第12章全等三角形（知識(shí)清單）（14個(gè)考點(diǎn)梳理典型例題核心素養(yǎng)提升中考熱點(diǎn)聚焦）（原卷版）

第12章全等三角形（知識(shí)清單）（14個(gè)考點(diǎn)梳理+典型例題+核心素養(yǎng)提升+中考熱點(diǎn)聚焦）【知識(shí)導(dǎo)圖】【知識(shí)清單】考點(diǎn)1.全等形的概念（重點(diǎn)）形狀、大小相同的圖形放在一起能夠完全重合.能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形.要點(diǎn)詮釋：一個(gè)圖形經(jīng)過(guò)平移、翻折、旋轉(zhuǎn)后，位置變化了，但形狀、大小都沒(méi)有改變，即平移、翻折、旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等.兩個(gè)全等形的周長(zhǎng)相等，面積相等.【例1】（2022秋?西鄉(xiāng)塘區(qū)校級(jí)期末）下列四個(gè)圖形中，屬于全等圖形的是（）A．①和② B．②和③ C．①和③ D．全部考點(diǎn)2.全等三角形的概念和表示方法（重點(diǎn)）能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫全等三角形.2.對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)角定義兩個(gè)全等三角形重合在一起，重合的頂點(diǎn)叫對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，重合的邊叫對(duì)應(yīng)邊，重合的角叫對(duì)應(yīng)角.要點(diǎn)詮釋：在寫兩個(gè)三角形全等時(shí)，通常把對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對(duì)應(yīng)位置上，這樣容易找出對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角.如下圖，△ABC與△DEF全等，記作△ABC≌△DEF，其中點(diǎn)A和點(diǎn)D，點(diǎn)B和點(diǎn)E，點(diǎn)C和點(diǎn)F是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)；AB和DE，BC和EF，AC和DF是對(duì)應(yīng)邊；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是對(duì)應(yīng)角.3.找對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角的方法（1）全等三角形對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊，兩個(gè)對(duì)應(yīng)角所夾的邊是對(duì)應(yīng)邊；（2）全等三角形對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角是對(duì)應(yīng)角，兩條對(duì)應(yīng)邊所夾的角是對(duì)應(yīng)角；（3）有公共邊的，公共邊是對(duì)應(yīng)邊；（4）有公共角的，公共角是對(duì)應(yīng)角；（5）有對(duì)頂角的，對(duì)頂角一定是對(duì)應(yīng)角；（6）兩個(gè)全等三角形中一對(duì)最長(zhǎng)的邊（或最大的角）是對(duì)應(yīng)邊（或角），一對(duì)最短的邊（或最小的角）是對(duì)應(yīng)邊（或角），等等.【例2】（2022秋·遼寧大連·八年級(jí)統(tǒng)考期中）下列說(shuō)法正確的是（

）A．兩個(gè)直角三角形一定全等 B．形狀相同的兩個(gè)三角形全等C．全等三角形的面積一定相等 D．面積相等的兩個(gè)三角形全等考點(diǎn)3全等三角形的性質(zhì)（重點(diǎn)）全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等.要點(diǎn)詮釋：全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等，對(duì)應(yīng)邊上的中線相等，周長(zhǎng)相等，面積相等.全等三角形的性質(zhì)是今后研究其它全等圖形的重要工具.【例3】（2023春·山東濟(jì)南·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，，若，則的長(zhǎng)度為（）A．2 B．5 C．10 D．15考點(diǎn)4.三角形全等的基本事實(shí)：邊邊邊（重點(diǎn)）三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.（可以簡(jiǎn)寫成“邊邊邊”或“SSS”）.要點(diǎn)詮釋：如圖，如果＝AB，＝AC，＝BC，則△ABC≌△.【例4】（2022秋·福建龍巖·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，，，求證：．考點(diǎn)5.用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已知角【例5】（2023春·安徽宿州·八年級(jí)?？计谥校┮阎?，求作．(不要求寫作法，但是必須保留作圖痕跡)考點(diǎn)6.三角形全等的基本事實(shí)：邊角邊（重點(diǎn)）1.全等三角形判定——“邊角邊”兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫成“邊角邊”或“SAS”）.要點(diǎn)詮釋：如圖，如果AB＝，∠A＝∠，AC＝，則△ABC≌△.注意：這里的角，指的是兩組對(duì)應(yīng)邊的夾角.2.有兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形不一定全等.如圖，△ABC與△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC與△ABD不完全重合，故不全等，也就是有兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形不一定全等.【例6】（2023春·四川達(dá)州·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，由，，，得的根據(jù)是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS考點(diǎn)7.三角形全等的基本事實(shí)：角邊角（重點(diǎn)）兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫成“角邊角”或“ASA”）.要點(diǎn)詮釋：如圖，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，則△ABC≌△.考點(diǎn)8.三角形全等的推論：角角邊（重點(diǎn)）1.全等三角形判定——“角角邊”兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫成“角角邊”或“AAS”）要點(diǎn)詮釋：由三角形的內(nèi)角和等于180°可得兩個(gè)三角形的第三對(duì)角對(duì)應(yīng)相等.這樣就可由“角邊角”判定兩個(gè)三角形全等，也就是說(shuō)，用角邊角條件可以證明角角邊條件，后者是前者的推論.2.三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等.如圖，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.這說(shuō)明，三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等.【例7】（2021秋·遼寧盤錦·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，，，連接交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)在線段上，且．求證：．考點(diǎn)9.直角三角形全等的判定方法：HL（重點(diǎn)）【例8】．（2023春·廣東梅州·八年級(jí)校考期中）已知：如圖，、是的高，且．求證：．考點(diǎn)10.常見全等三角形的基本圖形1、截長(zhǎng)補(bǔ)短有一類幾何題其命題主要證明三條線段長(zhǎng)段的“和”或“差”及其比例關(guān)系，這一類題目一般可以采取“截長(zhǎng)”或“補(bǔ)短”的方法來(lái)進(jìn)行求解。所謂“截長(zhǎng)”，就是將三者中最長(zhǎng)的那條線段一分為二，使其中的一條線段與已經(jīng)線段相等，然后證明其中的另一段與已知的另一段的大小關(guān)系。所謂“補(bǔ)短”，就是將一個(gè)已知的較短的線段延長(zhǎng)至與另一個(gè)已知的較短的長(zhǎng)度相等，然后求出延長(zhǎng)后的線段與最長(zhǎng)的已知線段關(guān)系。有的是采取截長(zhǎng)補(bǔ)短后，使之構(gòu)成某種特定的三角形進(jìn)行求解。2、倍長(zhǎng)中線圖一圖二圖三3、過(guò)端點(diǎn)向中線作垂線一線三等角模型三垂直全等模型圖一如圖一，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC。結(jié)論：Rt△BDC≌Rt△CEA圖二如圖二，∠D=∠BCA=∠E，BC=AC。結(jié)論：△BEC≌△CDA5、手拉手圖一圖二圖三圖四圖五圖六圖七手拉手模型的定義：定義：有兩個(gè)頂角相等而且有公共頂點(diǎn)的等腰三角形開成的圖形。特別說(shuō)明：其中圖一、圖二為兩個(gè)基本圖形等腰三角形，圖二至圖七為手拉手的基本模型，（左手拉左手，右手拉右手）如右圖：手拉手模型的重要結(jié)論：結(jié)論1：?ABC??ABC=B/C結(jié)論2：∠BOB=∠BAB（利用三角形全等及頂角相等的等腰三角形底角相等）結(jié)論3：AO平分∠BOC/【例9】（2023春·山東棗莊·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D（1），已知中，，，是過(guò)A的一條直線，且在的異側(cè)，于D，于E．(1)試說(shuō)明：．(2)若直線繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖2位置時(shí)（），其余條件不變，問(wèn)與的關(guān)系如何？請(qǐng)直接寫出結(jié)果；(3)若直線繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖3位置時(shí)（），其余條件不變，問(wèn)與、的關(guān)系如何？請(qǐng)直接寫出結(jié)果，不需說(shuō)明．【例10】（2022秋·湖北孝感·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知：，，．(1)如圖1當(dāng)點(diǎn)在上，______．(2)如圖2猜想與的面積有何關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．（兩三角形可以看成是等底的）考點(diǎn)11.作已知角的平分線（重點(diǎn)）角平分線的尺規(guī)作圖

（1）以O(shè)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，交OA于D，交OB于E.

（2）分別以D、E為圓心，大于DE的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧在∠AOB內(nèi)部交于點(diǎn)C.

（3）畫射線OC.射線OC即為所求.【例11】（2023春·陜西榆林·七年級(jí)校考期末）如圖，已知，利用尺規(guī)，在邊上求作一點(diǎn)，使得.（保留作圖痕跡，不寫作法）考點(diǎn)12.角的平分線的性質(zhì)（重點(diǎn)）角的平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.

要點(diǎn)詮釋：

用符號(hào)語(yǔ)言表示角的平分線的性質(zhì)定理：

若CD平分∠ADB，點(diǎn)P是CD上一點(diǎn)，且PE⊥AD于點(diǎn)E，PF⊥BD于點(diǎn)F，則PE＝PF.

【例12】（2023春?普寧市校級(jí)期中）如圖，AD是△ABC的角平分線，且DE⊥AB，∠B＝50°，∠C＝60°．（1）求∠ADC的度數(shù)．（2）若DE＝5，點(diǎn)F是AC上的動(dòng)點(diǎn)，求DF的最小值．考點(diǎn)13.證明幾何命題的一般步驟（難點(diǎn)）(1)按題意畫出圖形.(2)分清命題的條件和結(jié)論,結(jié)合圖形,在“已知”中寫出條件,在“求證”中寫出結(jié)論(3)在“證明”中寫出推理過(guò)程【例13】（2022秋·山東德州·八年級(jí)校考期中）求證：三角形兩外角的平分線的交點(diǎn)到三角形三邊（或所在的直線）距離相等．要求：畫圖，寫出已知，求證，然后寫出證明過(guò)程．【例14】（2022春·甘肅酒泉·八年級(jí)統(tǒng)考期中）證明命題“角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等”，要根據(jù)題意，畫出圖形，并用符號(hào)表示已知和求證，寫出證明過(guò)程，下面是小明同學(xué)根據(jù)題意畫出的圖形，并寫出了不完整的已知和求證．(1)已知：如圖，，點(diǎn)在上，______，求證：______．請(qǐng)你補(bǔ)全已知和求證．(2)并寫出證明過(guò)程．考點(diǎn)14.角的平分線的判定（重點(diǎn)）角平分線的判定：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.要點(diǎn)詮釋：

用符號(hào)語(yǔ)言表示角的平分線的判定：

若PE⊥AD于點(diǎn)E，PF⊥BD于點(diǎn)F，PE＝PF，則PD平分∠ADB

【例15】（2023春?達(dá)川區(qū)期中）如圖：AE⊥AB，AF⊥AC，AE＝AB，AF＝AC，（1）圖中EC、BF有怎樣的數(shù)量和位置關(guān)系？試證明你的結(jié)論．（2）連接AM，求證：MA平分∠EMF．【核心素養(yǎng)提升】邏輯推理——構(gòu)建全等三角形進(jìn)行證明【例16】．（2023春·黑龍江佳木斯·八年級(jí)校考期中）如圖，，，，求的度數(shù)．【例17】（2022秋·福建龍巖·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)E在線段AB上，，，.求證：(1)；(2)．【例18】（2022秋·福建福州·八年級(jí)?？计谥校?）閱讀理解：課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問(wèn)題：在中，，，求邊上的中線的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法（如圖1）：①延長(zhǎng)到Q，使得；②再連接，把集中在中；③利用三角形的三邊關(guān)系可得，則AD的取值范圍是．感悟：解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”等條件，可以考慮倍長(zhǎng)中線，構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個(gè)三角形中．（2）請(qǐng)你寫出圖1中與的位置關(guān)系并證明．（3）思考：已知，如圖2，是的中線，，，．試探究線段與的數(shù)量和位置關(guān)系并加以證明．【中考熱點(diǎn)聚焦】熱點(diǎn)1.三角形全等的判定1．（2023?衢州）已知：如圖，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F(xiàn)在同一條直線上．下面四個(gè)條件：①AB＝DE；②AC＝DF；③BE＝CF；④∠ABC＝∠DEF．（1）請(qǐng)選擇其中的三個(gè)條件，使得△ABC≌△DEF（寫出一種情況即可）．（2）在（1）的條件下，求證：△ABC≌△DEF．2．（2023?云南）如圖，C是BD的中點(diǎn)，AB＝ED，AC＝EC．求證：△ABC≌△EDC．熱點(diǎn)2.三角形全等的判定和性質(zhì)的綜合應(yīng)用3．（2023?蘇州）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD為△ABC的角平分線．以點(diǎn)A圓心，AD長(zhǎng)為半徑畫弧，與AB，AC分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接DE，DF．（1）求證：△ADE≌△ADF；（2）若∠BAC＝80°，求∠BDE的度數(shù)．4．（2023?營(yíng)口）如圖，點(diǎn)A，B，C，D在同一條直線上，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在直線AB的兩側(cè)，且AE＝BF，∠A＝∠B，∠ACE＝∠BDF．（1）求證：△ACE≌△BDF；（2）若AB＝8，AC＝2，求CD的長(zhǎng)．5．（2023?南通）如圖，點(diǎn)D，E分別在AB，AC上，∠ADC＝∠AEB＝90°，BE，CD相交于點(diǎn)O，OB＝OC．求證：∠1＝∠2．小虎同學(xué)的證明過(guò)程如下：證明：∵∠ADC＝∠AEB＝90°，∴∠DOB+∠B＝∠EOC+∠C＝90°．∵∠DOB＝∠EOC，∴∠B＝∠C．……第一步又OA＝OA，OB＝OC，∴△ABO≌△ACO．……第二步∴∠1＝∠2．……第三步（1）小虎同學(xué)的證明過(guò)程中，第步出現(xiàn)錯(cuò)誤；（2）請(qǐng)寫出正確的證明過(guò)程．6．（2023?陜西）如圖，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝20°．過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為E，延長(zhǎng)EA至點(diǎn)D．使AD＝AC．在邊AC上截取AF＝AB，連接DF．求證：DF＝CB．7．（2023?長(zhǎng)沙）如圖，AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為D，E．（1）求證：△ABE≌△ACD；（2）若AE＝6，CD＝8，求BD的長(zhǎng)．8．（2023?聊城）如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E是邊BC上一點(diǎn)，且BE＝CD，∠B＝∠AED＝∠C．（1）求證：∠EAD＝∠EDA；（2）若∠C＝60°，DE＝4時(shí)，求△AED的面積．熱點(diǎn)3.三角形全等的實(shí)際應(yīng)用9．（2022?揚(yáng)州）如圖，小明家仿古家具的一塊三角形狀的玻璃壞了，需要重新配一塊．小明通過(guò)給玻璃店老板提供相關(guān)數(shù)據(jù)，為了方便表述，將該三角形記為△ABC，提供下列各組元素的數(shù)據(jù)，配出來(lái)的玻璃不一定符合要求的是（）A．AB，BC，CA B．AB，BC，∠B C．AB，AC