×0+3=3,a3=4×3+3=15,a4=4×15+3=63,a5=4×63+3=255.

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6.[探究點(diǎn)三·人教A版教材習(xí)題]已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和公式為Sn=-2n2,求{an}的通項(xiàng)公式.

解當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=-2,

當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=-2n2-[-2(n-1)2]=-4n+2.

當(dāng)n=1時(shí),a1=-2=-4×1+2,符合上式,

所以{an}的通項(xiàng)公式是an=-4n+2.

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B級(jí)關(guān)鍵能力提升練

7.數(shù)列1,3,6,10,15,…的一個(gè)遞推公式是()

A.an+1=an+n,n∈N+

B.an=an-1+n,n∈N+,n≥2

C.an+1=an+(n+1),n∈N+,n≥2

D.an=an-1+(n-1),n∈N+,n≥2

B

解析由題可知a1=1,an-an-1=n(n∈N+,n≥2)或an+1=an+n+1(n∈N+).

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C

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9.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=4n2-10n,則a2a6的值為()

A.52B.68C.96D.108

B

解析當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=4n2-10n-[4(n-1)2-10(n-1)]=8n-14,所以a2a6=(8×2-14)×(8×6-14)=68.故選B.

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10.數(shù)列{an}滿足a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)·2n+1,則a7=()

A.64B.128C.256D.512

A

解析當(dāng)n≥2時(shí),由a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)·2n+1,①

得a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=(n-2)·2n-1+1,②

①-②,得nan=[(n-1)·2n+1]-[(n-2)·2n-1+1]=n·2n-1(n≥2),

所以an=2n-1(n≥2),則a7=64.

故選A.

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11.(多選題)意大利人斐波那契于1202年從兔子繁殖問(wèn)題中發(fā)現(xiàn)了這樣的一列數(shù):1,1,2,3,5,8,13,…即從第3項(xiàng)開(kāi)始,每一項(xiàng)都是它前兩項(xiàng)的和.后人為了紀(jì)念他,就把這列數(shù)稱為斐波那契數(shù)列.下面關(guān)于斐波那契數(shù)列{an}說(shuō)法正確的是()

A.a10=55

B.a2023是偶數(shù)

C.3a2021=a2019+a2023

D.a1+a2+a3+…+a2021=a2023

AC

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解析對(duì)于A,a8=21,a9=21+13=34,a10=21+34=55,故A正確;

對(duì)于B,由該數(shù)列的性質(zhì)可得只有序號(hào)為3的倍數(shù)的項(xiàng)是偶數(shù),故B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,a2019+a2023=a2019+a2021+a2022=a2019+a2021+a2020+a2021=3a2021,故C正確;

對(duì)于D,a2023=a2021+a2022,a2022=a2020+a2021,a2021=a2019+a2020,……,a3=a1+a2,a2=a1,

各式相加得a2023+a2022+a2021+…+a2=a2022+2(a2021+a2020+a2019+…+a1),

所以a2023=a2021+a2020+a2019+…+a1+a1,故D錯(cuò)誤.

故選AC.

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12.已知Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若,則S2023的值為.

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13.已知數(shù)列{an}滿足an+2+an=an+1,且a1=1,a2=2,則a2023=.

1

解析因?yàn)閍n+2+an=an+1,

所以an+2=an+1-an.

因?yàn)閍1=1,a2=2,

所以a3=a2-a1=2-1=1,a4=a3-a2=1-2=-1,

a5=a4-a3=-1-1=-2,a6=a5-a4=-2-(-1)=-1,

a7=a6-a5=-1-(-2)=1,a8=a7-a6=1-(-1)=2,

所以數(shù)列{an}中的項(xiàng)以6為周期重復(fù)出現(xiàn).

又2023=6×337+1,

所以a2023=a1=1.

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14.[2023北京高二階段練習(xí)]已知數(shù)列{an}滿足a4n-3=1,a4n-1=0,a2n=an,則

a2007=;a2024=.

0

1

解析由a4n-3=1,a4n-1=0,a2n=an,得a2007=a4×502-1=0,

a2024=a1012=a506=a253=a4×64-3=1.

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C級(jí)學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練

15.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=2n-1,且λan≥4n-2對(duì)一切n∈N+恒成立,則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是.

[3,+∞)

解析當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=1;當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=2n-1-2n-1+1=2n-1.a1適合該式,

所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n-1,(共21張PPT)

第五章

5.1.1數(shù)列的概念

A級(jí)必備知識(shí)基礎(chǔ)練

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1.[探究點(diǎn)三]若數(shù)列{an}滿足an=2n,則數(shù)列{an}是()

A.遞增數(shù)列

B.遞減數(shù)列

C.常數(shù)列

D.擺動(dòng)數(shù)列

A

解析∵an+1-an=2n+1-2n=2n>0,∴an+1>an,∴數(shù)列{an}是遞增數(shù)列.

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3.[探究點(diǎn)一]下列有關(guān)數(shù)列的說(shuō)法正確的是()

①數(shù)列1,2,3可以表示成{1,2,3};

②數(shù)列-1,0,1與數(shù)列1,0,-1是同一數(shù)列;

④數(shù)列中的項(xiàng)的序號(hào)都是正整數(shù).

A.①②B.③④C.①③D.②④

B

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解析對(duì)于①,{1,2,3}是集合,不是數(shù)列,故選項(xiàng)①錯(cuò)誤;

對(duì)于②,數(shù)列是有序的,故數(shù)列-1,0,1與數(shù)列1,0,-1是不同的數(shù)列,故選項(xiàng)②錯(cuò)誤;

對(duì)于④,由數(shù)列的定義可知,數(shù)列中的項(xiàng)的序號(hào)是正整數(shù),故選項(xiàng)④正確.

故選B.

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4.[探究點(diǎn)二(角度2)·2023湖北十堰高二期末]已知數(shù)列1,-3,5,-7,9,…,則該數(shù)列的第100項(xiàng)為()

A.99B.-199C.-111D.111

B

解析由題可知,該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=(-1)n+1(2n-1),所以

a100=(-1)100+1(2×100-1)=-199.

故選B.

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5.[探究點(diǎn)二(角度2)](多選題)[2023黑龍江哈爾濱高二期末]已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n2+n,則下列是該數(shù)列中的項(xiàng)的是()

A.12B.18C.25D.30

AD

解析因?yàn)閍n=n2+n,所以n越大,an越大.

當(dāng)n=3時(shí),a3=32+3=12;當(dāng)n=4時(shí),a4=42+4=20;當(dāng)n=5時(shí),a5=52+5=30.

故選AD.

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6.[探究點(diǎn)三]數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=n2-7n+50,則數(shù)列中的最小項(xiàng)是.

38

因?yàn)閚∈N+,

所以當(dāng)n=3或n=4時(shí),an最小,此時(shí)a3=a4=38.

即數(shù)列中的最小項(xiàng)是38.

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7.[探究點(diǎn)二(角度1)]圖①是第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)(簡(jiǎn)稱ICME-7)的會(huì)徽?qǐng)D案,會(huì)徽的主體圖案是由圖②的一連串直角三角形演化而成的,其中OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1,如果把圖②中的直角三角形繼續(xù)作下去,記OA1,OA2,…,OAn,…的長(zhǎng)度組成數(shù)列{an},則此數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=.

①

②

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8.[探究點(diǎn)二(角度1)·北師大版教材習(xí)題]寫(xiě)出下面各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式:

(1)2,4,6,8,…;

解(1)an=2n.

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B級(jí)關(guān)鍵能力提升練

9.下列四個(gè)說(shuō)法:

①任何數(shù)列都有通項(xiàng)公式;

②給定了一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式就給定了這個(gè)數(shù)列;

③給出了數(shù)列的項(xiàng)就可唯一確定這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式;

④數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式可以看成關(guān)于項(xiàng)數(shù)n的函數(shù)解析式.

其中正確的個(gè)數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

B

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解析根據(jù)數(shù)列的表示方法可知,不是任何數(shù)列都有通項(xiàng)公式,例如,π的近似值構(gòu)成的數(shù)列3,3.1,3.14,3.142,…就沒(méi)有通項(xiàng)公式,所以①錯(cuò)誤;根據(jù)數(shù)列的表示方法可知,②正確;給出了數(shù)列的項(xiàng),數(shù)列的通項(xiàng)公式形式不一定唯一,比如,1,-1,1,-1,…,其通項(xiàng)公式既可以寫(xiě)成an=(-1)n+1,也可以寫(xiě)成an=(-1)n-1,③錯(cuò)誤;根據(jù)數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系可知,④正確.故選B.

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10.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=log(n+1)(n+2),則它的前30項(xiàng)之積為()

B

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A

所以在數(shù)列{an}中a1>a2=a3;

當(dāng)n≥3時(shí),an+1-an>0,則a3所以|a1-a2|+|a2-a3|+…+|a8-a9|=a1-a2+a2-a3+a4-a3+a5-a4+…+a9-a8

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12.已知an=(n∈N+),則在數(shù)列{an}的前40項(xiàng)中,最大項(xiàng)和最小項(xiàng)分別是()

A.a1,a30B.a1,a9C.a10,a9D.a12,a11

D

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13.[2023云南玉溪高一期末]已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是,則{an}中的最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)是.

9

故當(dāng)n≤8時(shí),an+1-an>0,即an+1>an;

當(dāng)n≥9時(shí),an+1-ana11>…,

∴{an}中的最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)是9.

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14.根據(jù)下列5個(gè)圖形中點(diǎn)的個(gè)數(shù)的變化規(guī)律,試猜測(cè)第n個(gè)圖中有

個(gè)點(diǎn).

n2-n+1

解析觀察圖形可知,第n個(gè)圖有n個(gè)分支,每個(gè)分支上有(n-1)個(gè)點(diǎn)(不含中心點(diǎn)),再加上中心1個(gè)點(diǎn),則有n(n-1)+1=n2-n+1(個(gè))點(diǎn).

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(1)依次寫(xiě)出數(shù)列{an}的前5項(xiàng);

(2)研究數(shù)列{an}的單調(diào)性,并求數(shù)列{an}的最大項(xiàng)和最小項(xiàng).

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當(dāng)n≤49且n∈N+時(shí),an>0且n越大an越大;當(dāng)n≥50且n∈N+時(shí),an≤0且n越大an越大,

∴{an}的最大項(xiàng)為a49=2,最小項(xiàng)為a50=0.

C級(jí)學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練

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16.已知數(shù)列{an}中,,若對(duì)任意n∈N+,都有an≥a3成立,則實(shí)數(shù)k的取值范圍為()

A.[12,24]B.(12,24]C.[3,12]D.(3,12]

A

解析當(dāng)k≤0時(shí),可知數(shù)列{an}為遞增數(shù)列,不符合題意;

當(dāng)k>0時(shí),若對(duì)任意n∈N+,都有an≥a3成立,

所以12≤k≤24.

所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為[12,24].第五章5.1數(shù)列基礎(chǔ)

5.1.1數(shù)列的概念

A級(jí)必備知識(shí)基礎(chǔ)練

1.[探究點(diǎn)三]若數(shù)列{an}滿足an=2n,則數(shù)列{an}是()

A.遞增數(shù)列

B.遞減數(shù)列

C.常數(shù)列

D.擺動(dòng)數(shù)列

2.[探究點(diǎn)二(角度1)]數(shù)列,-,-,…的一個(gè)通項(xiàng)公式為()

A.an=(-1)n·

B.an=(-1)n·

C.an=(-1)n+1·

D.an=(-1)n+1·

3.[探究點(diǎn)一]下列有關(guān)數(shù)列的說(shuō)法正確的是()

①數(shù)列1,2,3可以表示成{1,2,3};

②數(shù)列-1,0,1與數(shù)列1,0,-1是同一數(shù)列;

③數(shù)列的第k-1(k∈N+且k≥2)項(xiàng)是;

④數(shù)列中的項(xiàng)的序號(hào)都是正整數(shù).

A.①②B.③④C.①③D.②④

4.[探究點(diǎn)二(角度2)·2023湖北十堰高二期末]已知數(shù)列1,-3,5,-7,9,…,則該數(shù)列的第100項(xiàng)為()

A.99B.-199C.-111D.111

5.[探究點(diǎn)二(角度2)](多選題)[2023黑龍江哈爾濱高二期末]已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n2+n,則下列是該數(shù)列中的項(xiàng)的是()

A.12B.18C.25D.30

6.[探究點(diǎn)三]數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=n2-7n+50,則數(shù)列中的最小項(xiàng)是.

7.[探究點(diǎn)二(角度1)]圖①是第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)(簡(jiǎn)稱ICME-7)的會(huì)徽?qǐng)D案,會(huì)徽的主體圖案是由圖②的一連串直角三角形演化而成的,其中OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1,如果把圖②中的直角三角形繼續(xù)作下去,記OA1,OA2,…,OAn,…的長(zhǎng)度組成數(shù)列{an},則此數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=.

①

②

8.[探究點(diǎn)二(角度1)·北師大版教材習(xí)題]寫(xiě)出下面各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式:

(1)2,4,6,8,…;

(2)1,-,-,….

B級(jí)關(guān)鍵能力提升練

9.下列四個(gè)說(shuō)法:

①任何數(shù)列都有通項(xiàng)公式;

②給定了一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式就給定了這個(gè)數(shù)列;

③給出了數(shù)列的項(xiàng)就可唯一確定這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式;

④數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式可以看成關(guān)于項(xiàng)數(shù)n的函數(shù)解析式.

其中正確的個(gè)數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

10.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=log(n+1)(n+2),則它的前30項(xiàng)之積為()

A.B.5

C.6D.

11.[2023廣西玉林高二期末]在數(shù)列{an}中,an=n+,則|a1-a2|+|a2-a3|+…+|a8-a9|的值為()

A.B.7C.D.8

12.已知an=(n∈N+),則在數(shù)列{an}的前40項(xiàng)中,最大項(xiàng)和最小項(xiàng)分別是()

A.a1,a30

B.a1,a9

C.a10,a9

D.a12,a11

13.[2023云南玉溪高一期末]已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=(2n+1),則{an}中的最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)是.

14.根據(jù)下列5個(gè)圖形中點(diǎn)的個(gè)數(shù)的變化規(guī)律,試猜測(cè)第n個(gè)圖中有個(gè)點(diǎn).

15.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=.

(1)依次寫(xiě)出數(shù)列{an}的前5項(xiàng);

(2)研究數(shù)列{an}的單調(diào)性,并求數(shù)列{an}的最大項(xiàng)和最小項(xiàng).

C級(jí)學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練

16.已知數(shù)列{an}中,an=2n+,若對(duì)任意n∈N+,都有an≥a3成立,則實(shí)數(shù)k的取值范圍為()

A.[12,24]B.(12,24]

C.[3,12]D.(3,12]

5.1.1數(shù)列的概念

1.A∵an+1-an=2n+1-2n=2n>0,∴an+1>an,∴數(shù)列{an}是遞增數(shù)列.

2.D根據(jù)分子、分母還有正負(fù)號(hào)的變化,可知an=(-1)n+1·.

3.B對(duì)于①,{1,2,3}是集合,不是數(shù)列,故選項(xiàng)①錯(cuò)誤;

對(duì)于②,數(shù)列是有序的,故數(shù)列-1,0,1與數(shù)列1,0,-1是不同的數(shù)列,故選項(xiàng)②錯(cuò)誤;

對(duì)于③,數(shù)列的第k-1項(xiàng)是,故選項(xiàng)③正確;

對(duì)于④,由數(shù)列的定義可知,數(shù)列中的項(xiàng)的序號(hào)是正整數(shù),故選項(xiàng)④正確.

故選B.

4.B由題可知,該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=(-1)n+1(2n-1),所以a100=(-1)100+1(2×100-1)=-199.

故選B.

5.AD因?yàn)閍n=n2+n,所以n越大,an越大.

當(dāng)n=3時(shí),a3=32+3=12;當(dāng)n=4時(shí),a4=42+4=20;當(dāng)n=5時(shí),a5=52+5=30.

故選AD.

6.38a