專題05利用基本不等式求最值（解析版）

專題05利用基本不等式求最值考點預(yù)測：1.重要不等式，有，當且僅當時，等號成立.2.基本不等式如果，，則，當且僅當時，等號成立.叫做正數(shù)，的算術(shù)平均數(shù)，叫做正數(shù)，的幾何平均數(shù).基本不等式表明：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).3.與基本不等式相關(guān)的不等式（1）當時，有，當且僅當時，等號成立.（2）當，時，有，當且僅當時，等號成立.（3）當時，有，當且僅當時，等號成立.4.利用基本不等式求最值已知，，那么（1）如果積等于定值，那么當時，和有最小值；（2）如果和等于定值，那么當時，積有最大值.【典型例題】例1．（2022·吉林·東北師大附中高一階段練習(xí)）（1）已知，求的最小值；（2）已知，，且，求的最小值．【解析】（1）當時，，（當且僅當，即時取等號），的最小值為；（2）由得：，（當且僅當，即，時取等號），，即的最小值為.例2．（2022·山東·惠民縣第二高一階段練習(xí)）已知正數(shù)滿足.(1)求的取值范圍；(2)求的最小值.【解析】（1）因為是正數(shù)，且，所以由基本不等式得，即，所以，當且僅當時，取等號；因為是正數(shù)，所以，所以的取值范圍；（2）因為正數(shù)滿足，所以，當且僅當即時，取等號，所以的最小值為18例3．（2022·全國·高一課時練習(xí)）為響應(yīng)國家擴大內(nèi)需的政策，某廠家擬在2019年舉行促銷活動，經(jīng)調(diào)查測算，該產(chǎn)品的年銷量(即該廠的年產(chǎn)量)x萬件與年促銷費用t(t≥0)萬元滿足(k為常數(shù))．如果不搞促銷活動，則該產(chǎn)品的年銷量只能是1萬件．已知2019年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為6萬元，每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入12萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價格定為每件產(chǎn)品平均成本的1.5倍(產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分)．(1)將該廠家2019年該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為年促銷費用t萬元的函數(shù)；(2)該廠家2019年的年促銷費用投入多少萬元時廠家利潤最大？【解析】（1）由題意有，得故∴（2）由（1）知：當且僅當即時，有最大值.答:2019年的年促銷費用投入2.5萬元時，該廠家利潤最大.例4．（2022·河南·鄭州市回民高級高一階段練習(xí)）（1）已知，，求的取值范圍；（2）已知x，y，z都是正數(shù)，求證：．【解析】（1）令所以，得所以因為，所以，所以，即故的取值范圍為．（2）證明：由x，y，z都是正數(shù)，則，，相加可得，，當且僅當時，取得等號．【過關(guān)測試】一、單選題1．（2022·吉林·東北師大附中高一階段練習(xí)）的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由得：；（當且僅當，即時取等號），的最大值為.故選：D.2．（2022·吉林·東北師大附中高一階段練習(xí)）已知x，y為非零實數(shù)，則下列不等式不恒成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】對于A：因為，為非零實數(shù)，所以，則，即，當且僅當時取等號，故A正確；對于B：當、異號時，故B錯誤；對于C：，當且僅當，即時取等號，故C正確；對于D：，當且僅當時取等號，故D正確；故選：B3．（2022·吉林·東北師大附中高一階段練習(xí)）的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】因為，所以，當且僅當，即時取等號；故選：C4．（2022·全國·高一課時練習(xí)）某大型廣場計劃進行升級改造．改造的重點工程之一是新建一個矩形音樂噴泉綜合體，該項目由矩形核心噴泉區(qū)（陰影部分）和四周的綠化帶組成．規(guī)劃核心噴泉區(qū)的面積為，綠化帶的寬分別為2m和5m（如圖所示）．當整個項目占地面積最小時，核心噴泉區(qū)的邊的長度為（

）A．20m B．50m C．m D．100m【答案】B【解析】設(shè)，則，所以，當且僅當，即時，等號成立，所以當BC的長度為50m時，整個項目占地面積最小．故選：B．5．（2022·全國·高一課時練習(xí)）三國時期趙爽在《勾股方圓圖注》中，對勾股定理的證明可用現(xiàn)代數(shù)學(xué)表述為如圖所示，我們教材中利用該圖作為幾何解釋的是（

）A．如果，那么B．如果，那么C．如果，那么D．對任意實數(shù)a和b，有，當且僅當時，等號成立【答案】D【解析】直角三角形的兩直角邊長分別為，斜邊長為，則，在正方形的面積為，四個直角三角形的面積和為，因此有，即，當且僅當時，中間沒有小正方形，等號成立．故選：D．6．（2022·青海青?！じ咭黄谀┮阎獂，y都是正數(shù)，若，則的最小值為（

）A． B． C． D．1【答案】B【解析】因為，所以．因為x，y都是正數(shù)，由基本不等式有：，所以，當且僅當即時取“＝”．故A，C，D錯誤.故選：B．7．（2022·湖北·沙市高一階段練習(xí)）若兩個正實數(shù)滿足，若至少存在一組使得成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】至少存在一組使得成立，即，又由兩個正實數(shù)滿足，可得，當且僅當，即時，等號成立，，故有，解得，故，所以實數(shù)的取值范圍是故選：C.8．（2022·全國·高一課時練習(xí)）若不等式對任意正數(shù)a，b恒成立，則實數(shù)x的最大值為（

）A． B．3 C． D．1【答案】C【解析】∵不等式對任意正數(shù)a，b恒成立，∴（，）恒成立，∵，當且僅當且，即時等號成立.∴.故選：C.二、多選題9．（2022·江蘇省如皋高一開學(xué)考試）下列命題中，真命題的是（

）A．，都有 B．，使得C．任意非零實數(shù)，都有 D．函數(shù)的最小值為【答案】AB【解析】對于A，，所以，都有成立，故為真命題.對于B，顯然當時，成立，故為真命題.對于C，當時，則，故不成立，為假命題.對于D，，當且僅當時，取等號，即，顯然無解，即取不到最小值，故不成立，為假命題.故選:AB.10．（2022·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】ABC【解析】∵，，∴，∴，∴.，∴，故A正確；，∴，故B正確；∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故C正確；∵，∴，∵，∴，，∴，∴，故D不正確.故選：ABC11．（2022·湖南·株洲高一開學(xué)考試）若正實數(shù)滿足，則下列說法正確的是（

）A．有最小值 B．有最大值C．有最小值 D．有最小值【答案】BCD【解析】由正實數(shù)滿足，則，當且僅當時，等號成立，所以的最大值為，故A選項錯誤；由，則，當且僅當時，等號成立，所以有最大值，故B選項正確；由，當且僅當時，等號成立，所以有最小值，故C選項正確；由，當且僅當時，等號成立，所以有最小值，故D選項正確.故選：BCD.12．（2022·湖北黃石·高一期末）下列說法正確的有（

）A．若，則的最大值是-1B．若，，都是正數(shù)，且，則的最小值是3C．若，，，則的最小值是2D．若實數(shù)，滿足，則的最大值是【答案】ABD【解析】對于A，因為，所以，所以，所以，當且僅當，即時等號成立，所以的最大值為-1，故A正確；對于B，因為，，都是正數(shù)，且，所以，所以，當且僅當，即即時等號成立，所以的最小值為3，故B正確；對于C，因為，，所以，即（當且僅當時等號成立），因為，所以，所以，所以，解得(舍去)或，當且僅當時等號成立，所以的最小值為4，故C錯誤；對于D，令，，則，，因為，所以，同號，則，同號，所以，當且僅當，即時取等號，所以的最大值是，故D正確，故選：ABD．三、填空題13．（2022·河南·高一階段練習(xí)）若，則的最小值為___________.【答案】【解析】，當且僅當時，取得最小值.故答案為：.14．（2022·全國·高一階段練習(xí)）若“，不等式恒成立”為真命題，則實數(shù)a的取值范圍是______．【答案】【解析】由基本不等式可知，（當且僅當x＝1時取“＝”），因為“，不等式恒成立”，故,故答案為：15．（2022·全國·高一單元測試）已知為正實數(shù)，則的最小值為__________．【答案】6【解析】由題得，設(shè)，則.當且僅當時取等.所以的最小值為6.故答案為：616．（2022·四川南充·高一期末（文））若實數(shù)，滿足，則的取值范圍為______．【答案】【解析】由于，(當且僅當時取等號)，∴，又，所以，故，即的取值范圍為.故答案為：．四、解答題17．（2022·江蘇省如皋高一開學(xué)考試）（1）求函數(shù)的最小值.（2）已知，，且，求的最小值.【解析】（1），，，當且僅當時，即時，函數(shù)有最小值；（2）由題意，，又，，，當且僅當，即是等號成立，結(jié)合，知時，有最小值為.18．（2022·福建省永泰縣第一高一開學(xué)考試）（1）已知，且，求的最大值.（2）已知a，b是正數(shù)，且滿足，求的最小值.【解析】（1）因為，即，由基本不等式可得，即當且僅當時，即，等號成立.所以的最大值為（2）由基本不等式，可得當且僅當，即當時，等號成立，所以的最小值為19．（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知a，b，c均為正實數(shù).(1)求證：.(2)若，求證：.【解析】（1）因為a，b，c都是正數(shù)，所以，當且僅當時，等號成立，所以；（2），當且僅當時等號成立.∴.20．（2022·全國·高一專題練習(xí)）如圖，某人計劃用籬笆圍成一個一邊靠墻（墻的長度沒有限制）的矩形菜園．設(shè)菜園的長為xm，寬為ym．(1)若菜園面積為72m2，則x，y為何值時，可使所用籬笆總長最小？(2)若使用的籬笆總長度為30m，求的最小值．【解析】（1）由已知可得xy＝72，而籬笆總長為x+2y．又∵x+2y≥224，當且僅當x＝2y，即x＝12，y＝6時等號成立．∴菜園的長x為12m，寬y為6m時，可使所用籬笆總長最?。?）由已知得x+2y＝30，又∵（）?（x+2y）＝55+29，∴，當且僅當x＝y(tǒng)，即x＝10，y＝10時等號成立．∴的最小值是．21．（2022·河南·高一階段練習(xí)）已知，且.(1)求的最小值.(2)是否存在正實數(shù)，使得？請說明理由.【