考點29導數(shù)與函數(shù)的單調性極值最值

考點29導數(shù)與函數(shù)的單調性、極值、最值1.【2023新高考Ⅱ卷】已知函數(shù)f(x)=aex?lnx在區(qū)間(1,2)單調遞增，則a的最小值為A.e2 B.e C.e?1 【答案】C

【解析】【分析】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，屬于中檔題．由題意，f′(x)=aex?1x【解答】解：由題意，f′(x)=aex?∴a≥1xex，由于∴g(x)<g(1)=1∴a≥故答案選：C.2.【2022全國甲卷】當x=1時，函數(shù)f(x)=alnx+bx取得最大值?2，則A.?1 B.?12 C.12【答案】B

【解析】【分析】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的最值問題，屬于中檔題．

由f1=?2，f′1=0，可得求得a，【解答】

解：因為函數(shù)fx定義域為0,+∞，所以依題可知，f1=?2，f′1=0，

而f′x=ax?bx2，所以b=?2,a?b=0，即a=?2,b=?2，

所以f′3.【2022全國乙卷】函數(shù)f(x)=cosx+(x+1)sinx+1在區(qū)間[0,2π]的最小值，最大值分別為A.?π2，π2 B.?3π2，π2 C.?π【答案】D

【解析】【分析】本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的最值問題，考查了運算求解能力，屬于基礎題．【解答】

解：f(x)=cosx+(x+1)sinx+1，則f′(x)=?sinx+sinx+(x+1)cosx=(x+1)cosx，

當x∈[0,π2),f′(x)>0；當x∈(π2,3π2)，f′(x)<0；當x∈(3π2,2π],f′(x)>0,4.【2021全國乙卷】設a≠0，若x=a為函數(shù)f(x)=a(x?a)2(x?b)的極大值點，則A.a<b B.a>b C.ab<a2 【答案】D

【解析】【分析】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的極值、極值點，考查一元二次不等式的解法，考查分類討論思想，屬于較難題．

根據(jù)a≠0，且x=a為函數(shù)fx=ax?a2x?b的極大值點，利用導數(shù)來判斷a，b該滿足的條件，為此需要判斷函數(shù)在x=a左右的單調性，本題需要分a=b，a>0并且a<b，a>0，并且a>b，a<0，并且a<b，a<0，并且a>b共5種情況討論，由此可以推出：a>0并且a<b【解答】

解：因為a≠0，

(Ⅰ)所以當a=b時，函數(shù)fx=ax?a3在?∞,+∞單調，無極值，不合條件；

(Ⅱ)當a≠b時，因為f′x=3ax?ax?a+2b3，

所以，①若a>0并且a<b時，a<a+2b3，

由f′x>0，得：x<a或x>a+2b3，

由f′x<0，得：a<x<a+2b3，

所以這時fx在?∞,a上單調遞增，在a,a+2b3上單調遞減，x=a是函數(shù)fx的極大值點，符合條件；

②若a>0，并且a>b時，a>a+2b3，

由f′x>0，得：x<a+2b3或x>a，

由f′x<0，得：a+2b3<x<a，

所以這時fx在a+2b3,a上單調遞減，在a,+∞上單調遞增，x=a是函數(shù)fx的極小值點，不符合條件；

③若a<0，并且a<b時，a<a+2b3，

由f′x>0，得：a<x<a+2b3，

由f′x<0，得：x<a或x>a+2b3，

這時fx在?∞,a上單調遞減，在a,a+2b3上單調遞增，x=a是函數(shù)fx的極小值點，不符合條件；

④若a<0，并且a>b時，a>a+2b3，

由f′x>0，得：a+2b3<x<a5.【2023新高考Ⅱ卷】若函數(shù)f(x)=alnx+bx+A.bc>0 B.ab>0 C.b2+8ac>0 【答案】BCD

【解析】【分析】本題考查函數(shù)的極值問題，屬中檔題．

通過求導，問題可轉化成ax【解答】解：因為f(x)=alnx+b得f′(x)=ax則{Δ>0x1故選BCD.6.【2023全國乙卷】設a∈(0,1)，若函數(shù)f(x)=ax+(1+a)x在(0,+∞)上單調遞增，則a【答案】[【解析】【分析】本題考查了利用導數(shù)由函數(shù)的單調性求參，屬較難題．求出f′(x)=ax[ln?a+(1+aa【解答】解：由題得x∈(0,+∞)，

f′(x)=a令φ(x)=ln又a∈(0,1)，則1+aa>1，于是可知φ(x)=lna+(1+a則φ(0)=ln?a+ln?(1+a)≥0，即解得5故答案為：[7.【2022全國乙卷】已知x=x1和x=x2分別是函數(shù)f(x)=2ax?ex2(a>0【答案】1e【解析】【分析】本題考查利用導數(shù)的極值求解參數(shù)，考查轉化能力與運算求解能力，屬于較難題．

求導，轉化為f′(x)=2(axlna?ex)至少要有兩個零點x=x【解答】

解：f′(x)=2(axlna?ex)至少要有兩個零點x=x1和x=x2，

構造函數(shù)?x=f′x=2(axlna?ex)，對其求導，?′x=2axlna2?2e，

(1)若a>1，則?′x在R上單調遞增，此時若?′(x0)=0，則f′(x)在(?∞,x0)上單調遞減，

在(x0,+∞)上單調遞增，此時若有x=x1和x=x2分別是函數(shù)f(x)=2ax?ex2(a>0且a≠1)的極小值點和極大值點，則x18.【2021新高考Ⅰ卷】函數(shù)f(x)=|2x?1|?2lnx的最小值為

．【答案】1

【解析】【分析】本題考查利用導數(shù)求最值的應用，考查運算求解能力，是中檔題．

求出函數(shù)定義域，對x分段去絕對值，當0<x≤12時，直接利用單調性求最值；當x>1【解答】

解：函數(shù)f(x)=|2x?1|?2lnx的定義域為(0,+∞)，

當0<x≤12時，f(x)=|2x?1|?2lnx=?2x+1?2lnx，

此時函數(shù)f(x)在(0,12]上為減函數(shù)，

所以f(x)≥f(12)=?2×12+1?2ln12=2ln2；

當x>12時，f(x)=|2x?1|?2lnx=2x?1?2lnx，

則f′(x)=2?2x=2(x?1)x，

當x∈(12,1)時，f′(x)<0，f(x)單調遞減，

當x∈(1,+∞)時，f′(x)>0，f(x)9.【2022全國乙卷】已知函數(shù)f(x)=ax?1x?(a+1)lnx.

(1)當a=0時，求f(x)的最大值;

(2)若f(x)【答案】解：(1)當a=0時，f(x)=?1x?lnx，定義域為(0,+∞)．

f′(x)=1x2?1x=1?xx2，

當x∈(0,1)時,f′(x)>0,f(x)單調遞增，當x∈(1,+∞)時,f′(x)<0,f(x)單調遞減，

故f(x)max=f(1)=?1?0=?1．

(2)f(x)=ax?1x?(a+1)lnx，定義域為(0,+∞)．

f′(x)=a+1x2?a+1x=ax2?(a+1)x+1x2，

令g(x)=ax2?(a+1)x+1,x∈(0,+∞)

①若a=0，g(x)=?x+1，由(1)知f(x)??1，此時無零點．

②若a≠0，△=(a+1)2?4a=(a?1)2，

當a=1時，g(x)=(x?1)2?0，f′(x)?0，故f(x)單調遞增，且f(1)=0，符合題意．

當a≠1時，g(x)=0有兩個不等的實根，x1=1,x2=1a，

若a<0，f(x)在(0,1)上單調遞增，在(1,+∞)【解析】本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的最值及利用導數(shù)研究函數(shù)的零點，屬于難題．10.【2021全國甲卷】設函數(shù)f(x)=a2x2+ax?3lnx+1，其中a>0．

(1)討論f(x)的單調性；

(2)若y=f(x)的圖像與x【答案】解：(1)函數(shù)定義域為(0,+∞)，

f′(x)=2a2x+a?3x=2a2x2+ax?3x=(2ax+3)(ax?1)x，

因為a>0，x>0，

所以?32a<0<1a，

所以在(0,1a)上，f′(x)<0，f(x)單調遞減，

在(1a,+∞)上，f′(x)>0，f(x)單調遞增．

綜上所述，f(x)在(0,1a)上單調遞減，在(1a,+∞)上單調遞增．

(2)由【解析】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，導數(shù)中的恒成立問題與最小值，屬于中檔題．

(1)對f(x)求導得f′(x)=(2ax+3)(ax?1)x，分析f′(x)的正負，即可得出f(x)的單調區(qū)間;

(2)由(1)可知，f(x)min=f(1a)，由11.【2021北京】已知函數(shù)f(x)=3?2xx2+a．

(1)若a=0，求y=f(x)在(1，

f(1))處切線方程；

(2)若函數(shù)f(x)在x=?1處取得極值，求【答案】解：（1）當時，，則，，，

此時，曲線在點處的切線方程為，即；

（2）因為，則，

由題意可得，解得，

故，，列表如下：

所以，函數(shù)的增區(qū)間為、，單調遞減區(qū)間為.

當時，；當時，.

所以，，.【解析】本題主要考查了點斜式方程及利用導數(shù)研究函數(shù)的最大（?。┲?gt;利用導數(shù)求函數(shù)的最值（1）求出、的值，利用點斜式可得出所求切線的方程；

（2）由可求得實數(shù)的值，然后利用導數(shù)分析函數(shù)的單調性與極值，由此可得出結果.

12.【2020全國Ⅱ卷】已知函數(shù)f(x)=2ln?x+1．

(1)若f(x)?2x+c，求c的取值范圍;

(2)設a>0，討論函數(shù)g(x)=f(x)?f(a)【答案】解：(1)f(x)?2x+c等價于2ln?x?2x?c?1，

設?(x)=2ln?x?2x，

則?′(x)=2x?2=2(1?x)x，

所以?(x)在(0,1)上遞增，在(1,+∞)遞減，

?(x)max=?(1)=?2，

所以c?1??2，即c??1，

因此c的取值范圍是[?1,+∞)．

(2)因為g(x)=2(ln?x?ln?a)x?a(x>0,x≠a,a>0)，

所以g′(x)=2x(x?a)?2ln?x+2ln?a(x?a)2

=?2ax?2ln?x+2ln?a+2(x?a)2，

令【解析】本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，屬于中檔題．

(1)不等式等價于2ln?x?2x?c?1，設?(x)=2ln?x?2x，求導判斷?(x)單調性及最值，即可求得c的范圍;

(2)對g(x)求得，再令g′(x)的分子為φ(x)=?2a13.【2022新高考Ⅰ卷】設a=0.1e0.1，b=19，c=?lnA.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.a<c<b【答案】C

【解析】【分析】本題考查了利用導數(shù)比較大小，關鍵是構造合適的函數(shù)，考查了運算能力，屬于較難題．

先構造函數(shù)f(x)=x+ln(1?x),x∈[0,0.1]，利用導數(shù)研究單調性比較a，b，再構造函數(shù)g(x)=xex+【解答】解：a=0.1e0.1，b=0.11?0.1，c=?ln(1?0.1)，

?①lna?lnb=0.1+ln(1?0.1)，

令f(x)=x+ln(1?x),x∈[0,0.1]，

則f′(x)=1?11?x=?x1?x?0，

故f(x)在[0,0.1]上單調遞減，

可得f(0.1)<f(0)=0，即lna?lnb<0，所以a<b；

?②a?c=0.1e0.1+ln(1?0.1)，

令g(x)=xex+ln(1?x),x∈[0,0.1]，

則g′(x)=xex14.【2021全國乙卷】設a=2ln1.01，b=ln1.A.a<b<c B.b<c【答案】B

【解析】【分析】本題考查了利用導數(shù)比較大小，考查了導數(shù)和函數(shù)的單調性和最值的關系，考查了轉化思想，屬于較難題．

構造函數(shù)f(x)=2ln(1+x)?(1+4?x?1)，0<x<1【解答】解：∵a=2ln1.01=ln1.0201，b=ln1.02，

∴a>b，

令f(x)=2ln(1+x)?(1+4?x?1)，0<x<1，

令1+4?x=t，則1<t<5，

∴x=?t2?14，

∴g(t)=2ln(t2+34)?t+1=2ln(t2+3)?t+1?2ln4，

∴g′(t)=4tt2+3?1=4t?t2?3t2+3=?(t?1)(t?3)t2+3>0，1<t<5，

∴g(t)在(1,5)上單調遞增，

∴g(t)>g(1)=2ln4?1+1?2ln4=0，

∴f(x)>0，即2ln(1+x)>1+4?x?1，0<x<1，

取x=0.01，則2ln1.01>1.04?1，

即a>c，

同理令?(x)=ln15.【2023新高考Ⅱ卷】(1)證明：當0<x<1時，x?x2<sinx<x；(2)已知函數(shù)f(x)=cosax?ln(1?x2)，若x=0是【答案】(1)證明：構造函數(shù)g(x)=sinx?x+x則g′(x)=cosx?1+2x，令?(x)=g′(x)，則?′(x)=?sinx+2>0，所以?(x)在(0,1)上單調遞增，則g′(x)>g′(0)=0，所以g(x)在(0,1)上單調遞增，所以g(x)>g(0)=0，即x?x構造函數(shù)G(x)=x?sinx，則G′(x)=1?cosx>0，所以G(x)在(0,1)上單調遞增，則G(x)>G(0)=0，即sinx<x，綜上，當0<x<1時，x?x(2)解：由1?x2>0，得函數(shù)f(x)又f(?x)=f(x)，所以f(x)是偶函數(shù)，所以只需考慮區(qū)間(0,1)．f′(x)=?asinax+2x1?x2，

令F(x)=f′(x)，則F′(x)=?a2cosax+2+2x2(1?x2)2，

其中f′0=F0=0,F′0=2?a2，

?①若F′0=2?a2>0，記?2<a<2時，易知存在δ>0，使得x∈(0,δ)時，F(xiàn)′x>0，∴f′(x)在(0,δ)上遞增，∴f′(x)>f′(0)=0，

∴f(x)在(0,δ)上遞增，這與x=0是f(x)的極大值點矛盾，舍去．

?②若F′0=2?a2<0，記a<?2或a>2時，存在δ′>0，使得x∈(?δ′,δ′)時，F(xiàn)′x<0，∴f′(x)在(?δ′,δ′)上遞減，

注意到f′(0)=0，∴當?δ′<x<0時，f′【解析】本題考查利用導數(shù)證明不等式，利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，屬于壓軸題．(1)構造函數(shù)g(x)=si