專題6雙變量問(wèn)題（學(xué)生版）

專題6：雙變量問(wèn)題<<<專題綜述>>><<<專題綜述>>>雙變量問(wèn)題顧名思義，題設(shè)情境是以雙變量的形式呈現(xiàn)的綜合性問(wèn)題，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的雙變量問(wèn)題在高中函數(shù)與導(dǎo)數(shù)知識(shí)模塊中屬于重難點(diǎn)問(wèn)題，往往會(huì)作為壓軸題出現(xiàn)，同時(shí)雙變量問(wèn)題的出題形式以及出題結(jié)構(gòu)相對(duì)靈活，考察的具體內(nèi)容也可與其他知識(shí)模塊進(jìn)行融合，這就導(dǎo)致雙變量函數(shù)問(wèn)題具有一定的綜合應(yīng)用的特點(diǎn)，在解答此類問(wèn)題的過(guò)程中應(yīng)分析雙變量函數(shù)問(wèn)題的基本形式，并將基本形式與引入?yún)?shù)、等價(jià)轉(zhuǎn)化、分離參數(shù)等基本方法的應(yīng)用相結(jié)合，進(jìn)而完成題型的定位，確定雙變量函數(shù)問(wèn)題的整體求解策略.函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的雙變量問(wèn)題在解答過(guò)程中，應(yīng)從兩方面分析參數(shù)之間的制約關(guān)系，一方面會(huì)表現(xiàn)為參數(shù)變量之間的確定性的數(shù)量關(guān)系，借助此類數(shù)量關(guān)系，可將兩類變量進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化；另一方面，此類雙變量問(wèn)題會(huì)變化成一種動(dòng)態(tài)的制約關(guān)系，這種制約關(guān)系往往會(huì)表現(xiàn)為一種參數(shù)變化的趨勢(shì).又可分成兩類題型，一是求參變量的取值范圍類問(wèn)題，二是含有參數(shù)的雙變量證明問(wèn)題，這兩類題型屬于構(gòu)造函數(shù)的范疇.<<<專題探究>>><<<專題探究>>>一、雙變量函數(shù)問(wèn)題的解題策略:1.引入?yún)?shù)：引入?yún)?shù)法處理的問(wèn)題多與參數(shù)的單調(diào)性以及最值問(wèn)題相關(guān)，在進(jìn)入此類新參數(shù)的過(guò)程中，應(yīng)注意構(gòu)造合理的新函數(shù)；2.等價(jià)轉(zhuǎn)化：等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想是數(shù)學(xué)解題過(guò)程中的關(guān)鍵思想，在此類思想的引導(dǎo)下，可將題目中的不同參數(shù)依據(jù)固定的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而達(dá)成參數(shù)形式上的統(tǒng)一形式；3.分離參數(shù)：應(yīng)用分離參數(shù)解題方法的過(guò)程中，應(yīng)對(duì)初始的函數(shù)形式進(jìn)行一定的變化，將自變量與其中的參數(shù)系數(shù)進(jìn)行分離，在分離參數(shù)之后，可獲得包含單一參數(shù)的函數(shù)形式，相應(yīng)的最值可有效確定；4.構(gòu)造函數(shù)，(1)轉(zhuǎn)化為函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題，無(wú)論是證明題還是求參數(shù)范圍問(wèn)題，解題思路是設(shè)定兩個(gè)未知量的大小關(guān)系，然后構(gòu)造出所需要的函數(shù)，進(jìn)而使用單調(diào)性來(lái)判斷不等式成立或?qū)握{(diào)性轉(zhuǎn)化為參數(shù)恒成立問(wèn)題.(2)找兩個(gè)變量之間的關(guān)系，然后將雙變量轉(zhuǎn)化為單變量即可；用其中一個(gè)變量作為自變量而另外一個(gè)變量作為常數(shù)來(lái)用，確定主變?cè)D(zhuǎn)化為單變量問(wèn)題,也可以將兩個(gè)變量的和或商作為一個(gè)新變?cè)?二、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題的求解策略：1.通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2.利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題；3.根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問(wèn)題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問(wèn)題的區(qū)別．題型一：題型一：構(gòu)造函數(shù)法題設(shè)情境是由函數(shù)的的單調(diào)性參數(shù)的取值范國(guó)，求與函數(shù)的極值點(diǎn)相關(guān)解析式的取值范圍.第（1）問(wèn)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的基本方法，由函數(shù)的單調(diào)遞增的充要條件，即函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)大于或等于0恒成立，求參數(shù)的取值范圍；第（2）問(wèn)應(yīng)用等價(jià)轉(zhuǎn)換技巧及函數(shù)存在極值點(diǎn)的必要條件，借助函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)的臨界位置（函數(shù)相關(guān)切線），求得參數(shù)a的參值范圍,然后由函數(shù)的極值點(diǎn)的充分條件，應(yīng)用方程思想和數(shù)學(xué)建模方琺,通過(guò)“消參、換元，構(gòu)造函數(shù)”等技巧而解決問(wèn)題.例1（湖北省九師聯(lián)盟20222023學(xué)年高三上學(xué)期11月質(zhì)量檢測(cè)）已知函數(shù)fx=e（1）若函數(shù)fx在[0,+∞上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)（2）若函數(shù)fx存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2x【思路點(diǎn)撥】第（1）問(wèn)由題設(shè)函數(shù)fx在(0,+∞上單調(diào)遞增，轉(zhuǎn)化為f'x=ex-ax-2a≥0恒成立,參變分離得exx+2≥a在0,+∞上恒成立.構(gòu)造函數(shù)gx=exx+2,x∈(0,+∞，利用導(dǎo)數(shù)判g(shù)x的最小值，即可求出a的取值范圍；第(2)問(wèn)由fx有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2，推導(dǎo)實(shí)數(shù)a的取值范圍及x1，x2練1（湖北省黃岡市20222023學(xué)年高三上學(xué)期階段性質(zhì)量抽測(cè)）已知函數(shù)fx=-1+2e（1）當(dāng)a=-12（2）當(dāng)a>0時(shí)，若f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2，且f練2（河北南宮中學(xué)2023屆高三上學(xué)期12月月考）已知函數(shù)f(x)=e-xx2（1）若m=2，求曲線y=f(x)在點(diǎn)0,f0（2）若函數(shù)f(x)有3個(gè)極值點(diǎn)x1,x（i）求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（ii）證明：x3題型二：題型二：主變?cè)兏皯?yīng)用題設(shè)情境是應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究方程的解和多變量的恒成立問(wèn)題.第（1）問(wèn)由兩函數(shù)的導(dǎo)數(shù)構(gòu)造方程，然后研究函數(shù)單調(diào)性及最值得到方程的解，即得t的值；第（2）問(wèn)首先視a為主變?cè)獦?gòu)造函數(shù),由研究不等式恒成立相關(guān)的方法得到其最小值,由最小值的結(jié)構(gòu)特征,即關(guān)于b、k的解析式,然后視b為主變?cè)?造構(gòu)相應(yīng)的函數(shù),應(yīng)用分類與整合思想求參變量k的取值范圍.例2（河北省2022屆高考臨考信息（預(yù)測(cè)演練））已知函數(shù)fx=e（1）若k=1,f't=g't（2）若a,b∈R+，fa【思路點(diǎn)撥】第(1)問(wèn)由題設(shè)條件k=1，f't=g't，得et-lnt+1-1=0,應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究上述方程的根,即得實(shí)數(shù)t的值；第(2)題構(gòu)造函數(shù)h(x)=f(x)-bx+gb-f(0)-g(0)=e練3（天津市咸水沽第一中學(xué)20212022學(xué)年高三上學(xué)期月考）已知函數(shù)fx（1）若fx單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a（2）若函數(shù)Fx=fx-3x+1有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2,練4（天津市咸水沽第一中學(xué)20202021學(xué)年高三上學(xué)期月考）已知函數(shù)fx=ax2+bx+1-1ex（1）若b=1，當(dāng)x≥0時(shí)，fx≥1，求實(shí)數(shù)（2）若b=0，fx存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，求證：題型三：題型三：比(差)值代換法及應(yīng)用題設(shè)情境是目標(biāo)函數(shù)含三角函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù),證明有關(guān)三角函數(shù)的不等式和與“零點(diǎn)”有關(guān)的不等式.第（1）問(wèn)由待證不等式構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性及最值證明不等式；第（2）問(wèn)首先應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合條件fx1=fx2確定a>0例3（2022屆重慶市高三上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)）已知函數(shù)fx=x-x∈0,(1)求證：2x<sinx+(2)若存在x1、x2∈0,π2，且當(dāng)【思路點(diǎn)撥】第（1）問(wèn)由題設(shè)構(gòu)造函數(shù)gx=2x-sinx-tanx,求其導(dǎo)數(shù)g'x=第（2）問(wèn)由、題設(shè)條件fx1=fsinx從而fx1=f然后通過(guò)恰當(dāng)構(gòu)造得aln利用sinx1-sinx練5（浙江省金華十校20222023學(xué)年高三上學(xué)期期末模擬）已知函數(shù)fx（a∈R（1）當(dāng)a≤e時(shí)，討論函數(shù)fx（2）若函數(shù)fx恰有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2（x1<x2練6（重慶市第八中學(xué)2023屆高三上學(xué)期高考適應(yīng)性月考）已知函數(shù)f(x)=x3+klnx(k∈R)，f'(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)．

(Ⅰ)當(dāng)k=6時(shí)，

(i)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程；

(ii)求函數(shù)g(x)=f(x)-f'(x)+9x的單調(diào)區(qū)間和極值；

(Ⅱ)當(dāng)k≥-3時(shí)，求證：對(duì)任意的x1，題型四：題型四：不等式恒(能)成立問(wèn)題用題設(shè)情境是求函數(shù)解析式及單調(diào)區(qū)間，含雙參數(shù)的不等式值成立向題.第（1）問(wèn)通過(guò)求導(dǎo)函數(shù)值與函數(shù)值而求得函數(shù)f(x)的解析式，然后應(yīng)用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的基本知識(shí)求出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；第（2）問(wèn)由f(x)≥12x2+ax+b對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)基本知識(shí)和分類討論數(shù)學(xué)思想求得該函數(shù)的最值，然后利用函數(shù)的最值恒非負(fù)得到關(guān)a,b不等式，將該不等式代入例4（2014年高考全國(guó)1卷）已知函數(shù)f(x)滿足滿足f(x)=f(1)求f(x)的解析式及單調(diào)區(qū)間；(2)若f(x)≥12x【思路點(diǎn)撥】（1）應(yīng)用賦值法求得f(0)和f'1的值,從而得到f(x)的解析式,然后應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)構(gòu)造函數(shù)hx=f(x)-12x2-ax-b=ex練7(2023·天津市期末)已知函數(shù)fx=1（1）若a>0，討論函數(shù)fx（2）設(shè)函數(shù)gx=-a+2x，若至少存在一個(gè)x0<<<專題訓(xùn)練>>><<<專題訓(xùn)練>>>1.（福建省福清市2023屆高三上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)fx（1）討論fx（2）若fx恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1，x22.（廣東省揭陽(yáng)市揭東區(qū)2023屆高三上學(xué)期月考數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)fx=-1+2ex（1）當(dāng)a=-12時(shí)，求（2）當(dāng)a>0時(shí)，若f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2，且f3.（天津市五校聯(lián)考20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)fx=(1)求函數(shù)fx(2)設(shè)t1，t2為兩個(gè)不等的正數(shù)，且t2lnt4.（2023.湖北省宜昌市聯(lián)考）已知函數(shù)fx=lnx-ax+2,gx=ex+1(1)試討論函數(shù)fx(2)當(dāng)a>0時(shí)，若對(duì)任意的x1∈0,+∞，x2∈5.（湖北省宜昌市協(xié)作體20222023學(xué)年高三期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)f(x)=ln（1）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2，求6.（福建省福州格致中學(xué)2023屆模擬）已知函數(shù)fx=x-sinx-tan(1)求證：2x<sinx+tanx，(2)若