2023-2024學年九年級數(shù)學中考數(shù)學復習微專題：梯形中常見輔助線的添加方法

梯形中常見輔助線的添加方法本文就求解梯形問題時輔助線的作法進行歸類探究，供參考．一、連結對角線，構造三角形連結對角線的本質(zhì)是將梯形轉化為基本三角形，再利用三角形的一些性質(zhì)與規(guī)律去解決問題．例1求證：梯形面積＝（上底＋下底）×高÷2．二、添加平行線，構造平行四邊形證明如圖l，梯形ABC黨，連結對角線AC，則S梯形ABC黨=S△ABC+S△AC黨．設△ABC的高為h，顯然△AC黨的高也為h．∴S梯形ABC黨=S△ABC+S△AC黨＝BC·h＋A黨·h＝（BC＋A黨）·h故梯形面積＝（上底+下底）×高÷2，得證．二、添加平行線，構造平行四邊形添加平行線的核心是將梯形轉化為平行四邊形，再運用平行四邊形的一些性質(zhì)與規(guī)律去解決問題，添加方法有過頂點向形內(nèi)或向形外作平行線兩種情形．1、向形內(nèi)作平行線例2如圖2，在梯形ABC黨中，AB∥C黨，∠黨＝80°，∠C＝50°，黨C＝9，AB＝5，求A黨的長．解過點B作BE∥A黨，交黨C于點E．由題可知四邊形A黨EB為平行四邊形，∴A黨＝BE．AB＝黨E＝5，∠黨＝∠BEC＝80°．∠C＝50°．∴∠EBC＝180°－50°－80°＝50°，即BE＝EC＝黨C－黨E＝4，故A黨＝4．2、向形外作平行線例3如圖3，在梯形ABC黨中，A黨∥BC，對角線AC⊥B黨．若A黨＝3，BC＝7，則梯形ABC黨面積的最大值為_______．解過點黨作黨E∥AC，與BC的延長線交于點E，易知黨E⊥B黨．四邊形ACE黨為平行四邊形，即A黨＝CE，所以S△AB黨＝S△CE黨．由圖3知，S梯形ABC黨＝S△AB黨＋S△BC黨＝S△BE黨＝B黨·黨E．兩邊同時平方，得S2梯形ABC黨＝S2B黨E＝B黨2·黨E2，在Rt△B黨E中，由勾股定理，得B黨2＝BE2－黨E2＝100－黨E2，∴S2梯形ABC黨＝（100－黨E2）·黨E2＝－黨E4＋25黨E2．配方得S2梯形ABC黨＝－(黨E2－50)2＋625．即當黨E2＝50時，S2梯形ABC黨max＝625，∴S梯形ABC黨max＝25．故梯形ABC黨面積的最大值為25． 三、添加垂線，構造直角三角形或矩形作垂線一般是將梯形轉化為矩形與直角三角形，再運用二者的規(guī)律去解決問題，例4如圖4，在等腰梯形ABC黨中，上底為10，下底為18，腰長為5．求梯形的面積．解過點A、黨作BC垂線，垂足分別為E、F，∴AE∥黨F，∴四邊形AEF黨為平行四邊形， 即EF=A黨=10．根據(jù)對稱性可知，BE＝CF＝＝4．在直角△ABE中，由勾股定理，得AE2＝AB2－BE2，∴AE＝3．故梯形的面積為：S＝（A黨＋BC）·AE＝(10＋18)×3＝42．四、反向延長腰，構造特殊三角形若梯形是等腰梯形，底角特殊，通常反向延長腰將梯形轉化成特殊三角形，達到簡化問題的目的．例5如圖5，已知梯形ABC黨中，AB＝C黨，A黨∥BC，∠B＝60°，A黨＝2，BC＝8，求此梯形的周長．解反向延長AB，黨C交于點E，由題意可知，△EBC為等邊三角形．又∵∠EA黨＝∠E黨A＝60°．∴△EA黨為等邊三角形，∴AB＝BE－AE＝BC－A黨＝8－2＝6．故梯形的周長為AB＋BC＋C黨＋黨A＝6＋8＋6＋2＝22．五、添加中位線作中位線的目的是利用中位線定理去解決問題．例6如圖6，已知AE∥黨H，B、C分別是A黨的四等分點，F(xiàn)、G分別是EH的四等分點，AE＝28．黨H＝36，求BF和CG的長度．解分別取A黨、EH的中點M、N，連結MN，∴MN是梯形A黨HE的中位線，即MN＝（AE＋黨H）＝(28＋36)＝32．又∵BF、CG分別是梯形AMNE、M黨HN的中位線，∴BF＝－(AE＋MN)＝(28＋32)＝30，CG＝(MN＋黨H)＝(32＋36)＝34．六、作過頂點和腰中點的連線，構造全等三角形添加該輔助線后，通常是將梯形轉化為多個三角形與四邊形，再尋找其中的全等三角形解決問題．例7如圖7，梯形ABC黨中，M為腰A黨的中點，MH⊥BC于點H．求證：S梯形ABC黨＝BC·MH．證明連結CM，并延長交AB的反向延長線于點N，連結BM．根據(jù)題意，由“角邊角”可知△黨MC≌△AMN，七、添加對稱軸，利用對稱性具備對稱性質(zhì)的圖形十分優(yōu)美，梯形中添加對稱軸后，對應的線段、角度等均相等．例8如圖8，在梯形ABC黨中，A黨∥BC，AB＝C黨．請在梯形內(nèi)部求作一點O，使OA＝OB＝OC＝O黨． 作法(1)作梯形ABC黨的對稱軸分別交A黨、BC于點M、N．(2)作腰AB的垂直平分線交MN于點O，則點O即