江蘇省蘇州市吳江區(qū)汾湖中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題含解析

江蘇省蘇州市吳江區(qū)汾湖中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若，則（）A.1 B.2C.4 D.82．在四棱錐中，底面是正方形，為的中點(diǎn)，若，則（）A B.C. D.3．已知雙曲線的離心率為5，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為()A. B.C. D.4．已知在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)Q(4，0)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l：上存在點(diǎn)P滿足.則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A. B.C. D.5．如圖，在三棱錐中，，，，點(diǎn)在平面內(nèi)，且，設(shè)異面直線與所成角為，則的最大值為（）A. B.C. D.6．設(shè)，直線與直線平行，則（）A. B.C. D.7．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的s值為()A.8 B.9C.27 D.368．函數(shù)的圖像大致是（）A. B.C. D.9．已知，為橢圓的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，若，則P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（）A. B.C.4 D.910．在等差數(shù)列中，為其前項(xiàng)和，若．則（）A. B.C. D.11．已知圓與圓相交于A、B兩點(diǎn)，則圓上的動(dòng)點(diǎn)P到直線AB距離的最大值為（）A. B.C. D.12．已知定義在上的函數(shù)滿足下列三個(gè)條件：①當(dāng)時(shí)，；②的圖象關(guān)于軸對稱；③，都有.則、、的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為，過作x軸垂線交橢圓于點(diǎn)P，若為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是___________.14．函數(shù)定義域?yàn)開__________.15．曲線在點(diǎn)處的切線方程是______.16．已知圓，過點(diǎn)作圓O的切線，則切線方程為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，滿足，已知點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，曲線在處的切線為.（1）求切線的傾斜角的取值范圍；（2）若過點(diǎn)可作曲線的三條切線，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．（12分）如圖，在三棱柱中，＝2，且，⊥底面ABC．E為AB中點(diǎn)（1）求證：平面；（2）求平面與平面CEB夾角的余弦值19．（12分）已知兩條直線，.設(shè)為實(shí)數(shù)，分別根據(jù)下列條件求的值.（1）；（2）直線在軸、軸上截距之和等于.20．（12分）已知函數(shù)在處的切線垂直于直線.（1）求（2）求的單調(diào)區(qū)間21．（12分）在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面橫線上，并解答.在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且___________.（1）求角的大?。唬?）已知，，點(diǎn)在邊上，且，求線段的長.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.22．（10分）已知數(shù)列為正項(xiàng)等比數(shù)列，滿足，，數(shù)列滿足（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列滿足，證明：數(shù)列的前n項(xiàng)和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】由題意結(jié)合導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算可得，再由導(dǎo)數(shù)的概念即可得解.【詳解】由題意，所以，所以.故選：D.2、C【解析】由為的中點(diǎn)，根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得，即可求解.【詳解】由底面是正方形，E為的中點(diǎn)，且，根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得.故選：C.3、D【解析】雙曲線離心率公式和a、b、c的關(guān)系即可求得m，從而得到雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】∵雙曲線，∴，又，∴，∵離心率為，∴，解得，∴雙曲線方程.故選：D.4、A【解析】根據(jù)給定直線設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再借助列出關(guān)于的不等式，然后由不等式有解即可計(jì)算作答.【詳解】因點(diǎn)P在直線l：上，則設(shè)，于是有，而，因此，，即，依題意，上述關(guān)于的一元二次不等式有實(shí)數(shù)解，從而有，解得，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是.故選：A5、D【解析】設(shè)線段的中點(diǎn)為，連接，過點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，證明出平面，然后以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，其中，且，求出的最大值，利用空間向量法可求得的最大值.【詳解】設(shè)線段的中點(diǎn)為，連接，，為的中點(diǎn)，則，，則，，同理可得，，，平面，過點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，因?yàn)椋?，為等邊三角形，故為的中點(diǎn)，平面，平面，則，，，平面，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)槭沁呴L為的等邊三角形，為的中點(diǎn)，則，則、、、，由于點(diǎn)在平面內(nèi)，可設(shè)，其中，且，從而，因?yàn)?，則，所以，，故當(dāng)時(shí)，有最大值，即，故，即有最大值，所以，.故選：D.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求空間角的常用方法：（1）定義法：由異面直線所成角、線面角、二面角的定義，結(jié)合圖形，作出所求空間角，再結(jié)合題中條件，解對應(yīng)的三角形，即可求出結(jié)果；（2）向量法：建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，通過計(jì)算向量的夾角（兩直線的方向向量、直線的方向向量與平面的法向量、兩平面的法向量）的余弦值，即可求得結(jié)果.6、C【解析】根據(jù)直線平行求解即可.【詳解】因?yàn)橹本€與直線平行，所以，即，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足題意.故選：C7、B【解析】執(zhí)行程序框圖，第一次循環(huán)，，滿足；第二次循環(huán)，，滿足；第三次循環(huán)，，不滿足，輸出，故選B.【方法點(diǎn)睛】本題主要考查程序框圖的循環(huán)結(jié)構(gòu)流程圖，屬于中檔題.解決程序框圖問題時(shí)一定注意以下幾點(diǎn)：(1)不要混淆處理框和輸入框；(2)注意區(qū)分程序框圖是條件分支結(jié)構(gòu)還是循環(huán)結(jié)構(gòu)；(3)注意區(qū)分當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)和直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)；(4)處理循環(huán)結(jié)構(gòu)的問題時(shí)一定要正確控制循環(huán)次數(shù)；(5)要注意各個(gè)框的順序,（6）在給出程序框圖求解輸出結(jié)果的試題中只要按照程序框圖規(guī)定的運(yùn)算方法逐次計(jì)算，直到達(dá)到輸出條件即可.8、B【解析】由導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性及指數(shù)的增長趨勢即可判斷.【詳解】當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞減，排除A、D；又由指數(shù)函數(shù)增長趨勢，排除C.故選：B9、B【解析】設(shè)，，根據(jù)向量的數(shù)量積得到，與橢圓方程聯(lián)立，即可得到答案；【詳解】設(shè)，，，與橢圓聯(lián)立，解得：，故選：B10、C【解析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式可求得的值.【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式可得.故選：C.11、A【解析】判斷圓與的位置并求出直線AB方程，再求圓心C到直線AB距離即可計(jì)算作答.【詳解】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，，，即圓與相交，直線AB方程為：，圓的圓心，半徑，點(diǎn)C到直線AB距離的距離，所以圓C上的動(dòng)點(diǎn)P到直線AB距離的最大值為.故選：A12、A【解析】推導(dǎo)出函數(shù)為偶函數(shù)，結(jié)合已知條件可得出，，，利用導(dǎo)數(shù)可知函數(shù)在上為減函數(shù)，由此可得出、、的大小關(guān)系.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于軸對稱，則，故，，又因?yàn)?，都有，所以，，所以，，，，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，且不恒為零，故函數(shù)在上為減函數(shù)，因?yàn)?，則，故.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##【解析】以為等腰直角三角形列方程組可得之間的關(guān)系式，進(jìn)而求得橢圓的離心率.【詳解】橢圓的左、右焦點(diǎn)為，點(diǎn)P由為等腰直角三角形可知，，即可化為，故或（舍）故答案為：14、【解析】根據(jù)函數(shù)定義域的求法，即可求解.【詳解】解：,解得,故函數(shù)的定義域?yàn)?.故答案為：.15、x-y-2=0【解析】解：因?yàn)榍€在點(diǎn)（1,－1）處的切線方程是由點(diǎn)斜式可知為x-y-2=016、或【解析】首先判斷點(diǎn)圓位置關(guān)系，再設(shè)切線方程并聯(lián)立圓的方程，根據(jù)所得方程求參數(shù)k，即可寫出切線方程.【詳解】由題設(shè)，，故在圓外，根據(jù)圓及，知：過作圓O的切線斜率一定存在，∴可設(shè)切線為，聯(lián)立圓的方程，整理得，∴，解得或.∴切線方程為或.故答案為：或.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)題意求出值，求導(dǎo)后通過導(dǎo)數(shù)的值域求出斜率范圍，從而得到傾角范圍.（2）利用導(dǎo)數(shù)幾何意義得到過P點(diǎn)的切線方程，化簡后構(gòu)造m的函數(shù)，求新函數(shù)的極大值極小值即可.【小問1詳解】因?yàn)椋瑒t，解得，所以，則，故，，，，，切線的傾斜角的的取值范圍是，，.小問2詳解】設(shè)曲線與過點(diǎn)，的切線相切于點(diǎn)，則切線的斜率為，所以切線方程為因?yàn)辄c(diǎn)，在切線上，所以，即，由題意，該方程有三解設(shè)，則，令，解得或，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故的極小值為，極大值為，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.18、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）連接與交于點(diǎn)O，連接OE，得到，再利用線面平行的判定定理證明即可；（2）根據(jù)，底面，建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的一個(gè)法向量，再根據(jù)底面，得到平面一個(gè)法向量，然后由夾角公式求解.【小問1詳解】如圖所示：連接與交于點(diǎn)O，連接OE，如圖，由分別為的中點(diǎn)所以，又平面，平面，所以平面；【小問2詳解】由，底面，故底面建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為：，則，即，令，則，則，因?yàn)榈酌?，所以為平面一個(gè)法向量，所以所以平面與平面CEB夾角的余弦值為.19、（1）；（2）.【解析】（1）由兩直線平行可得出關(guān)于的等式，求出的值，再代入兩直線方程，驗(yàn)證兩直線是否平行，由此可得出結(jié)果；（2）分析可知，求出直線在軸、軸上的截距，結(jié)合已知條件可得出關(guān)于的等式，即可解得的值.【小問1詳解】解：由，則，即，解得或.當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)重合，不合乎題意.綜上所述，；【小問2詳解】解：對于直線，由已知可得，則，令，得；令，得.因?yàn)橹本€在軸、軸上截距之和等于，即，解得.20、（1）；（2）在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增【解析】（1）由題意求導(dǎo)可得，代入可得（1），從而求，進(jìn)而求切線方程；（2）的定義域?yàn)?，，從而求單調(diào)性【詳解】解：（1）因?yàn)樵谔幥芯€垂直于，所以（2）因?yàn)榈亩x域?yàn)楫?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.21、（1）（2）【解析】（1）若選①，則根據(jù)正弦定理，邊化角，結(jié)合二倍角公式，求得，可得答案；若選②，則根據(jù)余弦定理和三角形面積公式，將化簡，求得，可得答案；若選③，則切化弦，化簡可得到的值，求得答案；（2）由余弦定理求出，進(jìn)而求得,設(shè)，，在中用余弦定理列出方程，求得答案.【小問1詳解】若選①，則根據(jù)正弦定理可得：，由于,，故，則；若選②，則，即，則，而