中考總復習：數與式綜合復習知識講解(基礎)

PAGE中考總復習：數與式綜合復習—知識講解（基礎）【考綱要求】(1)借助數軸理解相反數和絕對值的意義，會求有理數的倒數、相反數與絕對值．理解有理數的運算律，并能運用運算律簡化運算；（2）了解平方根、算術平方根、立方根的概念，了解無理數和實數的概念，知道實數與數軸上的點一一對應；會用根號表示數的平方根、立方根．了解二次根式的概念及其加、減、乘、除運算法則，會用它們進行有關實數的簡單四則運算；（3）了解整式、分式的概念，會進行簡單的整式加、減運算；會進行簡單的整式乘法運算．會利用分式的基本性質進行約分和通分，會進行簡單的分式加、減、乘、除運算．【知識網絡】【考點梳理】考點一、實數的有關概念、性質1．實數及其分類實數可以按照下面的方法分類：實數還可以按照下面的方法分類：要點詮釋：整數和分數統(tǒng)稱有理數．無限不循環(huán)小數叫做無理數．有理數和無理數統(tǒng)稱實數．2．數軸規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數軸．每一個實數都可以用數軸上的一個點來表示；反過來，數軸上的每一個點都表示一個實數．實數和數軸上的點是一一對應的關系．要點詮釋：實數和數軸上的點的這種一一對應的關系是數學中把數和形結合起來的重要基礎．3．相反數實數a和-a叫做互為相反數．零的相反數是零．一般地，數軸上表示互為相反數的兩個點，分別在原點的兩旁，并且離原點的距離相等．要點詮釋：兩個互為相反數的數的運算特征是它們的和等于零，即如果a和b互為相反數，那么a+b＝0；反過來，如果a+b＝0，那么a和b互為相反數．4．絕對值一個實數的絕對值就是數軸上表示這個數的點與原點的距離．一個正實數的絕對值是它本身；一個負實數的絕對值是它的相反數；零的絕對值是零，即如果a＞0，那么|a|＝a；如果a＜0，那么|a|＝-a；如果a＝0，那么|a|＝0．要點詮釋：從絕對值的定義可以知道，一個實數的絕對值是一個非負數．5．實數大小的比較在數軸上表示兩個數的點，右邊的點所表示的數較大．6．有理數的運算(1)運算法則(略)．(2)運算律：加法交換律a+b＝b+a；分式的分子與分母都乘(或除以)同一個不等于零的整式，分式的值不變．，．(其中M是不等于零的整式)（3）分式的運算①加減法：，．②乘法：．③除法：．④乘方：（n為正整數）．要點詮釋：

解分式方程的注意事項：（1）去分母化成整式方程時不要與通分運算混淆；（2）解完分式方程必須進行檢驗，驗根的方法是將所得的根帶入到最簡公分母中，看它是否為0，如果為0，即為增根，不為0，就是原方程的解．列分式方程解應用題的基本步驟：

(1)審——仔細審題，找出等量關系；

(2)設——合理設未知數；

(3)列——根據等量關系列出方程；

(4)解——解出方程；

(5)驗——檢驗增根；

(6)答——答題．【典型例題】類型一、實數的有關概念及運算1．實數，，，，中，無理數的個數是（）A．2B．3C．4D．5【思路點撥】常見的無理數有以下幾種形式：（1）字母型：如π是無理數，等都是無理數，而不是分數；（2）構造型：如2.10100100010000…（每兩個1之間依次多一個0）就是一個無限不循環(huán)的小數；（3）根式型：…都是一些開方開不盡的數；（4）三角函數型：sin35°、tan27°、cos29°等.【答案】A；【解析】本題主要考查無理數的概念.無理數是指無限不循環(huán)小數，，都是無限不循環(huán)小數，故共有2個無理數.【總結升華】無理數通常有以下幾類：①開方開不盡的數；②含的數；③看似循環(huán)但實際不循環(huán)的小數；④三角函數型：sin35°、tan27°、cos29°等.抓住這幾類無理數特征，則可以輕松解決有關無理數的相關試題.舉一反三：【高清課程名稱：數與式綜合復習高清ID號：402392關聯(lián)的位置名稱（播放點名稱）：例1—2】【變式】如圖，數軸上A、B兩點表示的數分別為－1和，點B關于點A的對稱點為C，則點C所表示的數為()．A． B．－C． D．【答案】A. 2．計算：(1)；(2)．【思路點撥】注意在第（1）題中，與的不同運算順序和的運算順序.【答案與解析】(1)．(2)．【總結升華】在進行有理數運算時，要注意運算的順序，要有靈活運用運算律、運算法則和相反數、倒數、0、1的運算特性的意識，尋求簡捷的運算途徑．舉一反三：【變式】；【答案】．3．若，計算.【思路點撥】幾個非負數相加和為0，則這幾個非負數必定同時為0，進而求出x、y的值.【答案與解析】依題意得解得∴【總結升華】這三個非負數中任意幾個相加得0，則每一個都得0.舉一反三：【變式】已知，則．【答案】本題考查絕對值與算數平方根的非負性，兩個非負數的和為0，所以這兩數都為0.因為，所以a=-1,b=8.﹣9.類型二、分式的有關運算4．對于分式，當x取何值時，(1)分式有意義?(2)分式的值等于零?【思路點撥】當分母等于零時，分式沒有意義，此外，分式都有意義；當分子等于零，并且分母不等于零時，分式的值等于零.【答案與解析】(1)由分母x+1＝0，得x＝-1．∴當x≠-1時，分式有意義．(2)由分子，得或．而當x＝-1時，分母x+1＝0；當x＝1時，分母．∴當x＝l時，分式的值等于零．【總結升華】討論分式有無意義時，一定要對原分式進行討論，而不能討論化簡后的分式．類型三、二次根式的運算5．計算：（1）；（2）．【思路點撥】在進行二次根式的加減運算時，一般先化成最簡二次根式，再合并同類二次根式．在進行二次根式的乘除運算時，一般先進行乘除運算，再化成最簡二次根式．無論進行何種運算，最后結果一定要化成最簡二次根式的形式．【答案與解析】（1）．（2）．【總結升華】在二次根式運算中，要注意根據題目特點，靈活運用二次根式的性質．能夠運用乘法公式使運算簡捷一些的，可以應用乘法公式．舉一反三：【變式】計算：；【答案】．6．當x為何值時，下列式子有意義？（1）；（2）．【思路點撥】第（1）題中，根號外的負號與根號是否有意義無關；第（2）題中，因為與分式有關，因此要綜合考慮x的取值范圍．【答案與解析】（1），即．∴當時，有意義．（2），且x+5≠0，∴當，且x≠-5時，有意義．【總結升華】要使偶次根式有意義，被開方數為非負數；分式有意義分母不為0.舉一反三：【高清課程名稱：數與式綜合復習高清ID號：402392關聯(lián)的位置名稱（播放點名稱）：例1—2】【變式】下列說法中，正確的是()A．3的平方根是B．5的算術平方根是C．－7的平方根是D．a的算術平方根是【答案】B.類型四、數與式的綜合運用7．用同樣規(guī)格的黑白兩種顏色的正方形瓷磚按圖1-1方式鋪地板，則第（3）個圖形中有黑色瓷磚塊，第n個圖形中需要黑色瓷磚塊（用含n的代數式表示）．（1）（1）（2）（3）……圖1-1【思路點撥】找規(guī)律題至少要推算出三個式子的值，再去尋求規(guī)律，考察了認真觀察、分析、歸納、由特殊到一般，由具體到抽象的能力.【答案】10，1+3n．【解析】根據圖形可得出以下數據：第1個圖形，黑色瓷磚4塊；第2個圖形，黑色瓷磚7塊；第3個圖形，黑色瓷磚10塊……不難看出，每幅圖形中的黑色瓷磚依次增加3塊，如果把第一個圖形中的黑色瓷磚表示為1＋3，則第2個圖形中的黑色瓷磚可表示為1＋3×2……所以第n個圖形中的黑色瓷磚為1+3n．【總結升華】本題考查數形結合、整理信息，將圖形轉化為數據，猜想規(guī)律、探求結論．抓住其中的黑色瓷磚數目的變化規(guī)律，結合圖形，觀察其變化