多值因果圖中的原因分析和推理

多值因果圖中的原因分析和推理

1海水淡化工程在故障診斷領(lǐng)域的應(yīng)用動(dòng)態(tài)因果圖理論（以下簡(jiǎn)稱因果圖理論）是結(jié)合故障樹(shù)和信度網(wǎng)絡(luò)等不確定性模型的優(yōu)點(diǎn)而發(fā)展起來(lái)的一種不確定性知識(shí)表達(dá)和推理模型。它在最初的研究中得到了驗(yàn)證和應(yīng)用，不僅雞角診斷系統(tǒng)的系統(tǒng)如此，而且還具有重要的應(yīng)用前景。預(yù)測(cè)分析、問(wèn)題響應(yīng)（例如，識(shí)別實(shí)體關(guān)系）和知識(shí)處理中的相關(guān)數(shù)據(jù)。近年來(lái),因果圖理論在多值離散因果圖、連續(xù)因果圖、高效的精確推理和近似推理算法上取得了一定的研究成果.目前已建立的動(dòng)態(tài)因果圖理論雖能嚴(yán)格處理單值問(wèn)題,但對(duì)多值問(wèn)題而言還存在下文所指出的知識(shí)表達(dá)獨(dú)立性與知識(shí)本身相關(guān)性的矛盾問(wèn)題,解決這一問(wèn)題成為動(dòng)態(tài)因果圖理論能更加廣泛應(yīng)用的關(guān)鍵.2x為相互獨(dú)立的時(shí)下面先看一個(gè)例子,如圖1所示,A和B為基本事件,是中間事件X的兩個(gè)輸入節(jié)點(diǎn),A、B和X均為兩態(tài)(A1、A2,B1、B2,X1、X2),PAX為A引起X發(fā)生的連接事件,PBX為B引起X發(fā)生的連接事件.更確切地說(shuō),P11AX11AX為A1引起X1發(fā)生的連接事件,P12AX為A1引起X2發(fā)生的連接事件.如此類推,我們有P21AX、P22AX、P11BX、P12BX、P21BX、P22BX.根據(jù)文獻(xiàn)中因果圖知識(shí)獨(dú)立性的要求,A、B及PAX和PBX是相互獨(dú)立的.于是,就可能出現(xiàn)A1發(fā)生、P11AX發(fā)生,從而導(dǎo)致X1發(fā)生;同時(shí)B1發(fā)生、P12BX發(fā)生,從而導(dǎo)致X2發(fā)生的狀況.這就產(chǎn)生了一個(gè)問(wèn)題,按照單值因果圖的推理思路,將得出X1和X2同時(shí)發(fā)生的推理結(jié)果,但X只能處在其中一個(gè)狀態(tài),兩個(gè)狀態(tài)不能同時(shí)發(fā)生,即X1和X2是互斥的.實(shí)際上,出現(xiàn)上述問(wèn)題的原因在于多值因果圖為滿足領(lǐng)域?qū)＜医o定知識(shí)的獨(dú)立性要求,表達(dá)知識(shí)時(shí)在一定程度上放寬了對(duì)知識(shí)相關(guān)性的約束.因此可以認(rèn)為在多值情況下,存在知識(shí)表達(dá)的獨(dú)立性與同一變量不同狀態(tài)相關(guān)性(互斥)之間的矛盾,簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō),存在知識(shí)獨(dú)立性與相關(guān)性的矛盾.為了解決這個(gè)矛盾,我們需要在多值因果圖中作一個(gè)基本假設(shè):假設(shè)1:假定在多值因果圖中原因節(jié)點(diǎn)對(duì)結(jié)果節(jié)點(diǎn)只貢獻(xiàn)概率值,且每個(gè)貢獻(xiàn)是簡(jiǎn)單相加的關(guān)系.這里將原來(lái)在單值因果圖中的關(guān)于“如果原因節(jié)點(diǎn)事件發(fā)生并且連接事件發(fā)生必然導(dǎo)致結(jié)果事件發(fā)生”的基本假設(shè)修改為:在多值因果圖中,原因節(jié)點(diǎn)對(duì)結(jié)果節(jié)點(diǎn)狀態(tài)的影響是非直接的,原因節(jié)點(diǎn)只影響結(jié)果節(jié)點(diǎn)各狀態(tài)的概率分布,結(jié)果節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)由這個(gè)狀態(tài)概率分布隨機(jī)決定.這樣的假設(shè)顯然也是合理的.那么對(duì)于上例出現(xiàn)的問(wèn)題,在某一具體時(shí)刻,如果A1發(fā)生、P11AX發(fā)生,我們可以認(rèn)為其對(duì)X1的發(fā)生概率貢獻(xiàn)了1;B1發(fā)生、P12BX發(fā)生對(duì)X2的發(fā)生概率也貢獻(xiàn)了1.由于X1和X2的概率分布之和為2,不歸一,因而必須進(jìn)行歸一化處理,即將兩個(gè)概率分布值均除以2,得到X1和X2的實(shí)際發(fā)生概率均為0.5,最后,X究竟處在哪個(gè)狀態(tài)由這個(gè)概率分布隨機(jī)決定.這樣,我們就解決了這個(gè)問(wèn)題.3歸一化常數(shù)的推導(dǎo)然而,在實(shí)際計(jì)算中,我們首先要用邏輯展開(kāi)的辦法處理因果循環(huán)等問(wèn)題,并將每個(gè)節(jié)點(diǎn)事件表達(dá)為最終割集表達(dá)式DCS-f,然后才能進(jìn)行概率計(jì)算.在這個(gè)過(guò)程中,上述歸一化處理無(wú)法進(jìn)行.而如果不進(jìn)行歸一化處理,就可能出現(xiàn)某節(jié)點(diǎn)概率分布不歸一,導(dǎo)致整個(gè)計(jì)算出現(xiàn)錯(cuò)誤.為此,歸一化最好在邏輯展開(kāi)之前完成.實(shí)際上,我們只要在連接事件的概率值上除以一個(gè)歸一化常數(shù)即可.歸一化常數(shù)的推導(dǎo)如下.設(shè)結(jié)果節(jié)點(diǎn)Y有m個(gè)狀態(tài)、n個(gè)原因節(jié)點(diǎn)Xk(k=1,2,…,n),Xk有mk個(gè)狀態(tài),第i個(gè)狀態(tài)與結(jié)果節(jié)點(diǎn)Y的第j個(gè)狀態(tài)之間的連接事件為PijΚY,PijΚY的概率值為Pr{PijΚY}≡pijΚY,其中Pr{·}為取括號(hào)內(nèi)的事件概率值算符.于是假設(shè)1可表示為:Ρr{Yj}=n∑k=1mk∑i=1Ρr{Xik}pijΚY(1)則節(jié)點(diǎn)Y的各狀態(tài)概率之和為:m∑j=1Ρr{Yj}=m∑j=1n∑k=1mk∑i=1Ρr{Xik}pijΚY=n∑k=1mk∑i=1m∑j=1Ρr{Xik}pijΚY=n∑k=1mk∑i=1(Ρr{Xik}m∑j=1pijΚY)(2)如果令λk≡m∑j=1pijΚY?i=1,2,?,mk,即令原因節(jié)點(diǎn)的任一狀態(tài)導(dǎo)致結(jié)果節(jié)點(diǎn)的所有狀態(tài)發(fā)生概率之和均等于一個(gè)常數(shù)λk(λk∈(0,1],與原因節(jié)點(diǎn)狀態(tài)i無(wú)關(guān)),則上式變?yōu)?m∑j=1Ρr{Yj}=n∑k=1mk∑i=1Ρr{Xik}λk=n∑k=1λkmk∑i=1Ρr{Xik}=n∑k=1λk≡λ(3)這里,mk∑i=1Ρr{Xik}=1.如果將Y的所有原因節(jié)點(diǎn)的連接事件的概率值均除以λ,則歸一化就完成了:m∑j=1Ρr′{Yj}=m∑j=1n∑k=1mk∑i=1Ρr{Xik}pijΚY/λ=λ/λ=1(4)因此λ可以稱為結(jié)果節(jié)點(diǎn)Y的歸一化常數(shù).上述推導(dǎo)的關(guān)鍵在于假設(shè)λk≡m∑j=1pijΚY?i=1,2,?,mk,是一個(gè)與原因節(jié)點(diǎn)Xk的狀態(tài)i無(wú)關(guān)的常數(shù).實(shí)際上,λk表征了原因節(jié)點(diǎn)Xk與結(jié)果節(jié)點(diǎn)Y之間的相關(guān)性.當(dāng)λk=1時(shí),兩者為完全相關(guān);當(dāng)λk=0時(shí),兩者完全無(wú)關(guān).由于完全無(wú)關(guān)的情況就是兩者之間無(wú)連接.既然兩者之間有連接,λk就必須大于0.這就是為什么λk的定義域?yàn)?0,1]這樣一個(gè)區(qū)間的原因.根據(jù)上述理由,我們稱λk為原因節(jié)點(diǎn)Xk與結(jié)果節(jié)點(diǎn)Y之間的相關(guān)度.實(shí)際操作時(shí),我們首先確定λk,缺省情況下,我們可以認(rèn)為λk=1,即完全相關(guān),由此可以算出λ=n∑k=1λk,然后按歸一化的方式給出pijΚY(即m∑j=1pijΚY=1),最后將所有的pijΚY均乘以λk,再除以λ即可.由此我們可以得出如下推論.推論1:令λk為原因節(jié)點(diǎn)Xk與結(jié)果節(jié)點(diǎn)Y之間的相關(guān)度,則在基于假設(shè)1進(jìn)行的多值因果圖推理過(guò)程中存在歸一化常數(shù)λ,λ=n∑k=1λk,可以在推理前將Y的所有原因節(jié)點(diǎn)的連接事件的概率值均除以λ,然后進(jìn)行數(shù)值運(yùn)算,使得推理過(guò)程滿足概率推理中的歸一性要求.4y有pijyy邏輯展開(kāi)邏輯互斥的假設(shè)推理推理推理推理推理以上討論解決了多值因果圖中Y的歸一化問(wèn)題,但還存在另外一個(gè)問(wèn)題,就是表達(dá)Y的不同狀態(tài)的邏輯函數(shù)間的互斥性還不能得到保證,因?yàn)樵蚬?jié)點(diǎn)及其連接事件是相互獨(dú)立地給出的.比如,假定Y有兩個(gè)狀態(tài)Yj和Yj′,由因果圖定義知:Yj=∪k=1,?,ni=1,?,mkXikΡijΚY(5)Yj′=∪k=1,?,ni=1,?,mkXikΡij′ΚY(6)我們知道兩個(gè)等式左邊的Yj和Yj′是互斥的,那么等式右邊的邏輯函數(shù)也應(yīng)該是互斥的,然而由于X和P是相互獨(dú)立給出的,我們這時(shí)并不能保證這兩個(gè)邏輯函數(shù)是互斥的.為解決這個(gè)問(wèn)題,我們先來(lái)考慮多值因果圖的兩個(gè)性質(zhì).性質(zhì)1:如果對(duì)于所有i≠i′或j≠j′或K≠K′,都有PijΚY∩Pi′j′Κ′Y=?,則表達(dá)Y的不同狀態(tài)的邏輯函數(shù)間互斥,且Y在邏輯展開(kāi)時(shí)不需要進(jìn)行不交化.推導(dǎo)如下:對(duì)于式(5),由條件PijΚY∩Pi′j′Κ′Y=?可得XikPijΚY∩Xi′k′Pi′j′Κ′Y=?,又由概率論知,當(dāng)事件A和B互斥時(shí)有A∪B=A+B,“+”表示“互斥或”,顯然可得Yj=+k=1,?,ni=1,?,mkXikΡijΚY,因此,Y在邏輯展開(kāi)時(shí)不需要進(jìn)行不交化.這樣當(dāng)j≠j′時(shí),Yj∩Yj′=(+k=1,?,ni=1,?,mkXikΡijΚY)∩(+k′=1,?,ni′=1,?,mkXi′k′Ρi′j′Κ′Y)=k′=1,?,ni′=1,?,mk+k=1,?,ni=1,?,mkXikΡijΚYXi′k′Ρi′j′Κ′Y=?,即表達(dá)Y的不同狀態(tài)的邏輯函數(shù)間互斥.性質(zhì)2:在基于假設(shè)1進(jìn)行的多值因果圖推理過(guò)程中,可以假定指向同一節(jié)點(diǎn)的各連接事件的各狀態(tài)之間彼此互斥,即對(duì)于所有i≠i′或j≠j′或K≠K′都有PijΚY∩Pi′j′Κ′Y=?,這樣并不影響推理結(jié)果.推導(dǎo)如下:當(dāng)假定指向同一節(jié)點(diǎn)的各連接事件的各狀態(tài)之間彼此互斥時(shí),由性質(zhì)1的推導(dǎo)過(guò)程可知Yj=+k=1,?,ni=1,?,mkXikΡijΚY,又由概率論知:Pr{A+B}=Pr{A}+Pr{B},其中“+”表示“互斥或”,于是有Ρr{Yj}=n∑k=1mk∑i=1Ρr{XikΡijΚY},與假設(shè)1的式(1)完全一致.當(dāng)然,在上述推導(dǎo)中,由于Xik與PijΚY的對(duì)稱性,可以同樣得出即使假定Xik間彼此互斥,也不會(huì)影響推理結(jié)果的結(jié)論,但由于在邏輯展開(kāi)時(shí),如果Xik不是基本事件,它將被繼續(xù)展開(kāi)為僅由基本事件和連接事件表示的最終割集表達(dá)式,在邏輯化簡(jiǎn)的過(guò)程中不具備可操作性,故而不采用此假定.這樣,根據(jù)性質(zhì)1和性質(zhì)2,顯然有如下的推論2.推論2:在基于假設(shè)1進(jìn)行的多值因果圖推理過(guò)程中,可以假定指向同一節(jié)點(diǎn)Y的各連接事件的各狀態(tài)之間彼此互斥,這樣就保證了Y的不同狀態(tài)間互斥,且Y在邏輯展開(kāi)時(shí)不需要進(jìn)行不交化操作.5節(jié)點(diǎn)事件3g的多值因果圖下面將以文獻(xiàn)中的圖1為例,對(duì)本文提出的方法作一驗(yàn)證.如圖2所示,圖中符號(hào)定義如下:B1=[B11B21]∶[0.80.2],B2=[B12B22]∶[0.70.3]X3=[X13X23],Ρ13=[Ρ1113Ρ2113Ρ1213Ρ2213]∶[0.90.30.10.7]Ρ23=[Ρ1123Ρ2123Ρ1223Ρ2223]∶[0.80.40.20.6]首先對(duì)連接事件進(jìn)行歸一化處理,由圖2知,X3的歸一化常數(shù)λ=2,則:Ρ′13=[Ρ1113/λΡ2113/λΡ1213/λΡ2213/λ]:[0.450.150.050.35]Ρ′23=[Ρ1123/λΡ2123/λΡ1223/λΡ2223/λ]:[0.40.20.10.3]再根據(jù)因果圖定義可得到如下邏輯公式:[X13X23]=[Ρ1113Ρ2113Ρ1213Ρ2213][B11B21]∪[Ρ1123Ρ2123Ρ1223Ρ2223][B12B22]=[(Ρ1113B11+Ρ2113B21)∪(Ρ1123B12+Ρ2123B22)(Ρ1213B11+Ρ2213B21)∪(Ρ1223B12+Ρ2223B22)]=[Ρ1113B11+Ρ2113B21+Ρ1123B12+Ρ2123B22Ρ1213B11+Ρ2213B21+Ρ1223B12+Ρ2223B22](7)對(duì)X3的兩狀態(tài)進(jìn)行“交”運(yùn)算,并由假設(shè)2可得:X13∩X23=(P1113B11+P2113B21+P1123B12+P2123B22)∪(P1213B11+P2213B21+P1223B12+P2223B22)=?(8)再進(jìn)行數(shù)值計(jì)算得:Pr{X13}=Pr{P1113}Pr{B11}+Pr{P2113}Pr{B21}+Pr{P1123}Pr{B12}+Pr{P2123}Pr{B22}=0.45×0.8+0.15×0.2+0.4×0.7+0.2×0.3=0.73Pr{X23}=0.05×0.8+0.35×0.2+0.1×0.7+0.3×0.3=0.27Pr{X13}+Pr{X23}=0.73+0.27=1(9)由式(8)、(9)可知節(jié)點(diǎn)事件X3的兩個(gè)狀態(tài)互斥且完備,完全滿足概率論的要求.同時(shí)對(duì)于文獻(xiàn)中的兩個(gè)問(wèn)題而言,問(wèn)題(1)顯然得到了解決,而且由于問(wèn)題(2)是由問(wèn)題(1)引起的,如果解決了問(wèn)題(1),問(wèn)題(2)將不復(fù)存在.這表明,采用本文的方法,文獻(xiàn)中所指