強度理論底周疲勞課件

強度理論與方法（3）1——底周疲勞底周疲勞單調(diào)應力-應變響應循環(huán)應力-應變響應變幅循環(huán)應力-應變響應應變疲勞性能缺口應應變分析2低周疲勞或稱應變疲勞：載荷水平高

(σ>σys)，壽命短

(N＜104)。應變壽命法假定在應變控制下試驗的光滑試件可以模擬工程構件缺口根部的疲勞損傷。如果承受相同的應力應變歷程，則缺口根部材料有與光滑件相同的疲勞壽命3載荷水平低，應力和應變是線性相關，應力

控制和應變控制試驗的結果等效。高載荷水平，即低周疲勞范圍內(nèi)，循環(huán)應力

應變響應和材料的性能在應變控制條件下模擬更好。低載荷水平：應力控制和應變控等效。高載荷水平：應力變化小，難于控制

應變變化大，利于控制。4單調(diào)應力-應變關系循環(huán)載荷下，應變?nèi)绾畏治觯繎?壽命關系如何描述？循環(huán)應力-應變行為循環(huán)應力作用下的應變響應應變疲勞性能缺口應變分析應變疲勞壽命預測思路：問題：51.單調(diào)應力-應變響應A0l0d0originaldlAPPdeformedPS=

A0le=

l=l

?lΔl000工程應力S:Engineeringstress工程應變e:Engineeringstrain材料縱向伸長，橫向縮小。真應力、真應變?6P

ll0ld

l真應力true

stress:Aσ

P0應力應變S-eσysσ?ε均勻變形l

0

llε

=∫

dl真應變true

strain:0l

0)

=ln(1+

e)l

+Δl=ln(l

l

)=ln(

0ll

0

lε

=∫

dldlAPPdeformed頸縮前，變形是均勻的。忽略彈性體積變化，可假定均勻變形階段后體積不變。7工程應力、應變與真應力、真應變間關系：σ=P/A=Pl/A0l0=(P/A0)[(l0+Δl)/l0]=S(1+e)ε=ln(1+e)=ln(l

/l0)=ln(A0/A）8單調(diào)加載下的應力—應變關系σ-ε曲線上任一點應變ε可表示為：ε=εe+εpσ-εe關系用Hooke定理表為：σ=Eεeσ-εp關系用Holomon關系表達為：σ=K(εp)nRemberg-Osgood

彈塑性應力-應變關系：σεε

p0εeAK為強度系數(shù)，應力量綱(MPa);n為應變硬化指數(shù)，無量綱。

n=0，理想塑性材料。92.循環(huán)應力-應變響應N↑，σa↑，循環(huán)硬化；反之，為循環(huán)軟化。1.

滯后環(huán)

hysteresis

loops在εa=const的對稱循環(huán)下，應力、應變的連續(xù)變化。一般說來，低強度、軟材料趨于循環(huán)硬化；高強度、硬材料趨于循環(huán)軟化。可知：1)σ-ε響應隨循環(huán)次數(shù)改變。3)有循環(huán)硬化和軟化現(xiàn)象。a

a穩(wěn)態(tài)環(huán)σ

N=22)一定周次后有穩(wěn)態(tài)滯后環(huán)。100低碳鋼的循環(huán)應力應變響應102.

循環(huán)σa-εa曲線彈性應變幅εea、塑性應變幅εpa分別為：循環(huán)σa-εa曲線的數(shù)學描述：各穩(wěn)態(tài)滯后環(huán)頂點連線。

注意：循環(huán)σa-εa曲線，不反映加載路徑。K為循環(huán)強度系數(shù)，應力量綱(MPa)；n’為循環(huán)應變硬化指數(shù)，無量綱。

a

a0循環(huán)應力-應變曲線σa?ε

a

11循環(huán)應力-應變曲線可用多試樣法由試驗確定。這種方法是用一系列相同試樣在不同的應變水平下試驗，直到滯后環(huán)穩(wěn)定，然后將這些穩(wěn)態(tài)環(huán)疊在一起，連接其頂點如圖。12Δσ0Δε0'eaε

aσa

a

a

εeaεpaεpa

ε

σ

σ1

ε

εe

εp2

2

2

2E

2K

()

n3.滯后環(huán)曲線

(Δσ-Δε曲線)反映加載路徑。若拉壓性能對稱，考慮半支即可。以o'為原點，考慮上半支。假設Δσ-Δε曲線與σa-εa曲線幾何相似，滯后環(huán)曲線為：或者E2

K

′Δε

=

Δσ

+

2(

Δσ

)

1n′同樣，若用應變表示應力，則有：Δσ=EΔεe

和

Δσ=2K’(Δεp

/2)n'133.變幅循環(huán)應力-應變響應加載ABD, 卸、加載曲線ABCB’D。2) 過封閉環(huán)頂點后，σ-ε路徑不受封閉環(huán)的影響,

記得原來的路徑。原路徑A-B-D.1.

材料的記憶特性材料的記憶規(guī)則為：1)

應變第二次到達某處,該處曾發(fā)生過應變反向，則形成封閉環(huán)。

(封閉環(huán)B-C-B’)材料記得曾為反向加載所中斷的應力-應變路徑。ABDσεD'B'C14已知ε1，用數(shù)值方法可解出σ1。2.

變幅循環(huán)下的σ-ε響應計算已知變應變循環(huán)歷程，取從最大峰或谷起止的典型譜段，分析其穩(wěn)態(tài)應力響應。0-1

第一次加載，穩(wěn)態(tài)響應由σa-εa曲線描述。12

2’345

5'76

81'0εt7'1-2

卸載。已知載荷反向的變程Δε1-2

,求Δσ1-2。15反映加載路徑的是Δσ?Δε曲線，：即：Δε1?

2=

Δσ1?

2E

2

K

′+

2(

Δσ1?

2

)1

n′12

2’345

5'76

81'0εt7'已知Δε1-2=

ε1-ε2

?？汕螃う?-2；從

1到

2是卸載，則2處有：ε2=ε1-Δε1-2

σ2=σ2?Δσ1-22-3

加載。已知Δε2-3,

由滯后環(huán)曲線可求

Δσ2-3。對于加載，有：ε3=ε2+Δε2-3；

σ3=σ2+Δσ2?3。3-4

卸載。經(jīng)過2’處時，應變曾在該處

(2處)發(fā)生過反向，由記憶特性知2-3-2’形成封閉環(huán)，且不影響其后的σ-ε響應。164?5

加載。已知Δε4?5

,

求Δσ4?5，得到：ε5=ε4+Δε4?5

;

σ5=σ4+Δσ4?5。5?6

卸載。已知Δε5?6

,

求Δσ5?6。進而求得

ε6、

σ6。6?7

加載。已知Δε6?7

,

求Δσ6?7。進而求得

ε7、

σ7。7-8 卸載。已知Δε7-8

,求Δσ7-8。可得：ε8、σ8。按路徑

1?2?4計算σ?ε響應，有：得到：

ε4=ε1-Δε1-4；

σ4=σ1-Δσ1-4。Δε1?

4=

Δσ1?

4E

2

K

′+

2(

Δσ1?

4

)1

n′12

2’345

5'76

81'0εt7'1712

2’3465

5'781'0εt7'8-1’加載。注意有封閉環(huán)7-8-7’，5-6-5‘,1-4-1’；故有：

ε1'=ε1；

σ1'=σ1。依據(jù)計算數(shù)據(jù)(εi

,σi

), 在σ?ε坐標中描點，順序連接，即可得到

σ?ε響應曲線。εσ0467

7'832

2'5

5'1

1'184) 依據(jù)計算數(shù)據(jù)(εI

,σi

), 畫出σ?ε響應曲線。變幅循環(huán)下的應力-應變計算方法：1) 第一次加載，由σa-εa曲線描述，已知εa算σa。2)

后續(xù)反向，由Δε?Δσ曲線描述；由譜中已知的Δε算相應的Δσ，且有：εi+1

=εi±

Δεi-i+1

；

σi+1=σi±

Δσi-i+1加載變程用“+”,卸載用“-”。3)

注意材料記憶特性,

封閉環(huán)不影響其后的響應，去掉封閉環(huán)按原路徑計算。19例1：

變幅應變譜如圖。已知E=2.1×105MPa,K'=1220MPa, n'=0.2,

試計算其循環(huán)響應。解：0-1

ε1=σ1/E+(σ1/K')1/n'ε1=0.01

∴σ1=462MPa1-2

卸載。Δε1-2=Δσ1-2/E+2(Δσ1-2/2K')1/n'Δε1-2=0.012

Δσ1-2=812MPa故：ε2=ε1?Δε1-2=-0.02；σ2=σ1-Δσ1-2=-350MPa2-3

加載。已知

Δε2-3=0.008,

得Δσ2-3=722MPa故有：

ε3=0.006,

σ3=372MPa。1234561't.01ε.006.0020-.004-.00820可先用雨流法找出封閉環(huán)1-4-1',2-3-2',5-6-5'，

封閉環(huán)不影響其后的σ-ε響應。3-4卸載。形成封閉環(huán)2-3-2’。按1-4的路徑計算。1-4卸載。Δε1-4=0.018

Δσ1-4=900MPa，ε4=-0.008,

σ4=-438MPa。4-5

加載，Δε4-5=0.01ε5=0.002,

σ5=334MPa5-6卸載。Δε5-6=0.006ε6=-0.004,

σ6=-324MPa6-1’ 形成封閉環(huán)5-6-5’、1-4-1’σ1'=σ1。繪σ?ε響應曲線。00.01

ε-0.01-500126σ

MPa500

543214.應變疲勞性能1.

應變-壽命曲線022σf’

- 疲勞強度系數(shù)，應力量綱；b

- 疲勞強度指數(shù)，無量綱；εf’

-

疲勞延性系數(shù)，無量綱；c

-

疲勞延性指數(shù)，無量綱。大多數(shù)金屬材料，b=-0.06~-0.14,c=-0.5~-0.7。近似估計時?。?/p>

b

≈-0.1, c

≈-0.6

。應變-壽命曲線：在以εpa為主的低周應變疲勞階段，有

εpa=εf’

(2N)c這就是著名的Manson-Coffin公式(1963年)。23注意

b、c＜0；同樣可知，拉伸平均應力有害，壓縮平均應力有利。2.

ε-N曲線的近似估計及平均應力的影響高應變范圍，材料延性 ；壽命；低應變長壽命階段，強度 ，壽命

。一般金屬材料，εa=0.01，N≈1000。εa高強度材料高延性材料2N0.012000由拉伸性能估計材料的ε-N曲線：式中，Su為極限強度；εf是斷裂真應變。考慮平均應力的影響有：(SAE疲勞手冊1968)24特例：恒幅對稱應變循環(huán)(σm=0)，可直接由已知的應變幅εa估算壽命。3.應變疲勞壽命估算考慮平均應力：abfc

f

mEε

σ

σ

ε

(2

N

)(2

N

)循環(huán)響應計算εa和σm穩(wěn)態(tài)環(huán)估算壽命

2N應變-壽命曲線：（R=-1，σm=0

）基本方程：已知ε

、σ歷程計算方法25例2：

已知某材料

E=210×103

MPa, K'=1220

MPa,'n'=0.2,

σf

=930

MPa,

b=-0.095,

c=-0.47,'εf

=0.26,

估計圖示三種應變歷程下的壽命。-0.005-0.02(A)(B)(C)tε0.020.005

102

42

433320101解：A)

εa=0.005；σm=0。直接由估算壽命，得：2N=11716,

N=5858次262-3

Δε2-3=0.01,

由滯后環(huán)曲線得

Δσ2-3=772MPa∴

ε3=0.005,

σ3=342MPa。3-4

注意2-3-4形成封閉環(huán)。故

ε4=ε2,

σ4=σ2。B）1.

計算σ-ε響應：0-1

ε1=0.02=σ1/E+(σ1/K')1/n'∴

σ1=542

MPa0-0.005-0.02(B)tε0.020.0052

4311-2

Δε1-2=Δσ1-2/E+2(Δσ1-2/2K')1/n'Δε1-2=0.025

Δσ1-2=972MPa有：ε2=ε1-Δε1-2=-0.005；σ2=σ1-Δσ1-2=-430MPa。27拉伸高載后引入了殘余壓應力(σm＜0),疲勞壽命延長，是有利的。(情況A：N=5858次)2.

畫σ-ε響應曲線。012,43σε(B)由穩(wěn)態(tài)環(huán)求得：εa

=(ε3-ε4)/2=0.005；σm=(σ3+σ4)/2=-44MPa。3.估算壽命，有：εεambfcE=σ

′f

?

σ+

′(2

N)(2

N)代入數(shù)值后解得：

2N=12340所以，

N=6170

次循環(huán)。28。C）1.

循環(huán)響應計算：0-1：

ε1=0.02，∴σ1=542MPa注意到拉壓對稱性且此處是壓縮，故：ε1=-0.02時，σ1=-542MPa。0.020.0050-0.005-0.02(c)tε2

431012,43σε(C)2.

畫σ-ε響應曲線得：εa

=0.005；σm=(σ3+σ4)/2=44

Mpa3.求壽命：

N=5565

次循環(huán)。壓縮高載引入殘余拉應力,N

，是有害的。由滯后環(huán)曲線計算后續(xù)響應得：ε2=0.005，

σ2=430MPaε3=-0.005，

σ3=-342MPa29問題成為：已知缺口名義應力S,e和彈性應力集

中系數(shù)Kt； 缺口局部應力σ，ε

?5

缺口應變分析“若缺口根部承受與光滑件相同的應力應變歷程，則將發(fā)生與光滑件相同的疲勞損傷”?；炯僭O：缺口根部材料元在局部應力σ或應變ε循環(huán)下的壽命，可由承受同樣載荷歷程的光滑件預測。PσS=P/(W-d)tp301)

缺口應力集中系數(shù)和應變集中系數(shù)已知缺口名義應力S；名義應變e則由應力-應變方程給出。設缺口局部應力為σ，局部應變?yōu)棣牛?/p>

若

σ＜σys, 屬彈性階段，則有：σ=KtS

ε=Kte若

σ＞σys, 不可用Kt描述。 重新定義應力集中系數(shù)：Kσ=σ/S；應變集中系數(shù)：Kε=ε/e

則有：

σ=KσS；

ε=Kεe。若能再補充Kσ，Kε和Kt間一個關系，即求解σ、ε。31再由應力-應變關系ε=σ/E+(σ/K)1/n計算局部應力σ。

圖中C點即線性理論給出的解。已知S或e應力應變關系求S或eε=Kte2)線性理論（平面應變）應變集中的不變性假設：Kε=ε/e=Ktσ0σ?ε

曲線CA缺口局部應力-應變S-eKte

εσsB應變集中的不變性32圖中，Neuber雙曲線與材料σ-ε曲線的交點D，就是Neuber理論的解答，比線性解答保守。3）Neuber理論

(平面應力)如帶缺口薄板拉伸。假定：

KεKσ=Kt2二端同乘eS，有：(Kεe)(KσS)=(KtS)(Kte),t得到雙曲線：σε=K2eSNeuber雙曲線應力-應變關系已知S或e應力-應變關系求S或e聯(lián)立求解σ和εσε0曲線CA缺口局部應力-應變S-eBNeuber雙曲線σ?εDKte

σσs331) 線性理論：有:

ε=Kte=3×0.01=0.03由應力-應變曲線：ε=0.03=σ/60000+(σ/2000)8可解出:

σ=1138

MPa例3：已知E=60GPa,

K=2000MPa, n=0.125;

若缺口名義應力S=600MPa,

Kt=3，求缺口局

部應力σ

、應變ε

。解：已知S=600MPa,

由應力-應變曲線：e=S/60000+(S/2000)1/0.125求得名義應變?yōu)椋?/p>

e=0.01+0.38≈0.0134可見，Neuber理論估計的σ,ε大于線性理論，是偏于保守的，工程中常用。2)

Neuber理論:有Neuber雙曲線:

σε=Kt2eS

=9×0.01×600=54和應力-應變曲線：

ε=σ/60000+(σ/2000)8聯(lián)立得到：

σ/60000+(σ/2000)8=54/σ可解出：

σ=1245

Mpa；且有：

ε=54/σ=0.043線性理論結果：ε=0.03，σ=1138

MPa35對于循環(huán)載荷作用的情況，第一次加載用循環(huán)應力-應變曲線；其后各次載荷反向，應力-應變響應由滯后環(huán)描述。循環(huán)載荷下的缺口應變分析和壽命估算問題：已知應力S或應變e的歷程, 已知Kt；計算缺口局部應力σ、ε。找出穩(wěn)態(tài)環(huán)及εa和σm，進而利用ε-N曲線估算壽命。無論名義應力S、應變e或缺口應力σ、應變ε，都應在材料的應力-應變曲線上。思路361)第一次加載，已知S1或e1，求e1或S1

；由循環(huán)應力-應變曲線和Neuber雙曲線:ε1=(σ1/E)+(σ1/K')1/n'2σ

ε

=K S

e1

1

tt

1

1分析計算步驟為：聯(lián)立求解σ1和ε1。2)

其后反向，已知ΔS或Δe，由滯后環(huán)曲線Δe=(ΔS/E)+2(ΔS/K')1/n'

求Δe或ΔS；再由滯后環(huán)曲線和Neuber雙曲線:tt2ΔσΔε=K

ΔSΔeΔε=(Δσ/E)+2(Δσ/K')1/n'聯(lián)立求解Δσ、Δε。373)

第i點對應的缺口局部σi、εi為：σi+1=σi±Δσi-i+1；εi+1=εi±Δεi-i+1式中，加載時用“+”，卸載時用“-”。4)

確定穩(wěn)態(tài)環(huán)的應變幅εa和平均應力σm。εa=(εmax-εmin)/2；

σm=(σmax+σmin)/25)

利用ε-N曲線估算壽命。afmbfcEε

=

σ

′

?σ+ε

′(2N)(2N)38解：1)缺口應力-應變響應計算0-1 S1=400MPa,

計算e1,

有:e1=S1/E+(S1/K')1/n'=0.00202.聯(lián)立得到：

(σ1/E)+(σ1/K')1/n'=7.272/σ1

解得：

σ1=820MPa；

ε1=0.0089。例4：

某容器受圖示名義應力譜作用。焊縫Kt=3,fE=2×105MPa,

n'=1/8,b=-0.1,

c=-0.7,

εf'=0.6,fσ

'=1700MPa,

K'=1600MPa,試估算其壽命。Neuber曲線：

σ1ε1=Kt2S1e1=7.272循環(huán)應力-應變曲線：

ε

1=(σ1/E)+(σ1/K')1/n'S

(MPa)02400

1

3

t391-2

卸載，已知

ΔS1-2=400,

由滯后環(huán)曲線有：Δe1-2=ΔS/E+2(ΔS/2K')1/n'=0.002Neuber雙曲線：

ΔσΔε=Kt2ΔSΔe=7.2滯后環(huán)曲線：Δε=(Δσ/E)+2(Δσ/K')1/n'=7.2/Δσ解得：Δσ1-2=1146；Δε1-2=0.006283。故有：σ2=820-1146=-326

MPa,ε2=0.0089-0.006283=0.0026172-3

加載，已知ΔS2-3=400,

Δe2-3=0.002由Neuber雙曲線和滯后環(huán)曲線求得：Δσ2-3=1146；

Δε2-3=0.006283故有：

σ3=820

MPa；

ε3=0.0089402)

缺口局部應力-應變響應：作圖，由穩(wěn)態(tài)環(huán)知：εa=(ε1-ε2)/2=0.003141,σm=(σ1+σ2)/2=247

MPaεbfcE3)估算壽命，有：ε

a

=σ

′f

?

σm+

′(2

N)(2

N)將εa=0.003141,

σm=247MPa

代入方程，解得：N=12470

次循環(huán)。0326εσ

(MPa)8201,32若為變幅載荷作用，仍可用Miner理論進行損傷累積和壽命估算。再看一例。41解：由Miner理論有:Σni/Ni=n1/N1+n2/N2=1已知

n1=5000。且由上例知在R=0,

Smax

=400MPa下1壽命為：

N1=12470,例5：若上例中構件在Smax1=400MPa，R=0下循環(huán)n1=5000次，再繼續(xù)在Smax2=500MPa，R=0.2下工作，求構件還能工作的次數(shù)n2。只須求出

R=0.2, Smax2=500

MPa的壽命N2，S(MPa)5004000Smax1S

min20’2Smax2

1

3tn1n2100即可估算構件的剩余壽命n2。421)

R=0.2,

Smax2=500MPa時的缺口響應計算。1-2

已知ΔS1-2=400,

有Δe1-2=0.002。由Neuber曲線和Δσ-Δε曲線聯(lián)立求得：Δσ1-2=1146,

Δε1-2=0.006283有：

σ2=-261MPa,

ε2=0.0068870-1

已知S1=500

e1=0.00259由Neuber曲線和σa-εa曲線聯(lián)立求得：σ1=885MPa,

ε1=0.013172S(MPa)500

1

3t1000’2-3 1-2-3形成封閉環(huán)，故σ3=σ1,ε3=ε1。432)

畫應力應變響應曲線。由穩(wěn)態(tài)環(huán)求出：εa=0.003141,σm=312

MPa。2εσ

1,3885-261

03.估算壽命，有：εafmbfcE=σ

′

?

σ+ε′(2

N)(2

N)將εa=0.003141,

σm=312

MPa

代入方程，解得：N2=10341

次循環(huán)。4)

由Miner理論有：

n1/N1+n2/N2=1解得：n2=6195

次循環(huán)。441)

材料的循環(huán)性能：循環(huán)應力應變曲線滯后環(huán)曲線εε

εσaea

pa=+=E

K′a

+

(

σa

)1

n′Δε

=

Δε

+

Δεep=

Δσ

+

2(

Δσ

1

n′E 2

K′

)2)

材料的疲勞性能：ε-N曲線考慮平均應力影響aeapafEε

=

ε

+ε=

σ

f(2Ν

)b

+ε

(2

Ν

)

cεσσεafm