高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專(zhuān)題1第3講基本初等函數(shù)及函數(shù)的應(yīng)用

第3講根本初等函數(shù)及函數(shù)的應(yīng)用1.要點(diǎn)知識(shí)整合2.2．指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱(chēng)，指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)見(jiàn)下表：3.指數(shù)函數(shù)y＝ax對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax定義域(－∞，＋∞)(0，＋∞)值域(0，＋∞)(－∞，＋∞)不變性恒過(guò)定點(diǎn)(0,1)恒過(guò)定點(diǎn)(1,0)增減性a>1時(shí)為增函0<a<1時(shí)為減函數(shù)數(shù)，a>1時(shí)為增函數(shù)，0<a<1時(shí)為減函數(shù)奇偶性非奇非偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)反函數(shù)f－1(x)＝logax(a>0且a≠1)f－1(x)＝ax(a>0且a≠1)圖象特征圖象始終在x軸上方圖象始終在y軸右側(cè)4.3.函數(shù)與方程(1)函數(shù)的零點(diǎn)對(duì)于函數(shù)f(x)，我們把使f(x)＝0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)f(x)的零點(diǎn)．(2)零點(diǎn)存在性定理如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有f(a)·f(b)<0，那么函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0.5.注意以下兩點(diǎn)：①滿足條件的零點(diǎn)可能不唯一；②不滿足條件時(shí)，也可能有零點(diǎn)．6.題型一二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)熱點(diǎn)突破探究典例精析例1設(shè)二次函數(shù)f(x)＝x2＋x＋c(c＞0)，假設(shè)f(x)＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1、x2(x1＜x2)．(1)求正實(shí)數(shù)c的取值范圍；(2)求x2－x1的取值范圍；(3)如果存在一個(gè)實(shí)數(shù)m，使f(m)＜0，求證：m＋1＞x2.7.8.9.【題后拓展】理清二次函數(shù)、一元二次方程及一元二次不等式之間的關(guān)系：(1)Δ<0?f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象與x軸無(wú)交點(diǎn)?ax2＋bx＋c＝0無(wú)實(shí)根?ax2＋bx＋c>0(<0)的解集為?或R；(2)Δ＝0?f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象與x軸相切?ax2＋bx＋c＝0有兩個(gè)相等的實(shí)根；(3)Δ>0?f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)?ax2＋bx＋c＝0有兩個(gè)不等的實(shí)根．10.變式訓(xùn)練1．函數(shù)f(x)＝x2＋bx＋c(b，c∈R)，且x≤1時(shí)，f(x)≥0,1≤x≤3時(shí)，f(x)≤0恒成立．(1)求b，c之間的關(guān)系．(2)當(dāng)c>－1時(shí)，是否存在實(shí)數(shù)m使得g(x)＝f(x)－m2x在區(qū)間(0，＋∞)上是單調(diào)遞增函數(shù)？假設(shè)存在，求出m的取值范圍；假設(shè)不存在，說(shuō)明理由．11.12.題型二指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)例213.14.15.16.17.18.(3)法二是充分利用函數(shù)f(x)的性質(zhì)，對(duì)定義域{x|x>a或x<0}內(nèi)的x排除了x<0后，尋找f(x)＝1是解題的關(guān)鍵．變式訓(xùn)練19.20.題型三函數(shù)的零點(diǎn)例321.22.由圖象知零點(diǎn)存在于區(qū)間(1，e)內(nèi)．【答案】D23.【題后歸納】函數(shù)零點(diǎn)(方程的根)確實(shí)定問(wèn)題，常見(jiàn)的類(lèi)型有：(1)零點(diǎn)或零點(diǎn)存在區(qū)間確實(shí)定；(2)零點(diǎn)個(gè)數(shù)確實(shí)定；(3)兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)或有幾個(gè)交點(diǎn)確實(shí)定．解決這類(lèi)問(wèn)題的常用方法有：解方程法、利用零點(diǎn)存在的判定或數(shù)形結(jié)合法，尤其是那些方程兩端對(duì)應(yīng)的函數(shù)類(lèi)型不同的方程多以數(shù)形結(jié)合法求解．24.變式訓(xùn)練3．函數(shù)f(x)＝mx2－2x＋1有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)的零點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．(－∞，1]B．(－∞，0]∪{1}C．(－∞，0)∪(0,1]D．(－∞，1)解析：選B.當(dāng)m＝0時(shí)，x＝為函數(shù)的零點(diǎn)；當(dāng)m≠0時(shí)，假設(shè)Δ＝0，即m＝1時(shí)，x＝1是函數(shù)惟一的零點(diǎn)，假設(shè)Δ≠0，顯然x＝0不是函數(shù)的零點(diǎn)，這樣函數(shù)有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)零點(diǎn)等價(jià)于方程mx2－2x＋1＝0有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根，即mf(0)<0，即m<0.應(yīng)選B.25.題型四函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用例426.(1)將2021年該產(chǎn)品的利潤(rùn)y(萬(wàn)元)表示為年促銷(xiāo)費(fèi)用m(萬(wàn)元)的函數(shù)；(2)該廠家2021年的促銷(xiāo)費(fèi)用投入多少萬(wàn)元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大？27.28.29.【題后拓展】函數(shù)應(yīng)用主要是指運(yùn)用函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性以及用函數(shù)的圖象解決函數(shù)的綜合問(wèn)題，注意運(yùn)用函數(shù)知識(shí)解決貼近生產(chǎn)、生活、科研中的實(shí)際問(wèn)題．函數(shù)應(yīng)用主要表達(dá)函數(shù)與方程的思想、等價(jià)轉(zhuǎn)換的思想、數(shù)形結(jié)合的思想、分類(lèi)討論的思想等數(shù)學(xué)思想的綜合運(yùn)用，以及函數(shù)知識(shí)與其他數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合運(yùn)用．30.(1)把年利潤(rùn)表示為年產(chǎn)量x(百件)(x≥0)的函數(shù)f(x)；(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少件時(shí)，公司可獲得最大年利潤(rùn)？變式訓(xùn)練31.32.33.方法突破例設(shè)y＝(log2x)2＋(t－2)log2x－t＋1，假設(shè)t在[－2,2]上變化時(shí)，y恒取正值，求x的取值范圍．【解】設(shè)y＝f(t)＝(log2x－1)t＋(log2x)2－2log2x＋1，那么f(t)是一次函數(shù)，當(dāng)t∈[－2,2]時(shí)，f(t)>0恒成立．34.35.【題后點(diǎn)評(píng)】此題外表上看是有限制條件的函數(shù)的定義域問(wèn)題，但如果換一個(gè)角度來(lái)考慮，由于t在[－2,2]上變化，我們那么可以把y看作是t的函數(shù)，而此時(shí)是關(guān)于t的一次函數(shù)，原命題的陳述方式改變：關(guān)于t的一次函數(shù)y，當(dāng)自變量t在[－2,2]上變化時(shí)，y恒大于零，求字母x的取值范圍，從而到達(dá)解題的目的．此題為常量與變量的轉(zhuǎn)化，即在處理多元問(wèn)題時(shí)，選取其中的常量(或參數(shù))當(dāng)“主元〞，其他的變量看作常量．36.高考動(dòng)態(tài)聚焦考情分析從近幾年高考來(lái)看，本講高考命題有以下特點(diǎn)：1．涉及二次函數(shù)及其應(yīng)用的題連年出現(xiàn)，且二次函數(shù)最值、二次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題在2021年高考中屢次出現(xiàn)．2．指數(shù)與指數(shù)函數(shù)在高考中處于次要位置，高考中往往以根底知識(shí)為主，如數(shù)值的計(jì)算、數(shù)值的大小比37.較等，有時(shí)也與函數(shù)的根本性質(zhì)、二次函數(shù)、方程、不等式等內(nèi)容結(jié)合起來(lái)出現(xiàn)在綜合題中．3．作為新課標(biāo)所新增函數(shù)零點(diǎn)、二分法等在高考選擇題中有所表達(dá)．4．高考對(duì)函數(shù)的綜合應(yīng)用方面的考查要求較高，近幾年的高考試題中，根本上每套題都有一道難度較大的綜合題(有些題目與導(dǎo)數(shù)有一定聯(lián)系，實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題較少出現(xiàn))，重點(diǎn)考查學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．38.真題聚焦1．(2021年高考四川卷)2log510＋log50.25＝()A．0B．1C．2D．4解析：選C.2log510＋log50.25＝log5102＋log50.25＝log5(100×0.25)＝log525＝2.應(yīng)選C.39.2．(2021年高考四川卷)函數(shù)f(x)＝x2＋mx＋1的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱(chēng)的充要條件是()A．m＝－2B．m＝2C．m＝－1D．m＝1解析：選A.法一：∵函數(shù)y＝f(x)關(guān)于x＝1對(duì)稱(chēng)的充要條件是f(x)＝f(2－x)，∴x2＋mx＋1＝(2－x)2＋m(2－x)＋1，化簡(jiǎn)得(m＋2)x＝