專題13正多邊形（3個知識點4種題型1種中考考法）（原卷版）

專題13正多邊形（3個知識點4種題型1種中考考法）【目錄】倍速學習四種方法【方法一】脈絡(luò)梳理法知識點1.正多邊形的有關(guān)概念（重點）知識點2.正多邊形的畫法（重點）（難點）知識點3.正多邊形的對稱性（拓展）【方法二】實例探索法題型1.與正多邊形相關(guān)的角度計算題型2.與正多邊形相關(guān)的面積計算題型3.判定圓內(nèi)接正多邊形題型4.正多邊形的規(guī)律探究性問題【方法三】仿真實戰(zhàn)法考法.正多邊形的相關(guān)計算【方法四】成果評定法【學習目標】了解正多邊形及其有關(guān)概念。會求正多邊形的內(nèi)角、外角與邊數(shù)。了解正多邊形的一般畫法，會用尺規(guī)作圖作正六邊形?！局R導(dǎo)圖】【倍速學習四種方法】【方法一】脈絡(luò)梳理法知識點1.正多邊形的有關(guān)概念（重點）（1）正多邊形：各邊相等，各角也相等的我邊形叫作正多邊形。（2）正多邊形的中心：一個正多邊形的外接圓的圓心叫作這個正多邊形的中心。（3）正多邊形的半徑：外接圓的半徑叫作正多形的半徑。（4）正多邊形的中心角：正多邊形每一邊所對的圓心角叫作正多邊形的中心角。（5）正多邊形的邊心距：中心到正多邊形的一邊的距離叫作正多邊形的邊心距。知識點2.正多邊形的畫法（重點）（難點）

由于在同圓中相等的圓心角所對的弧也相等，因此作相等的圓心角(即等分頂點在圓心的周角)可以等分圓；根據(jù)同圓中相等弧所對的弦相等，依次連接各分點就可畫出相應(yīng)的正n邊形.

規(guī)等分圓

對于一些特殊的正ｎ邊形，可以用圓規(guī)和直尺作圖.

①正四、八邊形。

在⊙O中，用尺規(guī)作兩條互相垂直的直徑就可把圓分成4等份，從而作出正四邊形。再逐次平分各邊所對的弧(即作∠AOB的平分線交于E)就可作出正八邊形、正十六邊形等，邊數(shù)逐次倍增的正多邊形。

②正六、三、十二邊形的作法。

通過簡單計算可知，正六邊形的邊長與其半徑相等，所以，在⊙O中，任畫一條直徑AB，分別以A、B為圓心，以⊙O的半徑為半徑畫弧與⊙O相交于C、D和E、F，則A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分點。

顯然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分點。

同樣，在圖(3)中平分每條邊所對的弧，就可把⊙O12等分……。

要點詮釋：畫正n邊形的方法：（1）將一個圓n等份，（2）順次連結(jié)各等分點.知識點3.正多邊形的對稱性（拓展）正多邊形都是軸對稱圖形，對稱軸的條數(shù)與它的邊數(shù)相同，每條對稱軸都通過正n邊形的中心；當邊數(shù)是偶數(shù)時，它也是中心對稱圖形，它的中心就是對稱中心.

【方法二】實例探索法題型1.與正多邊形相關(guān)的角度計算1．（2022秋?嘉興期末）如圖，正六邊形ABCDEF與正方形AGDH都內(nèi)接于⊙O，連接BG，則弦BG所對圓周角的度數(shù)為（）A．15° B．30° C．15°或165° D．30°或150°2.已知：如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接正方形，點P是劣弧上不同于點C的任意一點，則∠BPC的度數(shù)是（）A．45°B．60°C．75°D．90°3.如圖，⊙O是正方形ABCD的外接圓，點P在⊙O上，則∠APB等于（）A．30°B．45°C．55°D．60°4．如圖1，△PQR是⊙O的內(nèi)接正三角形，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接正方形，BC∥QR，則∠AOQ=（）A．60°B．65°C．72°D．75°圖15．（2022秋?南潯區(qū)期末）已知正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，連接BD，則∠ABD的度數(shù)是．題型2.與正多邊形相關(guān)的面積計算6.如圖，正六邊形ABCDEF的邊長為2，現(xiàn)將它沿AB方向平移1個單位，得到正六邊形A′B′C′D′E′F′，則陰影部分A′BCDE′F′的面積是（）A．3 B．4 C． D．27．（2022秋?江北區(qū)期末）劉徽是我國魏晉時期卓越的數(shù)學家，他首次提出“割圓術(shù)”，利用圓內(nèi)接正多邊形逐步逼近圓來近似計算圓周率，方法如圖：作正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，取的中點G，OG與AB交于點H；連結(jié)AG、BG；依次對剩余五段弧取中點可得一個圓內(nèi)接正十二邊形，記正十二邊形的面積為S1，正六邊形的面積為S2，則＝．8．（2023?杭州）如圖，六邊形ABCDEF是⊙O的內(nèi)接正六邊形，設(shè)正六邊形ABCDEF的面積為S1，△ACE的面積為S2，則＝．9．（2022秋?濱江區(qū)期末）如圖，正五邊形ABCDE的對角線AC和AD分別交對角線BE于點M，N，若△AMN的面積為s，則正五邊形ABCDE的面積為（結(jié)果用含s的代數(shù)式表示）．題型3.判定圓內(nèi)接正多邊形10．（2022秋?下城區(qū)校級月考）如圖，正五邊形ABCDE，連接對角線AC，BD，設(shè)AC與BD相交于O．（1）求證：AO＝CD；（2）判斷四邊形AODE的形狀，并說明理由．題型4.正多邊形的規(guī)律探究性問題11．（2022·浙江·九年級專題練習）如圖，要設(shè)計一個裝彩鉛的圓柱體紙盒，已知每支鉛筆大小相同，底面均為正六邊形，邊長記作．下面我們來探究紙盒底面半徑的最小值：（1）如果要裝10支鉛筆，小藍畫了圖①、圖②兩種排列方式，請你通過計算，判斷哪種方式更節(jié)省空間：．（填①或②）（2）如果要裝24支鉛筆，請你模仿以上兩種方式，算出紙盒底面最小半徑是．（用含a的代數(shù)式表示）12．（2023春·浙江臺州·九年級?？计谥校├罾蠋煄ьI(lǐng)班級同學進行拓廣探索，通過此次探索讓同學們更深刻的了解的意義．(1)[定義]我們將正n邊形的周長L與正多邊形對應(yīng)的內(nèi)切圓的周長C的比值，稱作這個正n邊形的“正圓度”．如圖，正三角形的邊長為1，求得其內(nèi)切圓的半徑為，因此___________；(2)[探索]分別求出正方形和正六邊形的“正圓度”；(3)[總結(jié)]隨著n的增大，具有怎樣的規(guī)律，試通過計算，結(jié)合圓周率的誕生，簡要概括．13．（2020·浙江紹興·模擬預(yù)測）如圖1、、3、…、，、分別是的內(nèi)接正三角形、正方形、五邊形、…..、正邊形…..的邊、上的點，且，連接、．（1）求圖1中的度數(shù)；（2）圖中的度數(shù)是____________，圖3中的度數(shù)是____________；（3）試探究的度數(shù)與正邊形邊數(shù)的關(guān)系（直接寫出答案）．【方法三】仿真實戰(zhàn)法考法.正多邊形的相關(guān)計算1．（2023·山東臨沂·統(tǒng)考中考真題）將一個正六邊形繞其中心旋轉(zhuǎn)后仍與原圖形重合，旋轉(zhuǎn)角的大小不可能是（

）A．60° B．90° C．180° D．360°2．（2022·山東青島·統(tǒng)考中考真題）如圖，正六邊形內(nèi)接于，點M在上，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．3．（2022·四川雅安·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知⊙O的周長等于6π，則該圓內(nèi)接正六邊形ABCDEF的邊心距OG為（）A．3 B． C． D．34．（2022·甘肅武威·統(tǒng)考中考真題）大自然中有許多小動物都是“小數(shù)學家”，如圖1，蜜蜂的蜂巢結(jié)構(gòu)非常精巧、實用而且節(jié)省材料，多名學者通過觀測研究發(fā)現(xiàn)：蜂巢巢房的橫截面大都是正六邊形．如圖2，一個巢房的橫截面為正六邊形，若對角線的長約為8mm，則正六邊形的邊長為（

）A．2mm B． C． D．4mm5．（2022·四川成都·統(tǒng)考中考真題）如圖，正六邊形內(nèi)接于⊙，若⊙的周長等于，則正六邊形的邊長為（

）A． B． C．3 D．6．（2022·遼寧營口·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正六邊形中，連接，則____________度．7．（2022·吉林·統(tǒng)考中考真題）第二十四屆北京冬奧會入場式引導(dǎo)牌上的圖案融入了中國結(jié)和雪花兩種元素．如圖，這個圖案繞著它的中心旋轉(zhuǎn)角后能夠與它本身重合，則角可以為__________度．（寫出一個即可）【方法四】成果評定法一、單選題1．（2023秋·浙江·九年級專題練習）下列圖形中，旋轉(zhuǎn)后能與原圖形重合的是（）A．等邊三角形 B．正方形 C．正五邊形 D．正八邊形2．（2023秋·浙江寧波·九年級統(tǒng)考期末）如圖，正六邊形內(nèi)接于，正六邊形的周長是12，則的半徑是（

）A．1 B． C．2 D．3．（2023秋·浙江金華·九年級統(tǒng)考期末）如圖，一個蜂巢巢房的橫截面為正六邊形，若對角線的長約為，則正六邊形的邊長為（

）A． B． C． D．4．（2023秋·浙江寧波·九年級統(tǒng)考期末）如圖，正六邊形內(nèi)接于，點在上，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．5．（2023秋·浙江紹興·九年級統(tǒng)考期末）如圖，點O為正六邊形ABCDEF對角線上一點，，則的值是（

）A．12 B．15 C．18 D．206．（2023秋·浙江嘉興·九年級統(tǒng)考期末）如圖，正六邊形和正方形都內(nèi)接于，連接，則弦所對圓周角的度數(shù)為（

）A． B． C．或 D．或7．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考二模）如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于．對角線AC，BD交于點F，則∠AFD的度數(shù)為（

）A．106° B．108° C．110° D．120°8．（2022秋·浙江溫州·九年級校考階段練習）某地毯生產(chǎn)商計劃生產(chǎn)以三個相鄰的正六邊形為主要元素兩種地毯：如圖1：雙向延長線段、、，分別交于點G、M、N，設(shè)計一個三角形地毯．如圖2：以O(shè)為圓心，為半徑，設(shè)計一個圓形地毯．記三角形地毯面積為，圓形地毯面積為，則這兩種地毯的面積之比為（

）A． B． C． D．9．（2023·浙江臺州·統(tǒng)考中考真題）如圖，的圓心O與正方形的中心重合，已知的半徑和正方形的邊長都為4，則圓上任意一點到正方形邊上任意一點距離的最小值為（

）．A． B．2 C． D．10．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考三模）如圖，正六邊形，P點在上，記圖中的面積為，已知正六邊形邊長，下列式子中不能確定的式子的是（

）A． B． C． D．二、填空題11．（2023秋·浙江臺州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，正六邊形的中心角度．12．（2023秋·浙江寧波·九年級統(tǒng)考期末）圓內(nèi)接正方形的每條邊所對的圓心角的度數(shù)是．13．（2023秋·浙江杭州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在一根半徑為10cm的圓柱體零件的正中位置打一個正三角形孔，正三角形頂點離圓柱邊緣不少于5cm，則這個正三角形邊長最大為cm．14．（2022秋·浙江湖州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，已知正五邊形內(nèi)接于，連結(jié)，則的度數(shù)是．15．（2022秋·浙江麗水·九年級?？计谥校┤鐖D，A、、、為一個正多邊形的相鄰四個頂點，為正多邊形的中心，若，則這個正多邊形的邊數(shù)為．16．（2022秋·浙江溫州·九年級樂清外國語學校?？茧A段練習）如圖，把正六邊形的各邊依次延長一半，得到一個大正六邊形，若中間正六邊形的面積為，則外圍大正六邊形的邊長是．17．（2023秋·浙江寧波·九年級統(tǒng)考期末）劉徽是我國魏晉時期卓越的數(shù)學家，他首次提出“割圓術(shù)”，利用圓內(nèi)接正多邊形逐步逼近圓來近似計算圓周率，方法如圖：作正六邊形ABCDEF內(nèi)接于，取的中點G，與交于點H；連接、；依次對剩余五段弧取中點可得一個圓內(nèi)接正十二邊形，記正十二邊形的面積為，正六邊形的面積為，則．18．（2023·浙江溫州·校聯(lián)考三模）圖1是由兩個正六邊形組成的壁掛置物架，軸對稱仙人堂盆栽放置在木板上，圖2是其示意圖．兩個正六邊形的邊與，與均在同一直線上．木板（木板厚度忽略不計），，則的長為．盆栽由矩形和圓弧組成，且，，恰好在同一直線上，已知，圓弧最高點到的距離與線段的長度之比為，則圓弧的半徑為．三、解答題19．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，正方形是半徑為R的圓內(nèi)接四邊形，若，求正方形的邊長與邊心距．20．（2022秋·浙江·九年級專題練習）如圖，已知點O是正六邊形ABCDEF的對稱中心，G，H分別是AF，BC上的點，且AG＝BH．（1）求∠FAB的度數(shù)；（2）求證：OG＝OH．21．（2023·浙江金華·校聯(lián)考三模）如圖，正三角形、正方形、正六邊形等正n邊形與圓的形狀有差異，我們將正n邊形與圓的接近程度稱為“接近度”．(1)角的“接近度”定義：設(shè)正n邊形的每個內(nèi)角的度數(shù)為，將正n邊形的“接近度”定義為．于是越小，該正n邊形就越接近于圓，①若，則該正n邊形的“接近度”等于．②若，則該正n邊形的“接近度”等于______．③當“接近度”等于______．時，正n邊形就成了圓．(2)邊的“接近度”定義：設(shè)一個正n邊形的外接圓的半徑為R，正n邊形的中心到各邊的距離為d，將正n邊形的“接近度”定義為．分別計算時邊的“接近度”，并猜測當邊的“接近度”等于多少時，正n邊形就成了圓？22．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖M、N分別是⊙O的內(nèi)接正三角形ABC、正方形ABCD、正五邊形ABCDE、…、正n邊形ABCDEFG…的邊AB、BC上的點，且BM＝CN，連接OM、ON（1）求圖1中∠MON的度數(shù)（2）圖2中∠MON的度數(shù)是，圖3中∠MON的度數(shù)是（3）試探究∠MON的度數(shù)與正n邊形邊數(shù)n的關(guān)系是____23．（2023·浙江·九年級專題練習）如圖1，正五邊形內(nèi)接于⊙，閱讀以下作圖過程，并回答下列問題，作法：如圖2，①作直徑；②以F為圓心，為半徑作圓弧，與⊙交于點M，N；