數(shù)學建模范文

隨著生活水平的提高及人員流動的加快，人們對交通系統(tǒng)的要求也越來越高，其中鐵路系統(tǒng)的改進速度也是突飛猛進。在改進過程中涉及到速度的提高、舒適度、可維修性及安全性等問題，鐵路系統(tǒng)的評價是模糊多屬性群決策問題。在實際改進中，決策者會遇到很多不確定性數(shù)據(jù)及語言類評估，從而很難對決策問題給出精確的數(shù)值信息，此時可考慮利用模糊數(shù)或模糊語言來表示這些不確定信息。本文涉及到的質(zhì)量功能配置(qualityfunctiondeployment，QFD)(崔勇等，2007；車阿大，1998)方法是個顧客驅(qū)動的產(chǎn)品開發(fā)設計方法，產(chǎn)品設計是以顧客需求為出發(fā)點，把顧客需求逐步落實到產(chǎn)品開發(fā)、設計、生產(chǎn)的各個環(huán)節(jié)中。QFD的優(yōu)點就是能在產(chǎn)品早期設計階段對產(chǎn)品進行有效規(guī)劃，防止研制后期出現(xiàn)不必要的返工和重復性工作。TOPSIS(TechniquefororderPreferencebySim—ilaritytoidealsolution)方法(夏勇其等，2004)是逼近理想解的排序方法，它借助多屬性問題的理想解和負理想解，通過計算某一方案與理想解(最好方案)和負理想解(最劣方案)間的加權歐氏距離，得出該方案與最好方案的接近程度，以此作為評價各方案優(yōu)劣的依據(jù)。若某個可行解最靠近理想解，同時又最遠離負理想解，則此解是方案集的滿意解。本文以乘客的需求為出發(fā)點，運用質(zhì)量功能配置(QFD)思想來確定鐵路系統(tǒng)改進中屬性的權重；運用三角模糊數(shù)分析決策者就屬性對方案的評價，同時考慮決策者的權重和決策者評價的一致性程度(Olcer等，2005)這兩方面因素對群體評價結果的影響；再將個體意見綜合為群體的一致意見然后對每個方案的綜合評價規(guī)范化并加權；最后運用TOPSIS法進行排序選擇。1模糊多屬性群決策模型模糊多屬性群決策具體模型：設是一個有限方案集，并且存在一個有限屬性集，用表示各屬性的重要程度，有m個決策者組成集合為，決策者的權重為；每一位決策者依據(jù)P個屬性。對每一個方案獨立地進行評價，模糊語言用三角模糊數(shù)(李榮鈞，2002)表示。評價矩陣，是決策者對方案就屬性作出的1，…，p)，r：是決策者對方案X就屬性c作出的模糊評價；決策的目的是將這n種方案按照優(yōu)劣排序，從中得到一個最優(yōu)方案(桑圣舉，2008)。在模糊多屬性群決策問題中，問題的關鍵是如何將個體意見綜合為群體一致意見。不同決策者的評價對于綜合的群體評價結果有不同的影響，主要體現(xiàn)在兩個方面：(1)決策者權重。在群體決策中，由于不同決策者的社會地位、知識、經(jīng)驗等方面的差異，使得不同決策者在決策過程中的相對重要性不盡相同。一種好的綜合方法應該考慮每位專家在綜合過程中的這種相對重要性程度，即決策者權重。(2)評價一致性程度?？紤]兩個決策者和，如果與其余決策者意見的一致性程度高于。與其余決策者意見的一致性程度，那么在整合過程中的作用應大于。為了反映某一決策者評價與其他決策者評價的一致性，給出了決策者的平均一致度及相對一致度的概念：，考慮上述兩個指標的組合，最終得到?jīng)Q策者的評價權重。是個松弛因素，用來權衡決策者的權重和相對一致度的重要度。當時，每個決策者的權重相等。2模糊多屬性群決策的方法與步驟模糊多屬性群決策涉及到主觀性、不精確性和含糊性，主要分為以下三個步驟：(1)調(diào)查顧客對屬性的需求及專家分別就方案的屬性給出評價值；(2)確定專家的權重并計算每個方案的綜合評價；(3)消除模糊性并對方案進行排序。具體步驟如下：步驟一乘客的界定及對屬性的需求程度首先以乘客的需求為出發(fā)點，應用QFD思想來確定鐵路系統(tǒng)評估中屬性的權重。假設乘客分為n類，第類乘客的比重為，且此類乘客對屬性的需求程度為從而屬性的權重可由以下公式得到：，，且(1)步驟二確定決策者的權重，將每個決策者的評價值轉(zhuǎn)換為相應的模糊數(shù)在許多實際應用中，每個決策者的權重是不同的。首先規(guī)定出決策群中最重要的決策者，令其相對重要程度。則第個決策者與此決策者比較，可得其相對的重要程度，則由所有的可以得到每個專家的權重：(2)設每個專家對方案的評價值用正三角模糊數(shù)來表述，且有，則將轉(zhuǎn)化為標準的三角模糊數(shù)：(3)且，m是在不同專家對同一屬性評價的三角模糊數(shù)中，最大的那個數(shù)值。決策者的評估為模糊語言，其模糊語言評估標度(7個術語)與區(qū)間數(shù)表達形式對應表如下表1所示：表1模糊語言評估標度(7個術語)與區(qū)間數(shù)表達形式對應表模糊語言收益類屬性很低低較低一般較高高很高評估標度成本類屬性很高高較高一般較低低很低區(qū)間數(shù)表達形式（0,0,0.1）（0,0.1,0.3）（0.1,0.3,0.5）（0.3,0.5,0.7）(0.5,0.7,0.9)(0.7,0.9,1.0)(0.9,1.0,1.0)步驟三計算每個方案的綜合評估由決策者評價值的相似度。(高璨等，2009)，計算出決策者的平均一致度及相對一致度，從而得到?jīng)Q策者的評價權重；最后可得到各個屬性的綜合評價值。其中，是決策者評價值的相似度，且越大，相似度就越大，且有性質(zhì)。公式如下其中．，(4)，(5)(6)是決策者的評價權重，是決策者的評價矩陣。算子分別為模糊乘法算子和模糊加法算子。步驟四消除模糊性，歸一化處理并加權，用TOPSIS法對方案排序到此為止，我們已經(jīng)得到所有決策者就方案的每個屬性所給的綜合評價。為了簡化計算過程，易于操作，首先消除模糊性。用下面的方法將所有模糊數(shù)轉(zhuǎn)換為精確的數(shù)值。若三角模糊數(shù)A的表達式為，則對應精確值為(7)不同屬性指標的數(shù)值單位通常是不同的，為了消除不同量綱對決策結果的影響，需要對模糊決策矩陣進行規(guī)范化處理。一般情況下屬性分為效益型(越大越優(yōu)型)和成本型(越小越優(yōu)型)，則用以下方法進行歸一化：(8)為方案在屬性下的綜合評價值，為規(guī)范化后的評價值。加權矩陣是屬性的權重與歸一化的矩陣的乘積，加權矩陣的元素可由如下公式求得：(9)然后計算出模糊理想解和模糊負理想解(效益類屬性的值越大越優(yōu)，而成本類屬性越小越優(yōu))。由TOPSIS法計算每個方案與模糊理想解和模糊負理想解各自的距離df十，，求得貼近度D，由D的大小對方案進行排列。計算公式如下：廠——√一=1’，=，…，n=忐，。<Di*'2’是模糊理想解中屬性的評價值，而是模糊負理想解中屬性的評價值。3實例分析國家欲對某地區(qū)鐵路系統(tǒng)的六個屬性進行評估：投資及運營成本(C。)，速度(C)，安全性(c，)，途中停車次數(shù)(c)，舒適度(C)，維護性(C)，其中除了屬性C。和是成本類屬性，其他屬性為效益類屬性。有三條鐵路線X={置，，墨}，QFD開發(fā)小組(決策組)由三人組成E={E。，E：，E}。首先將乘客分為四類：學生、商人、民工及游客，根據(jù)一年中的火車客流量來確定各類乘客的比例。假設此地區(qū)一年中乘坐火車的學生、商人、民工及游客的比例分別為25％，12％，48％，15％，且調(diào)查得到四類乘客對每個屬性給出相應的需求度如表2所示，表2四類乘客對每個屬性給出相應的需求度Tab．2Therequirementdegreeofthefourkindsofpassengersforeachattribute萎)c2(Ct2)C3(Ct3)C4(cl4)c5(C6(學生0．250．250．250．200．1O0．150．05或或，／L～～商人0．120．050．300．250．120．2503民工0．480．300．150．170．150．150．08游客0．150．150．200．150．160．280．06注：其中對屬性1的評價表現(xiàn)為對票價的重視程度由公式(1)可得屬性權重(。，，，，，，6)：(0．235，0．2