2023-2024學(xué)年安徽省安慶市高一下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試卷

2023-2024學(xué)年安徽省安慶市高一下冊(cè)第一次月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.在△ABC中，已知A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，則BC邊上的中線AD的長是()A.2 B. C.3 D.【正確答案】B∵BC的中點(diǎn)為D，＝，∴||＝.2.在△ABC中,設(shè)O是△ABC的外心,且AO=13AB+1A.30° B.45° C.60° D.90°【正確答案】C因?yàn)锳O=13AB+13AC,所以O(shè)也是△ABC的重心.又因?yàn)镺是△ABC3.設(shè)x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)且a⊥c，b∥c，則|a＋b|等于()A. B.2 C. D.10【正確答案】C因?yàn)橄蛄縜＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)且a⊥c，b∥c，所以2x－4＝0?x＝2,1×(－4)－2y＝0?y＝－2，從而a＋b＝(2,1)＋(1，－2)＝(3，－1)，因此|a＋b|＝＝，故選C.4.已知A，B，C是銳角三角形ABC的三個(gè)內(nèi)角，向量p＝(sinA，1)，q＝(1，－cosB)，則p與q的夾角是()A.銳角 B.鈍角 C.直角 D.不確定【正確答案】A因?yàn)椤鰽BC是銳角三角形，所以A＋B>，即0＜－B＜A＜，又因?yàn)楹瘮?shù)y＝sinx在上單調(diào)遞增，所以sinA>sin＝cosB，所以p·q＝sinA－cosB>0，設(shè)p與q的夾角為θ，所以cosθ＝＞0，又因?yàn)閜與q不共線，所以p與q的夾角是銳角．5.已知四邊形ABCD中，·＝0，＝2，||＝10，||＝5，＝，F(xiàn)為BD與AE的交點(diǎn)，則||＝()A. B.2 C.2 D.2【正確答案】A如圖所示，由題意得A(0，0)，B(10，0)，C(5，5)，D(0，5)，E.設(shè)點(diǎn)F(x，y)，則＝(x，y)，＝，由A，F(xiàn)，E三點(diǎn)共線得x－y＝0，即x－3y＝0，①同理由B，F(xiàn)，D三點(diǎn)共線得x＋2y＝10，②由①②解得x＝6，y＝2，則F(6，2)，∴＝(1，－3)，∴||＝＝.6.已知a，b是單位向量，a·b＝0.若向量c滿足|c－a－b|＝1，則|c|的取值范圍是()A.[－1，＋1] B.[－1，＋2] C.[1，＋1] D.[1，＋2]【正確答案】A∵a，b是單位向量，∴|a|＝|b|＝1.∵|c－a－b|2＝c2－2c·(a＋b)＋2a·b＋a2＋b2＝1，且a·b＝0.∴2c·(a＋b)＝c2＋1.又∵|a＋b|＝＝，∴c2＋1＝2|c|cosθ(θ是c與a＋b的夾角)．又－1≤cosθ≤1，∴1≤c2＋1≤2|c|，∴c2－2|c|＋1≤0.根據(jù)二次函數(shù)y＝x2－2x＋1的圖象(圖象略)，可得－1≤|c|≤＋1.7.小明同學(xué)為了估算位于哈爾濱的索菲亞教堂的高度，在索菲亞教堂的正東方向找到一座建筑物AB，高為(15－15)m，在它們之間的地面上的點(diǎn)M(B，M，D三點(diǎn)共線)處測(cè)得樓頂A，教堂頂C的仰角分別是15°和60°，在樓頂A處測(cè)得塔頂C的仰角為30°，則小明估算索菲亞教堂的高度為()A.20m B.30m C.20m D.30m【正確答案】D由題意知：∠CAM＝45°，∠AMC＝105°所以∠ACM＝30°在Rt△ABM中，AM＝ABsin∠AMB＝在△ACM中，由正弦定理得AMsin30°＝所以CM＝AM·sin45°sin在Rt△DCM中，CD＝CM·sin60°＝AB·sin45°·sin60°sin8.已知M是邊長為1的正三角形ABC的邊AC上的動(dòng)點(diǎn)，N為AB的中點(diǎn)，則·的取值范圍是()A. B. C. D.【正確答案】A取AC的中點(diǎn)O，連接OB，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC所在直線為x軸，OB所在直線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則A，B，N.設(shè)M(x，0)，－≤x≤，則＝，＝，∴·＝－x2－x－＝－－，－≤x≤，∴當(dāng)x＝時(shí)，·取最小值－，當(dāng)x＝－時(shí)，·取最大值－，∴·的取值范圍是.故選A.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求的。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9.在△ABC中，＝(2,3)，＝(1，k)，若△ABC是直角三角形，則實(shí)數(shù)k的值可能為()A.－ B. C. D.【正確答案】ABC∵＝(2,3)，＝(1，k)，∴＝－＝(－1，k－3)．若∠A＝90°，則·＝2×1＋3×k＝0，∴k＝－；若∠B＝90°，則·＝2×(－1)＋3(k－3)＝0，∴k＝；若∠C＝90°，則·＝1×(－1)＋k(k－3)＝0，∴k＝.故實(shí)數(shù)k的值為－或或.10.在△ABC中，若a＝2bsinA，則B等于()A. B. C. D.【正確答案】AC由正弦定理，得sinA＝2sinBsinA，所以sinA·(2sinB－)＝0.因?yàn)?<A<π，0<B<π，所以sinA≠0，所以2sinB－＝0，解得sinB＝，所以B＝或.11.如圖所示，四邊形ABCD為梯形，其中AB∥CD，AB＝2CD，M，N分別為AB，CD的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是()A.AC＝AD＋AB B.MC＝AC＋BCC.MN＝AD＋AB D.BC＝AD－AB【正確答案】ABDAC＝AD＋DC＝AD＋AB，A正確；MC＝MA＋AC＝BA＋AC＝(BC?AC)＋AC＝AC＋BC，B正確；MN＝MA＋AD＋DN＝－AB＋AD＋AB＝AD－AB，C錯(cuò)誤；BC＝＋AD＋DC＝－AB＋AD＋AB＝AD－AB，D正確．12.如圖,在海岸上有兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)C,D,C在D的正西方向,距離為2km,在某天10:00觀察到某航船在A處,此時(shí)測(cè)得∠ADC=30°,5分鐘后該船行駛至B處,此時(shí)測(cè)得∠ACB=60°,∠BCD=45°,∠ADB=60°,則()A.當(dāng)天10:00時(shí),該船位于觀測(cè)點(diǎn)C的北偏西15°方向B.當(dāng)天10:00時(shí),該船距離觀測(cè)點(diǎn)C2kmC.當(dāng)船行駛至B處時(shí),該船距觀測(cè)點(diǎn)C2kmD.該船在由A行駛至B的這5min內(nèi)行駛了6km【正確答案】ABDA項(xiàng)中,∠ACD=∠ACB+∠BCD=60°+45°=105°,因?yàn)镃在D的正西方向,所以A在C的北偏西15°方向,故A正確.B項(xiàng)中,在△ACD中,∠ACD=105°,∠ADC=30°,則∠CAD=45°.由正弦定理,得AC=CDsin∠故B正確.C項(xiàng)中,在△BCD中,∠BCD=45°,∠CDB=∠ADC+∠ADB=30°+60°=90°,即∠CBD=45°,則BD=CD=2,于是BC=22,故C不正確.D項(xiàng)中,在△ABC中,由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos∠ACB=2+8-2×2×22即AB=6km,故D正確.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。把答案填在答題卡的相應(yīng)位置。13.如圖，BC，DE是半徑為1的圓O的兩條直徑，F(xiàn)為直徑BC上一點(diǎn)，且＝2，則·＝________.【正確答案】－由題意知＝＋，＝＋，且＝－.又由＝2知，||＝||＝，所以·＝(＋)·(＋)＝2－2＝－1＝－.14.已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C滿足2B＝A＋C，且AB＝1，BC＝4，則BC邊上的中線AD的長為________．【正確答案】∵2B＝A＋C，∴A＋B＋C＝3B＝180°，∴B＝60°，∵BC＝4，∴BD＝BC＝×4＝2.∴在△ABD中，由余弦定理得AD＝＝＝.15.如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上，行駛600m后到達(dá)B處，測(cè)得此山頂在西偏北75°的方向上，仰角為30°，則此山的高度CD＝________m.【正確答案】100由題意得，在△ABC中，AB＝600，∠BAC＝30°，∠ACB＝75°－30°＝45°.由正弦定理得＝，即＝，解得BC＝300m.在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，CD＝BC·tan30°＝300×＝100(m)．16.如圖所示，位于A處的信息中心獲悉：在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)，在原地等待營救，信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20海里的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東θ的方向沿直線CB前往B處救援，則cosθ＝________.【正確答案】在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理知BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos120°＝2800，所以BC＝20.由正弦定理，得＝，即sin∠ACB＝sin∠BAC＝，又∠BAC＝120°，則∠ACB為銳角，cos∠ACB＝.因?yàn)棣龋健螦CB＋30°，故cosθ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACB·cos30°－sin∠ACB·sin30°＝.四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。17.（10分）已知|a|＝1，a·b＝，(a＋b)·(a－b)＝.(1)求|b|的值；(2)求向量a－b與a＋b夾角的余弦值．【正確答案】解(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝.因?yàn)閨a|＝1，所以1－|b|2＝，所以|b|＝.(2)因?yàn)閨a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×＋＝2，|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×＋＝1，所以|a＋b|＝，|a－b|＝1.令a＋b與a－b的夾角為θ，則cosθ＝＝＝，即向量a－b與a＋b夾角的余弦值是.18.（12分）如圖所示，以△ABC兩邊AB，AC為邊向外作正方形ABGF和ACDE，M為邊BC的中點(diǎn)．求證：AM⊥EF.【正確答案】證明因?yàn)镸是邊BC的中點(diǎn)，所以＝(＋)．又因?yàn)椋剑瑋|＝||，||＝||，所以·＝(＋)·(－)＝(·＋·－·－·)＝(0＋·－·－0)＝(·－·)＝[||||·cos(90°＋∠BAC)－||||·cos(90°＋∠BAC)]＝0，所以⊥，即AM⊥EF.19.（12分）如圖在△ABC中，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，設(shè)＝a，＝c.(1)用a，c表示向量；(2)若點(diǎn)F在AC上，且＝a＋c，求AF∶CF.【正確答案】解(1)因?yàn)椋剑絚－a，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，所以＝＝(c－a)，因?yàn)辄c(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，所以＝(＋)＝＋＝－a＋(c－a)＝c－a.(2)設(shè)＝λ(0＜λ＜1)，所以＝＋＝＋λ＝a＋λ(c－a)＝(1－λ)a＋λc.又＝a＋c，所以λ＝，所以＝，所以AF∶CF＝4∶1.20.（12分）在△ABC中，a2＋c2＝b2＋ac.(1)求B的大小.(2)求cosA＋cosC的最大值.【正確答案】解(1)由余弦定理及已知得，cosB＝＝＝，因?yàn)锽∈(0，π)，所以B＝.(2)cosA＋cosC＝cosA＋cos(π－A－B)＝cosA＋cos＝cosA＋sinA＝sin，因?yàn)锽＝，所以A∈，A＋∈.當(dāng)A＋＝時(shí)，A＝，sin取得最大值1.21.（12分）在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,且bsinA=3acosB.(1)求B的大小;(2)若b=3,sinC=2sinA,求a,c的值.【正確答案】解(1)∵bsinA=3acosB,∴sinBsinA=3sinAcosB.∵A為△ABC的內(nèi)角,∴sinA>0,∴tanB=3,∵0<B<π,∴B=π3(2)∵sinC=2sinA,∴c=2a.由(1)知B=π3,∵b2=a2+c2-2accosB∴a2+(2a)2-2a·2a·12=∴a=3,c=23.2