數形結合解題的幾個誤區(qū)

數形結合解題的

數與形是初等數學的兩大研究對象，數形結合是高中階段一種很重要的數學思想方法，形是數的翅膀，數是形的靈魂，正可謂“數缺形時少直觀，形少數時難入微”。恰當地應用數形結合可以使問題得以高質高效的解決，但同時數形結合也是解題的一把雙刃劍，學生往往在數與形轉換過程中，稍有不慎，就會步入數形結合解題的誤區(qū)。幾個誤區(qū)例1求函數的值域。解法1

題目的結構像斜率公式，故取A(tx,t2x2),B(1,-3)，則A在拋物線y=x2上，問題轉化為求拋物線上動點A與定點B的連線的斜率的變化范圍（如圖1）。

設過B(1,-3)的直線方程為y=k(x-1)-3，代入拋物線方程，得x2-kx+k+3=0，其判別式非負，△=k2-4k-12≥0，解得k≥6或k≤-2，所以函數的值域為（-∞,-2]U[6,+∞)。一、濫用數形結合Ay·A·OB·x圖1

本題對數與形之間的分析是準確的，但理解其實質步驟后可知，解題的關鍵是對二次方程x2-kx+k+3=0討論判別式，而這可由原式直接得到。剖析

解法2

原式可化為t2x2-ytx+y+3=0，有△=y2t2-4t2(y+3)≥0，且t2≥0，化簡得y2-4y-12≥0，解得y≥6或y≤-2。評注

用數形結合思想指導解題，應該達到簡潔明快的目的，如果達不到這種效果，甚至造成解法更為繁瑣，那就無異于畫蛇添足，失去數形結合的意義，所以解題時切忌不問是否需要，強行‘結合’。二、作圖不準確例2求方程sinx=x根的個數是（）

A、1 B、2 C、3 D、5錯解

在同一直角坐標系中作出函數y=sinx，與y=x的圖象如圖2，由圖選C。yx0圖2

此題錯在作圖不準確，因為在(0,1)內，sinx＜x，且在[1,+∞)內，sinx＜x所以在(0,+∞)內，函數y=sinx圖象在y=x的圖象下方，無交點，有奇函數的性質知在(-∞,0)內也無交點，故選A。剖析

√例3函數y=|x2-1|+1的圖象與函數y=2x的圖象交點的個數為

A、1 B、2 C、3 D、4錯解

在同一直角坐標系中作出函數y=|x2-1|+1與函數y=2x的圖象如圖3，選B。

此題錯在作圖不準確，因為當x＞2時，x2＞2x不一定成立。剖析

y圖30xE642

由于x大到一定程度時，指數型增大的速度比冪函數增大的速度快（可以從導函數推出），所以在(2,+∞)區(qū)域上還有一個交點，如圖4，故選C。例3函數y=|x2-1|+1的圖象與函數y=2x的圖象交點的個數為

A、1 B、2 C、3 D、4√0xE(2,4)y205圖41510A(4,16)··評注

有時在草稿紙上畫一張草圖，就能幫助我們正確的理解題意和分析問題，迅速找到解題思路。但是我們必須充分意識到，如果對數據缺乏科學的分析，僅憑隨意的幾何作圖，常會導出錯誤的答案。因此我們畫圖時一定要特別注意交點的位置及圖象上方下方的相對位置等情況。三、數形轉換不等價例4已知cos2α+cos2β+2sinα+2sinβ=0，求t=sinα+sinβ的取值范圍

。錯解

由所求的目標表達式可知先把已知等式變形為同名三角式（正弦）（sinα-1）2+（sinβ-1）2=4，令u=sinα，v=sinβ，則點(u,v)對應的軌跡是以(1,1)為圓心，2為半徑的圓，如圖5，函數t=u+v與之有交點，在v軸上的截距t∈[2-2，2+2]。·0uu=v52+22-2v圖5

此題在設u=sinα，v=sinβ時，忽視了u,v的取值范圍，即-1≤u≤1，-1≤v≤1，而此導致作圖出現(xiàn)錯誤，正確的圖形應為一段圓弧，如圖6的實線部分，函數t=u+v的圖象與之有交點，直線v=-u+t在v軸上的截距t∈[2-2，0]。剖析

·0uu=v52-2(1,1)圖6v例5已知橢圓（a＞b＞0），從中心作兩條互相垂直的弦AC，BD，順次連結A,B,C,D得一四邊形，記其面積為S，求S的最小值。錯解

先畫出圖形，如圖7，由對稱性可知，四邊形為菱形，由橢圓的參數方程可設點A的坐標為A(acosθ,bsinθ),其中0≤θ≤。ABCDoxy圖7由OA⊥OB得點B坐標為化簡為B(-asinθ,bcosθ),則S=4S△AOB=2OA·OB

當sin2θ=0時取等號S有最小值2ab.ABCDoxy圖7

這個解法把參數方程中的θ誤認為OA的傾斜角，得出的B坐標是錯的，結論當然也錯了，正確的解法如下：設OA=r1,OB=r2點A,B的坐標分別為A(r1cosθ,r1sinθ),B(r2cos(θ+),r2sin(θ+)),即B(-r2sinθ,r2cosθ),分別代入橢圓方程并聯(lián)立化簡得

即，當且僅當r1=r2時取等號，即點A在直線y=x上時S有最小值。由上面的分析可知，數形結合解題時要注意數形轉換的等價性、簡潔性