河南省南陽市高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)（理）試題及答案

試卷第=page22頁，總=sectionpages33頁第Page\*MergeFormat6頁共NUMPAGES\*MergeFormat29頁河南省南陽市高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)（理）試題及答案一、單選題1．已知集合，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】化簡集合A，根據(jù)交集運(yùn)算即可.【詳解】,故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式不等式，交集的運(yùn)算，屬于容易題.2．設(shè)復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)的虛部為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算法則，化簡復(fù)數(shù)，即可寫出虛部.【詳解】,復(fù)數(shù)的虛部為.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算，復(fù)數(shù)的概念，屬于中檔題.3．在一個(gè)不透明的容器中有6個(gè)小球，其中有4個(gè)黃球，2個(gè)紅球，它們除顏色外完全相同，如果一次隨機(jī)取出2個(gè)球，那么至少有1個(gè)紅球的概率為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】取出2個(gè)球共有取法種，至少有1個(gè)紅球的對(duì)立事件為沒有一個(gè)紅球，共有種，根據(jù)古典概型概率公式即可求解.【詳解】設(shè)一次隨機(jī)取出2個(gè)球，至少有1個(gè)紅球?yàn)槭录嗀，則，故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了古典概型，對(duì)立事件，屬于中檔題.4．已知函數(shù)的周期為，則下列選項(xiàng)正確的是A．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱B．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱D．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱【答案】B【解析】根據(jù)函數(shù)的周期為π，求解ω可得解析式，對(duì)各選項(xiàng)逐一考察即可．【詳解】函數(shù)的最小正周期為，則即，則，

由對(duì)稱軸方程：得：，（k∈Z）

經(jīng)考查C，D選項(xiàng)不對(duì)．

由對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)：得：當(dāng)k=0時(shí)，可得圖象的對(duì)稱中心坐標(biāo)為．

故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，求出解析式是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．5．甲、乙兩類水果的質(zhì)量（單位：）分別服從正態(tài)分布，其正態(tài)分布的密度曲線如圖所示，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A．甲類水果的平均質(zhì)量B．甲類水果的質(zhì)量比乙類水果的質(zhì)量更集中于平均值左右C．甲類水果的平均質(zhì)量比乙類水果的質(zhì)量小D．乙類水果的質(zhì)量服從正態(tài)分布的參數(shù)【答案】D【解析】由圖象可知，甲類水果的平均質(zhì)量μ1=0.4kg，乙類水果的平均質(zhì)量μ2=0.8kg，故A，B，C，正確；乙類水果的質(zhì)量服從的正態(tài)分布的參數(shù)σ2=，故D不正確．故選D．6．函數(shù)的大致圖像為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由解析式可知，在定義域上恒成立，即可選出答案.【詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)?，，，所以，結(jié)合圖象，只有D選項(xiàng)符合要求，故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的定義域，值域，圖象，屬于容易題.7．已知，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)利用對(duì)數(shù)函數(shù)的增減性，判定與0,1的大小關(guān)系即可求解.【詳解】,,,,,綜上，故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性比較大小，屬于中檔題.8．在如圖算法框圖中，若，程序運(yùn)行的結(jié)果為二項(xiàng)式的展開式中的系數(shù)的倍，那么判斷框中應(yīng)填入的關(guān)于的判斷條件是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)二項(xiàng)式（2+x）5展開式的通項(xiàng)公式，求出x3的系數(shù)，模擬程序的運(yùn)行，可得判斷框內(nèi)的條件．【詳解】∵二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式是,令，，，∴程序運(yùn)行的結(jié)果S為120，模擬程序的運(yùn)行，由題意可得k=6，S=1不滿足判斷框內(nèi)的條件，執(zhí)行循環(huán)體，S=6，k=5不滿足判斷框內(nèi)的條件，執(zhí)行循環(huán)體，S=30，k=4不滿足判斷框內(nèi)的條件，執(zhí)行循環(huán)體，S=120，k=3此時(shí)，應(yīng)該滿足判斷框內(nèi)的條件，退出循環(huán)，輸出S的值為120．故判斷框中應(yīng)填入的關(guān)于k的判斷條件是k＜4？故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式的應(yīng)用問題，考查了程序框圖的應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)模擬程序框圖的運(yùn)行過程，以便得出正確的結(jié)論，屬于中檔題．9．已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，設(shè)，則數(shù)列的前項(xiàng)和取最大值時(shí)的值為（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】D【解析】由可分析數(shù)列，的符號(hào)，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，求出的最大值時(shí)n的值.【詳解】由可得：即，，，等差數(shù)列是的遞減數(shù)列，又，所以最大，故，故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的增減性，判斷數(shù)列項(xiàng)的符號(hào)，數(shù)列和的最值，屬于中檔題.10．十八世紀(jì)，函數(shù)（表示不超過的最大整數(shù)）被“數(shù)學(xué)王子”高斯采用，因此得名為高斯函數(shù)，結(jié)合定義的表述，人們習(xí)慣稱為“取整函數(shù)”，根據(jù)上述定義，則方程的所有實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為（）A． B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】由可得，若時(shí)，方程顯然不成立，故，此時(shí)，分別分析即可.【詳解】由可得,因?yàn)闀r(shí)，，方程無解，當(dāng)時(shí)，的可能取值為，當(dāng)時(shí)，方程有解，當(dāng)時(shí)，方程無解，當(dāng)時(shí)，，解得或，因?yàn)?，符合題意，不符合題意，舍去，綜上，方程的根為，，故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程，取整函數(shù)，分類討論的思想，屬于中檔題.11．某三棱錐的三視圖如圖所示，其中主視圖是等邊三角形，則該三棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】先在長方體中還原該三棱錐為P-ABC，根據(jù)三棱錐底面外接圓圓心確定外接球球心位置，設(shè)球的半徑為R，列出方程即可求出結(jié)果．【詳解】根據(jù)三視圖，在長方體中還原該三棱錐為P-ABC，且長方體的長為2，寬為4，高為，取AB中點(diǎn)為D，上底面中心為E，連接DE，EP，則DE=，因?yàn)槿切蜛BC為直角三角形，所以D點(diǎn)為三角形ABC的外接圓圓心，因此三棱錐的外接球球心，必在線段DE上，記球心為O，設(shè)球的半徑為R，則OB=OP=R，所以，因此，解得：所以該三棱錐的外接球表面積為,故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了幾何體的三視圖以及幾何體外接球的相關(guān)計(jì)算，屬于中檔題．12．已知函數(shù)…，若函數(shù)的零點(diǎn)均在區(qū)間內(nèi)，則的最小值是（）A． B． C．3 D．【答案】A【解析】利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)f（x）單調(diào)性，再利用f（-1）＜0，f（0）=1，函數(shù)零點(diǎn)的判定定理判斷函數(shù)是否存在零點(diǎn)零點(diǎn)【詳解】…，，當(dāng)且時(shí)，，又，在R上是增函數(shù)，且，由函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理知，函數(shù)的唯一零點(diǎn)，又函數(shù)的零點(diǎn)均在區(qū)間，所以的最小值為，故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，函數(shù)的零點(diǎn)的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，屬于中檔題.二、填空題13．已知向量，若，則實(shí)數(shù)的值為________.【答案】【解析】利用向量垂直的性質(zhì)列方程求解即可.【詳解】,,,解得，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量垂直的性質(zhì)，數(shù)量積的運(yùn)算，屬于容易題.14．學(xué)校準(zhǔn)備將名同學(xué)全部分配到運(yùn)動(dòng)會(huì)的田徑、拔河和球類個(gè)不同項(xiàng)目比賽做志愿者，每個(gè)項(xiàng)目至少名，則不同的分配方案有________種（用數(shù)字作答）.【答案】150【解析】根據(jù)題意，分兩種情況討論：①將5名同學(xué)分成三組，一組1人，另兩組都是2人，②將5名同學(xué)分成三組，一組3人，另兩組都是1人，由組合數(shù)公式計(jì)算可得每種情況下的分配方案數(shù)目，由分類計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．【詳解】將名同學(xué)全部分配到運(yùn)動(dòng)會(huì)的田徑、拔河和球類個(gè)不同項(xiàng)目比賽做志愿者，有2種情況：①將5名同學(xué)分成三組，一組1人，另兩組都是2人，有種分組方法，再將3組分到3個(gè)項(xiàng)目，共有種不同的分配方案；②將5名同學(xué)分成三組，一組3人，另兩組都是1人，有種分組方法，再將3組分到3個(gè)項(xiàng)目，共有種不同的分配方案，共有90+60=150種不同的分配方案，故答案為：150【點(diǎn)睛】本題主要考查了排列、組合的運(yùn)用，注意先要根據(jù)題意要求，進(jìn)行分類討論，其次要正確運(yùn)用分組公式，屬于中檔題.15．已知雙曲線的左右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，為其左、右兩個(gè)頂點(diǎn)，以線段為直徑的圓與雙曲線的漸近線在第一象限的交點(diǎn)為，且，則該雙曲線的離心率為________.【答案】【解析】求出雙曲線的漸近線方程和圓的方程，求出交點(diǎn)M，再由兩點(diǎn)的斜率公式，得到a，b的關(guān)系，再由離心率公式即可得到所求值.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，以F1F2為直徑的圓的方程為，將直線代入圓的方程，可得，（負(fù)的舍去），y=b，即有又，由于，BM⊥x軸，則，即有，則離心率，故答案為：16．已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，，為常數(shù)）有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________.【答案】【解析】函數(shù)有三個(gè)不同零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為方程有3個(gè)根，進(jìn)而當(dāng)與有兩個(gè)不同交點(diǎn)問題，畫簡圖可得的范圍．【詳解】時(shí)，，，得或，函數(shù)有三個(gè)不同零點(diǎn)，則與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，而，令，，，，，，所以，函數(shù)大致圖象如下：與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)的范圍，．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性得函數(shù)最值，進(jìn)而求兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)的范圍，屬于中檔題．三、解答題17．如圖，在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且.(1)求的大?。唬?）若，點(diǎn)、在的異側(cè)，，，求平面四邊形面積的最大值.【答案】(1)（2）【解析】(1)由正弦定理將化為，再由兩角和的正弦公式化簡，即可求出結(jié)果；(2)先由余弦定理求出的長，將平面四邊形的面積轉(zhuǎn)化為兩三角形與面積之和，即可求解.【詳解】（1）因?yàn)?，且，所以在中，所以所以所以因?yàn)樵谥校砸驗(yàn)槭堑膬?nèi)角所以.（2）在中，因?yàn)槭堑妊苯侨切?，所以所以平面四邊形的面積因?yàn)?，所以所以?dāng)時(shí)，，此時(shí)平面四邊形的面積有最大值【點(diǎn)睛】本題主考查解三角形，屬于基礎(chǔ)題型.18．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，PA底面ABCD，AC=,PA=2，E是PC上的一點(diǎn)，PE=2EC。證明PC平面BED；設(shè)二面角A-PB-C為90°，求PD與平面PBC所成角的大小【答案】【解析】本試題主要是考查了四棱錐中關(guān)于線面垂直的證明以及線面角的求解的運(yùn)用。從題中的線面垂直以及邊長和特殊的菱形入手得到相應(yīng)的垂直關(guān)系和長度，并加以證明和求解。解法一：因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形，所以BDAC,又【點(diǎn)評(píng)】試題從命題的角度來看，整體上題目與我們平時(shí)練習(xí)的試題和相似，底面也是特殊的菱形，一個(gè)側(cè)面垂直于底面的四棱錐問題，那么創(chuàng)新的地方就是點(diǎn)E的位置的選擇是一般的三等分點(diǎn)，這樣的解決對(duì)于學(xué)生來說就是比較有點(diǎn)難度的，因此最好使用空間直角坐標(biāo)系解決該問題為好。19．設(shè)直線與拋物線交于兩點(diǎn)，與橢圓交于兩點(diǎn)，設(shè)直線（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率分別為，若.（1）證明：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）是否存在常數(shù)，滿足？并說明理由.【答案】（1）證明見解析（0，2）；（2）存在，理由見解析【解析】（1）設(shè)直線l的方程為y=kx+b代入拋物線的方程，利用OA⊥OB，求出b，即可知直線過定點(diǎn)（2）由斜率公式分別求出，，聯(lián)立直線與拋物線，橢圓，再由根與系數(shù)的關(guān)系得，，，代入，，化簡即可求解.【詳解】（1）證明：由題知，直線l的斜率存在且不過原點(diǎn)，故設(shè)由可得，.，，故所以直線l的方程為故直線l恒過定點(diǎn).（2）由（1）知設(shè)由可得，，即存在常數(shù)滿足題意.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與拋物線、橢圓的位置關(guān)系，直線過定點(diǎn)問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．20．已知函數(shù).（1）若函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若關(guān)于的方程有兩個(gè)不等實(shí)根，證明：①；②.【答案】（1）（2）①證明見解析②證明見解析【解析】（1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)情況得到函數(shù)大致變化規(guī)律，即可求解（2）原函數(shù)化為，求導(dǎo)數(shù)，分析函數(shù)單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)利用單調(diào)性證明不等式.【詳解】（1）由題知，與有兩個(gè)交點(diǎn)，，.由得，；由得，，在上單增，在上單減，又，且時(shí)，，故.（2）①方程可化為，令，，所以在上單增，在上單減，又，不妨設(shè).則，要證明，只需證且在上單減，所以證令，則當(dāng)時(shí)，，即在單增.又，對(duì)恒成立，即成立即成立②由①得，即，命題得證.【點(diǎn)睛】本題主要證明了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，最值，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，屬于難題.21．一種擲硬幣走跳棋的游戲：在棋盤上標(biāo)有第1站、第2站、第3站、…、第100站，共100站，設(shè)棋子跳到第站的概率為，一枚棋子開始在第1站，棋手每擲一次硬幣，棋子向前跳動(dòng)一次.若硬幣的正面向上，棋子向前跳一站；若硬幣的反面向上，棋子向前跳兩站，直到棋子跳到第99站（失?。┗蛘叩?00站（獲勝）時(shí)，游戲結(jié)束.（1）求；（2）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（3）求玩該游戲獲勝的概率.【答案】（1），，（2）證明見解析（3）【解析】（1）根據(jù)題意，分析可得棋子在1站是一個(gè)必然事件，即可得P1的值，進(jìn)而分析棋子跳到2站以及棋子跳到3站的情況，據(jù)此求出P2、P3的值（2）根據(jù)題意，分析可得，變形可得，即可得結(jié)論（3）由（2）知，利用累加法求出，由對(duì)立事件的概率性質(zhì)求出.【詳解】（1）棋子開始在第1站是必然事件，；棋子跳到第2站，只有一種情況，第一次擲硬幣正面向上，其概率為；棋子跳到第3站，有兩種情況，①第一次擲硬幣反面向上，其概率為；②前兩次擲硬幣都是正面向上，其概率為；（2）棋子棋子跳到第站，有兩種情況：①棋子先跳到第n站，又?jǐn)S硬幣反面向上，其概率為；②棋子先跳到第站，又?jǐn)S硬幣正面向上，其概率為.故.又，數(shù)列…是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.（3）由（2）得.……所以獲勝的概率為【點(diǎn)睛】本題主要考查了互斥事件的概率公式，數(shù)列的定義，用疊加法求數(shù)列的項(xiàng)，屬于難題．22．在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)