D3634一階線性微分方程變量代換法

一階線性微分方程第六節(jié)(3)(4)一、一階線性微分方程二、齊次微分方程

第三章三、伯努利方程四、其他可用變量代換法的方程一、一階線性微分方程一階線性微分方程標(biāo)準(zhǔn)形式:若Q(x)

0,若Q(x)

0,稱為非齊次的

.1.解齊次方程分離變量?jī)蛇叿e分得故通解為稱為齊次的

;對(duì)應(yīng)齊次方程通解齊次方程通解非齊次方程特解2.解非齊次方程用常數(shù)變易法:則故原方程的通解即即作變換兩端積分得例1

求方程的通解。解

例2.解方程

解:先解即積分得即用常數(shù)變易法求特解.則代入非齊次方程得解得故原方程通解為令例3

求方程的通解。分析：解求滿足初值條件的特解！二、齊次微分方程形如的方程叫做齊次微分方程

.令代入原方程得兩邊積分,得積分后再用代替u,便得原方程的通解.解法:分離變量:例3.解微分方程解:代入原方程得分離變量?jī)蛇叿e分得故原方程的通解為(當(dāng)C=0

時(shí),

y=0

也是方程的解)(C

為任意常數(shù))此處例4.解微分方程解:則有分離變量積分得代回原變量得通解即說明:

顯然

x=0,y=0,y=x

也是原方程的解,但在(C

為任意常數(shù))求解過程中丟失了.例5

求解微分方程解微分方程的解為三、伯努利

(Bernoulli)方程

伯努利方程的標(biāo)準(zhǔn)形式:令求出此方程通解后,除方程兩邊,得換回原變量即得伯努利方程的通解.解法:(線性方程)伯努利例6.求方程的通解.解:令則方程變形為其通解為將代入,得原方程通解:四、其他可用變量代換法的方程

例7.求方程的通解.例8.求解初值問題內(nèi)容小結(jié)1.一階線性方程方法1先解齊次方程,再用常數(shù)變易法.方法2用通解公式化為線性方程求解.2.伯努利方程3.注意用變量代換將方程化為已知類型的方程例如,解方程法1.取

y

作自變量:

線性方程法2.

作變換則代入原方程得可分離變量方程思考與練習(xí)判別下列方程類型:提示:可分離變量方程齊次方程線性方程線性方程伯努利方程2.

求方程的通解.解:注意x,y

同號(hào),由一階線性方程通解公式

,得故方程可變形為所求通解為這是以為因變量

y為自變量的一階線性方程備用題1.

求一連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)使其滿足下列方程:提示:令則有線性方程利用公式可求出2.設(shè)有微分方程其中試求此方程滿足初始條件的連續(xù)解.解:1)先解定解問題利用通解公式,得利用得故有2)再解定解問題此齊次線性方程的通解為利用銜接條件得因此有3)原問題的解為(雅各布第一·伯努利)

書中給出的伯努利數(shù)在很多地方有用,伯努利(1654–1705)瑞士數(shù)學(xué)家,位數(shù)學(xué)家.標(biāo)和極坐標(biāo)下的曲率半徑公式,1695年版了他的巨著《猜度術(shù)》,上的一件大事,而伯努利定理則是大數(shù)定律的最早形式.年提出了著名的伯努利方程,他家