1.4有阻尼的受迫振動(dòng)振動(dòng)力學(xué)課件

第四節(jié)

有阻尼的受迫振動(dòng)定義：受迫振動(dòng)：有阻尼的系統(tǒng)在外界控制的持續(xù)激勵(lì)作用下所產(chǎn)生的振動(dòng)。激勵(lì)——外界力、基座運(yùn)動(dòng)所產(chǎn)生的慣性力。響應(yīng)——激勵(lì)所引起的系統(tǒng)的振動(dòng)狀態(tài)。非自治系統(tǒng)：顯含時(shí)間變量的系統(tǒng)。彈簧－質(zhì)量系統(tǒng)設(shè)外力幅值.外力的激勵(lì)頻率.振動(dòng)微分方程：實(shí)部和虛部分別與和相對應(yīng)。m

為復(fù)數(shù)變量，分別與和相對應(yīng)。

二、有阻尼受迫振動(dòng)顯含t，非齊次微分方程非齊次微分方程通解齊次微分方程通解非齊次微分方程特解＝＋阻尼自由振動(dòng)逐漸衰減暫態(tài)響應(yīng)持續(xù)等幅振動(dòng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)設(shè)非齊次方程的特解，即穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：

即

（系統(tǒng)的阻尼比）靜變形歐拉公式：（實(shí)部和虛部分別相等）振幅放大因子相位差振動(dòng)微分方程：設(shè)：復(fù)頻響應(yīng)函數(shù)

：穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的復(fù)振幅振動(dòng)微分方程：振幅放大因子相位差

系統(tǒng)與幅值相等的常值力施加于物體上所引起的彈簧靜變形（系統(tǒng)在靜力F0作用下的靜偏位）；

系統(tǒng)的振幅放大因子，它是關(guān)于頻率比的函數(shù)（系統(tǒng)的幅頻特性）；

系統(tǒng)的頻率比；

系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的實(shí)振幅；系統(tǒng)的響應(yīng)與激勵(lì)的相位角，它是關(guān)于頻率比的函數(shù)（系統(tǒng)的相頻特性）。特解全解（1）線性系統(tǒng)對簡諧激勵(lì)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)是頻率等同于激振頻率、而相位滯后激振力的簡諧振動(dòng)；（2）穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的振幅及相位差只取決于系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)（m,k,c）和激振力的頻率及力幅，而與系統(tǒng)進(jìn)入運(yùn)動(dòng)的方式（即初始條件）無關(guān)。無阻尼受迫振動(dòng)特解：有阻尼受迫振動(dòng)結(jié)論例題1：建立如圖所示系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程并求穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。kmkmm解：運(yùn)動(dòng)微分方程：其穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為：k2mk1x1x2例題2在圖所示系統(tǒng)中，已知初始時(shí)物塊靜止且兩彈簧均為原長。求物塊運(yùn)動(dòng)規(guī)律。解：取坐標(biāo)軸對連接點(diǎn)A列平衡方程：對m列運(yùn)動(dòng)微分方程：消去（3）由（3）得：（2）（1）0123012345三、穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的特性（1）當(dāng)s<<1（）簡諧激勵(lì)作用下穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性：結(jié)論：響應(yīng)的振幅A與靜位移B相當(dāng)激振頻率相對于系統(tǒng)固有頻率很低（2）當(dāng)s>>1（）激振頻率相對于系統(tǒng)固有頻率很高結(jié)論：響應(yīng)的振幅很小0123012345（3）在s>>1，s<<1領(lǐng)域?qū)?yīng)于不同值對應(yīng)于不同值,曲線較為密集，說明阻尼的影響不顯著結(jié)論：系統(tǒng)可以按無阻尼情況考慮（4）當(dāng)對應(yīng)于較小值，迅速增大,當(dāng)結(jié)論：共振振幅無窮大但共振對于來自阻尼的影響很敏感，在s=1附近的區(qū)域內(nèi)，增加阻尼使振幅明顯下降0123012345（5）對于有阻尼系統(tǒng)，并不出現(xiàn)在s=1處，而且稍偏左。（6）當(dāng)結(jié)論：振幅無極值Q為系統(tǒng)的品質(zhì)因數(shù)

阻尼越弱，Q越大，帶寬越窄，共振峰越陡峭相頻特性曲線（1）當(dāng)s<<1（）以s為橫坐標(biāo)曲線相位差位移與激振力在相位上幾乎相同;（2）當(dāng)s>>1（）位移與激振力反相;（3）當(dāng)共振時(shí)的相位差為，與阻尼無關(guān).三、穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的特性

ω/ω0＜1時(shí)響應(yīng)同相，

ω/ω0＞1時(shí)響應(yīng)反相。

例題3：已知等效質(zhì)量m且可簡化于桿長處，阻尼為c，彈簧剛度為k，，水平位置平衡，動(dòng)力學(xué)微分方程；

s＝1（接近共振），且很小時(shí)系統(tǒng)的振幅和相位角試求：解:(1)動(dòng)力學(xué)微分方程：

動(dòng)力學(xué)微分方程(2)振幅（最大擺角)質(zhì)點(diǎn)的振幅四、受迫振動(dòng)的過渡階段在系統(tǒng)受到激勵(lì)開始振動(dòng)的初始階段，其自由振動(dòng)伴隨受迫振動(dòng)同時(shí)發(fā)生,系統(tǒng)的響應(yīng)是暫態(tài)響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的疊加。非齊次微分方程通解齊次微分方程通解非齊次微分方程特解＝＋阻尼自由振動(dòng)逐漸衰減暫態(tài)響應(yīng)持續(xù)等幅振動(dòng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)初始條件響應(yīng)自由伴隨振動(dòng)強(qiáng)迫響應(yīng)忽略阻尼，動(dòng)力學(xué)方程及初始條件例：計(jì)算初始條件，以使的響應(yīng)只以頻率振動(dòng)。解：全解：由求一階導(dǎo)數(shù)：由的全解：因此：的全解：相同不同若激勵(lì)頻率與固有頻率十分接近令：ε

小量考慮零初始條件，有：的全解：代入：可看作頻率為但振幅按規(guī)律緩慢變化的振動(dòng)。

這種在接近共振時(shí)發(fā)生的特殊振動(dòng)現(xiàn)象稱為”拍”。0拍的周期：圖形包絡(luò)線：

阻尼自由振動(dòng)當(dāng)隨t增大，振幅無限增大，無阻尼系統(tǒng)共振的情形。

0響應(yīng)曲線零初始條件(2)s>1(1)s<1穩(wěn)態(tài)受迫振動(dòng)進(jìn)行一個(gè)循環(huán)時(shí)間內(nèi)，自由伴隨振動(dòng)完成多個(gè)循環(huán)。自由伴隨振動(dòng)進(jìn)行一個(gè)循環(huán)時(shí)間內(nèi)，穩(wěn)態(tài)受迫振動(dòng)完成多個(gè)循環(huán)。受迫振動(dòng)響應(yīng)成為自由振動(dòng)響應(yīng)曲線上迭加的一個(gè)振蕩運(yùn)動(dòng)。受迫振動(dòng)響應(yīng)成為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)曲線上迭加的一個(gè)振蕩運(yùn)動(dòng)。00穩(wěn)態(tài)響應(yīng)全響應(yīng)討論有阻尼系統(tǒng)在過渡階段對簡諧激勵(lì)的響應(yīng)初始條件響應(yīng)自由伴隨振動(dòng)受迫響應(yīng)利用前述相同的方法，有：初始條件響應(yīng)經(jīng)過充分長時(shí)間后，作為瞬態(tài)響應(yīng)的前兩種振動(dòng)都將消失，只剩穩(wěn)態(tài)受迫振動(dòng)。自由伴隨振動(dòng)受迫響應(yīng)0強(qiáng)迫響應(yīng)全響應(yīng)初始條件響應(yīng)自由伴隨振動(dòng)受迫響應(yīng)對于零初始條件：小結(jié)：受迫振動(dòng)的過渡階段初始條件響應(yīng)自由伴隨振動(dòng)受迫響應(yīng)初始條件響應(yīng)自由伴隨振動(dòng)受迫響應(yīng)初始條件響應(yīng)受迫響應(yīng)初始條件響應(yīng)受迫響應(yīng)作業(yè)：2.5機(jī)械阻抗與導(dǎo)納工程中常用機(jī)械阻抗來分析結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性.機(jī)械阻抗定義為簡諧激振時(shí)復(fù)數(shù)形式的輸入與輸出之比.動(dòng)力學(xué)方程：：輸入：輸出代入，得：復(fù)頻響應(yīng)函數(shù).位移阻抗：補(bǔ)充位移阻抗與復(fù)頻響應(yīng)函數(shù)互為倒數(shù)，也稱為導(dǎo)納。

輸出也可以定義為速度或加速度，相應(yīng)的機(jī)械阻抗稱為速度阻抗和加速度阻抗。速度阻抗加速度阻抗機(jī)械阻抗的倒數(shù)稱為機(jī)械導(dǎo)納，相應(yīng)、、分別有位移導(dǎo)納、速度導(dǎo)納和加速度導(dǎo)納.位移阻抗速度阻抗加速度阻抗機(jī)械阻抗和機(jī)械導(dǎo)納都僅僅取決于系統(tǒng)本身的動(dòng)力特性（m，k，