山西省長(zhǎng)治、運(yùn)城、大同、朔州、陽(yáng)泉五地市2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)高二上期末檢測(cè)模擬試題含解析

山西省長(zhǎng)治、運(yùn)城、大同、朔州、陽(yáng)泉五地市2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)高二上期末檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．拋物線的準(zhǔn)線方程是，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B.C.8 D.2．如圖，在四棱錐中，平面，底面是正方形，，則下列數(shù)量積最大的是（）A. B.C. D.3．①命題設(shè)“，若，則或”；②若“”為真命題，則p，q均為真命題；③“”是函數(shù)為偶函數(shù)的必要不充分條件；④若為空間的一個(gè)基底，則構(gòu)成空間的另一基底；其中正確判斷的個(gè)數(shù)是（）A.1 B.2C.3 D.44．“趙爽弦圖”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的瑰寶，如圖所示，它是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)正方形構(gòu)成.現(xiàn)用4種不同的顏色（4種顏色全部使用）給這5個(gè)區(qū)域涂色，要求相鄰的區(qū)域不能涂同一種顏色，每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，則不同的涂色方案有（）A.24種 B.48種C.72種 D.96種5．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F分別作兩條直線，直線與拋物線C交于A、B兩點(diǎn)，直線與拋物線C交于D、E兩點(diǎn)，若與的斜率的平方和為2，則的最小值為（）A.24 B.20C.16 D.126．中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見(jiàn)次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還．”其意思為：有一個(gè)人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地，請(qǐng)問(wèn)第二天走了（）A.192

里 B.96

里C.48

里 D.24

里7．用反證法證明命題“a，b∈N，如果ab可以被5整除，那么a，b至少有1個(gè)能被5整除．”假設(shè)內(nèi)容是()A.a，b都能被5整除 B.a，b都不能被5整除C.a不能被5整除 D.a，b有1個(gè)不能被5整除8．已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線與直線平行，若數(shù)列的前項(xiàng)和為，則的值為（）A. B.C. D.9．若，，，則a，b，c與1的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.10．已知向量，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．D．11．《周髀算經(jīng)》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣，自冬至日起，其日影長(zhǎng)依次成等差數(shù)列，立春當(dāng)日日影長(zhǎng)為9.5尺，立夏當(dāng)日日影長(zhǎng)為2.5尺，則冬至當(dāng)日日影長(zhǎng)為（）A.12.5尺 B.13尺C.13.5尺 D.14尺12．點(diǎn)A是曲線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)A到直線的最小距離為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為_(kāi)_____.14．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________；15．在平行六面體中，點(diǎn)P是AC與BD的交點(diǎn)，若，且，則___________.16．若圓心坐標(biāo)為圓被直線截得的弦長(zhǎng)為，則圓的半徑為_(kāi)_____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為A（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)（均與A，不重合），過(guò)點(diǎn)與軸垂直的直線分別交直線，于點(diǎn)，，證明：點(diǎn)，關(guān)于軸對(duì)稱18．（12分）已知橢圓：的離心率為，，分別為橢圓的左，右焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，的周長(zhǎng)為.（1）求橢圓的方程；（2）為圓上任意一點(diǎn)，過(guò)作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，判斷是否為定值?若是，求出定值：若不是，說(shuō)明理由，19．（12分）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別是，且（1）求角的大?。?）若，且，求的面積20．（12分）經(jīng)觀測(cè)，某種昆蟲(chóng)的產(chǎn)卵數(shù)y與溫度x有關(guān)，現(xiàn)將收集到的溫度和產(chǎn)卵數(shù)的10組觀測(cè)數(shù)據(jù)作了初步處理，得到如下圖的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量表.275731.121.71502368.3630表中，（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與哪一個(gè)適宜作為y與x之間的回歸方程模型？（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由）（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù).試求y關(guān)于x回歸方程.附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，.21．（12分）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且，，.（1）求角B；（2）求a，c的值及的面積.22．（10分）兩個(gè)頂點(diǎn)、的坐標(biāo)分別是、，邊、所在直線的斜率之積等于，頂點(diǎn)的軌跡記為.（1）求頂點(diǎn)的軌跡的方程；（2）若過(guò)點(diǎn)作直線與軌跡相交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)恰為弦中點(diǎn)，求直線的方程；（3）已知點(diǎn)為軌跡的下頂點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)在軌跡上，求的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】化簡(jiǎn)方程為，求得拋物線的準(zhǔn)線方程，列出方程，即可求解.【詳解】由拋物線，可得，所以，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為，因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線方程為，所以，解得.故選：B.2、B【解析】設(shè)，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)得，，，，根據(jù)向量數(shù)量積的定義逐一計(jì)算，比較可得答案.【詳解】解：設(shè)，因?yàn)槠矫妫?，，，，又底面是正方形，所以，，?duì)于A，；對(duì)于B，；對(duì)于C，；對(duì)于D，，所以數(shù)量積最大的是，故選：B.3、B【解析】利用逆否命題、含有邏輯聯(lián)結(jié)詞命題的真假性、充分和必要條件、空間基底等知識(shí)對(duì)四個(gè)判斷進(jìn)行分析，由此確定正確答案.【詳解】①，原命題的逆否命題為“，若且，則”，逆否命題是真命題，所以原命題是真命題，①正確.②，若“”為真命題，則p，q至少有一個(gè)真命題，②錯(cuò)誤.③，函數(shù)為偶函數(shù)的充要條件是“”.所以“”是函數(shù)為偶函數(shù)的充分不必要條件，③錯(cuò)誤.④，若為空間的一個(gè)基底，即不共面，若共面，則存在不全為零的，使得，故，因?yàn)闉榭臻g的一個(gè)基底，，故，矛盾，故不共面，所以構(gòu)成空間的另一基底，④正確.所以正確的判斷是個(gè).故選：B4、B【解析】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析區(qū)域①、②、⑤和區(qū)域③、④的涂色方法，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案.【詳解】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：當(dāng)區(qū)域①、②、⑤這三個(gè)區(qū)域兩兩相鄰，有種涂色的方法；當(dāng)區(qū)域③、④，必須有1個(gè)區(qū)域選第4種顏色，有2種選法，選好后，剩下的區(qū)域有1種選法，則區(qū)域③、④有2種涂色方法，故共有種涂色的方法.故選：B5、C【解析】設(shè)兩條直線方程，與拋物線聯(lián)立，求出弦長(zhǎng)的表達(dá)式，根據(jù)基本不等式求出最小值【詳解】拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)直線：，直線：，聯(lián)立得：，所以，所以焦點(diǎn)弦，同理得：，所以，因?yàn)椋?，故選：C6、B【解析】由題可得此人每天走的步數(shù)等比數(shù)列，根據(jù)求和公式求出首項(xiàng)可得.【詳解】由題意可知此人每天走的步數(shù)構(gòu)成為公比的等比數(shù)列，由題意和等比數(shù)列的求和公式可得，解得，第此人第二天走里.故選：B7、B【解析】由于反證法是命題的否定的一個(gè)運(yùn)用，故用反證法證明命題時(shí)，可以設(shè)其否定成立進(jìn)行推證．命題“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1個(gè)能被5整除．”的否定是“a，b都不能被5整除”考點(diǎn)：反證法8、A【解析】函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線與直線平行，利用導(dǎo)函數(shù)的幾何含義可以求出，轉(zhuǎn)化求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而由數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)相消法求和即可【詳解】解：∵函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線與直線平行，由求導(dǎo)得：，由導(dǎo)函數(shù)得幾何含義得：，可得，∴，所以，∴數(shù)列的通項(xiàng)為，所以數(shù)列的前項(xiàng)的和即為，則利用裂項(xiàng)相消法可以得到：所以數(shù)列的前2021項(xiàng)的和為：.故選：A.9、C【解析】根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)，并求其導(dǎo)數(shù)，判斷該函數(shù)的單調(diào)性，據(jù)此作出該函數(shù)的大致圖象，由圖象可判斷a，b，c與1的大小關(guān)系.【詳解】令，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增,而，由可知，故作出函數(shù)大致圖象如圖：由圖象易知，，故選：C.10、D【解析】由題可知：，，，故選；D11、B【解析】設(shè)十二節(jié)氣自冬至日起的日影長(zhǎng)構(gòu)成的等差數(shù)列為，利用等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【詳解】設(shè)十二節(jié)氣自冬至日起的日影長(zhǎng)構(gòu)成的等差數(shù)列為，則立春當(dāng)日日影長(zhǎng)為，立夏當(dāng)日日影長(zhǎng)為，故所以冬至當(dāng)日日影長(zhǎng)為.故選：B12、A【解析】動(dòng)點(diǎn)在曲線，則找出曲線上某點(diǎn)的斜率與直線的斜率相等的點(diǎn)為距離最小的點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可【詳解】不妨設(shè)，定義域?yàn)椋簩?duì)求導(dǎo)可得：令解得：（其中舍去）當(dāng)時(shí)，，則此時(shí)該點(diǎn)到直線的距離為最小根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可得：解得：故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、4【解析】根據(jù)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的特征即可求解.【詳解】由題可知.故答案為：4.14、【解析】函數(shù)，又函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減∴在區(qū)間上恒成立即，解得:，當(dāng)時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)適合題意故答案為【點(diǎn)睛】f(x)為增函數(shù)的充要條件是對(duì)任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)內(nèi)的任一非空子區(qū)間上f′(x)≠0.應(yīng)注意此時(shí)式子中的等號(hào)不能省略，否則漏解15、【解析】由向量的運(yùn)算法則，求得，根據(jù)，結(jié)合向量的數(shù)量積的運(yùn)算，即可求解.【詳解】由題意可得，，則，故.故答案為：16、【解析】利用垂徑定理計(jì)算即可.【詳解】設(shè)圓的半徑為，則，得.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）先求出直線的方程，聯(lián)立直線與橢圓，求出A點(diǎn)坐標(biāo)；（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，用韋達(dá)定理得到兩根之和，兩根之積，求出兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)，證明出，即可證明關(guān)于軸對(duì)稱.【小問(wèn)1詳解】由題意得，，所以直線方程為，與橢圓方程聯(lián)立得解得或，當(dāng)時(shí)，，所以【小問(wèn)2詳解】設(shè)，，的方程為，聯(lián)立消去得，則，直線的方程為，設(shè)，則，直線的方程為，設(shè)，則，因?yàn)?，即，所以點(diǎn)，關(guān)于軸對(duì)稱18、（1）（2）是；【解析】（1）由離心率和焦點(diǎn)三角形周長(zhǎng)可求出，結(jié)合關(guān)系式得出，即可得出橢圓的方程；（2）由平行于軸特殊情況求出，即；當(dāng)平行于軸時(shí)，設(shè)過(guò)的直線為，聯(lián)立橢圓方程，令化簡(jiǎn)得關(guān)于的二次方程，由韋達(dá)定理即可求解.【小問(wèn)1詳解】由題可知，，解得，又，解得，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；【小問(wèn)2詳解】如圖所示，當(dāng)平行于軸時(shí)，恰好平行于軸，，，；當(dāng)不平行于軸時(shí)，設(shè)，設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線為，聯(lián)立得，令得，化簡(jiǎn)得，設(shè)，則，又，故，即.綜上所述，.19、（1）；（2）【解析】（1）根據(jù)，通過(guò)余弦定理求解.（2）根據(jù)，通過(guò)正弦定理，把角轉(zhuǎn)化為邊得，再根據(jù)，得．再代入的面積公式求解.【詳解】（1）∵，∴由余弦定理得，又，∴.（2）∵，∴由正弦定理得，∵，∴，又，∴∴面積【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理和正弦定理的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.20、（1）（2）【解析】(1)根據(jù)散點(diǎn)圖看出樣本點(diǎn)分布在一條指數(shù)函數(shù)的周圍，即可判斷；(2)令，利用最小二乘法即可求出y關(guān)于x的線性回歸方程.【小問(wèn)1詳解】根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，看出樣本點(diǎn)分布在一條指數(shù)函數(shù)的周圍，所以適宜作為y與x之間的回歸方程模型；【小問(wèn)2詳解】令，則，；，∴；∴y關(guān)于x的回歸方程為.21、（1）（2），，【解析】（1）利用正弦定理化簡(jiǎn)已知條件，求得，進(jìn)而求得.（2）利用余弦定理求得和，由此求得三角形的面積.【小問(wèn)1詳解】由于，∴.又∵，∴.∴.【小問(wèn)2詳解】∵，且，，，∴，解得或（舍）.∴，.∴.22、（1）（2）（3）【解析】（1）先表示出邊、所在直線的斜率，然后根據(jù)