第二章波函數(shù)與薛定諤方程

第二章波函數(shù)與薛定諤方程第第頁即平面單色波的波函數(shù)在動量表象中的表示形式為.2.5粒子在點的量子態(tài)為函數(shù)，試在動量表象中寫出此量子態(tài)的形式.解：由坐標表象與動量表象間傅里葉變換式得函數(shù)在動量表象中量子態(tài)的形式為即量子態(tài)為函數(shù)的波函數(shù)在動量表象中表示形式為.2.6證明從單粒子薛定諤方程得出的粒子速度場是非旋的，即求證，其中，為概率密度，為概率流密度.證明：概率密度為概率流密度為根據(jù)薛定諤方程式可導出幾率守恒方程，并定義幾率流密度可見正比于一個標量場的對數(shù)的梯度.梯度場無旋，故是一個無旋場().2.7設粒子在復勢場中運動，其中和為實數(shù)，證明粒子的概率不守恒，并求出在某一空間體積中粒子概率“喪失”或“增加”的速率.解：根據(jù)薛定諤方程及其復數(shù)共軛形式(2.7.1)(2.7.2)*(2.7.1)*(2.7.2)得(2.7.3)即，可以寫為(2.7.4)其中，.上式右邊不為零，這意味著粒子的幾率不守恒.將上式對空間積分，則得故某一空間體積中粒子概率“喪失”或“增加”的速率為.2.8設，問是否為定態(tài)，為什么？求.解：(1)由于定態(tài)是體系能量具有確定值的狀態(tài)，而題中波函數(shù)處于能量的本征態(tài)與能量的本征態(tài)的疊加狀態(tài)，故不是定態(tài)；(2)時刻的波函數(shù)為.2.9計算和相應的概率流密度，并由所得結果說明這兩個波函數(shù)描述的是怎樣傳播的波.解：由微商關系式：，，(1)的概率流密度為：，或即描述的是沿徑向向外傳播的球面波；(2)的概率流密度為：，即描述的是沿徑向向內(nèi)傳播的球面波.2.10粒子在一維勢場中運動，若所處的外場均勻但與時間有關，即，試用分離變量法求解一維薛定諤方程.解：由一維薛定諤波動方程，采用分離變量法求特解，令其特解可表示為，帶入一維薛定諤波動方程有方程兩邊同時除以可得其中是既不依賴于，也不依賴于的常數(shù).(1)此時關于時間部分為：方程兩邊同時對時間積分得(2)關于坐標的部分為：此二階齊次微分方程的解為由上述兩部分可知其中和均為常數(shù)，分別由歸一化條件和初試條件決定.2.11粒子在無限深方勢阱中()中運動，對處于定態(tài)的粒子，證明：，，，，討論的情況，并與經(jīng)典計算結果比較.解：一維無限深方勢阱內(nèi)()粒子的波函數(shù)為，能量本征值為.(1)(2)(3)(4)2.12考慮質量為的粒子被限制在寬度為的一維無限深勢阱中運動，(1)粒子的能級和相應的波函數(shù)；(2)粒子處于基態(tài)的動量分布.解：(1)在阱內(nèi)體系所滿足的定態(tài)薛定諤方程是，(2.12.1)在阱外，定態(tài)薛定諤方程為，(2.12.2)(2.12.2)式中，.根據(jù)波函數(shù)所滿足的連續(xù)性和有限性條件，只有當時，(2.12.2)式才能成立，所以有，(2.12.3)該條件為解(2.12.1)式時所需的邊界條件.為書寫簡便，引入記號(2.12.4)則(2.12.1)式簡寫為，它的解是，(2.12.5)根據(jù)的連續(xù)性，由(2.12.3)式，代入(2.12.5)，有，.由此得到，.(2.12.6)和不能同時為零，否則到處為零，這在物理上是沒有意義的.因此，我們得到兩組解：(1)，(2.12.7)(2)，(2.12.8)由此可求得，(2.12.9)對于第一組解，為奇數(shù)；對于第二組解，為偶數(shù).對應于恒為零的解，等于負整數(shù)時解與等于相應正整數(shù)時解線性相關（僅差一負號），都不取.由(2.12.4)式和(2.12.9)式，得到體系的能量為，為正整數(shù).(2.12.10)將(2.12.7)式、(2.12.8)式依次代入(2.12.5)式中，并考慮(2.12.9)及(2.12.3)兩式，得到一組解的波函數(shù)為(2.12.11)另一組解的波函數(shù)為(2.12.12)由歸一化條件可得常數(shù)；(2)粒子處于基態(tài)時，體系的能量為，波函數(shù)為，對應于動量空間的波函數(shù)為：其中積分項采用兩次分部積分求出：(=1\*ROMANI)(=2\*ROMANII)結合(=1\*ROMANI)、(=2\*ROMANII)兩式可得即.粒子處于基態(tài)的動量分布為2.14粒子在如圖所示的勢阱中運動，設粒子處于第個束縛態(tài)，相應的能級為，如，求粒子在阱外出現(xiàn)的概率.解：的情況下粒子處于束縛態(tài)：在阱外，定態(tài)波動方程為令考慮到束縛態(tài)邊界條件（處，），方程應取如下形式的解常數(shù)與由歸一化條件確定（由于勢場具有對稱性）.在阱內(nèi)，定態(tài)波動方程表示為令波函數(shù)偶宇稱態(tài)的解為，奇宇稱態(tài)的解為.偶宇稱態(tài)，波函數(shù)及其微商在處是連續(xù)的；兩式相比可得到能級公式為.如，，帶入關系式得由于，所以，，粒子出現(xiàn)在阱外的概率遠小于粒子出現(xiàn)在阱內(nèi)的概率粒子出現(xiàn)在阱外的概率為.2.16利用厄米多項式的遞推關系，，求證，，并由此證明態(tài)下，，，.證明：(1)諧振子波函數(shù)，其中，.關于Hermite多項式有遞推關系在上式兩邊乘以得()由此即得(2)由，代入()的變形式得(3)(4)由(1)得再乘以得(5)(6)2.17質量為的粒子處于勢阱中，求粒子的可能能量.提示：利用諧振子波函數(shù)的奇偶性.解：線性諧振子對應于本正函數(shù)，的本征值為.題中區(qū)域，粒子的波函數(shù)滿足.區(qū)域粒子的波函數(shù)滿足邊界條件，，由波函數(shù)的連續(xù)性可知.由諧振子波函數(shù)的奇偶性條件，我們得知只有當取奇數(shù)時連續(xù)性條件才被滿足，故此時粒子的可能能量值為