信號與系統(tǒng)課件

第一章信號與系統(tǒng)的基本概念§1.1引言一、課程的概述例１：以下是一個廣播電臺傳送語言、音樂節(jié)目的過程：*§1.1引言一、課程的概述例１：以下是一個廣播電臺傳送語言、音樂節(jié)目的過程：*例２：電磁波探礦問題

*例２：電磁波探礦問題

*我們研究信號通過系統(tǒng)的一系列分析和運(yùn)算的方法這是學(xué)生們在大學(xué)期間最有收益的(rewarding),令人入勝的(exciting),有用的(useful)一門課程。*二、課程的特點(diǎn)和安排信號：連續(xù)－〉離散時域－〉頻域－〉復(fù)頻域－〉Ｚ域１－３章時域分析４－６章頻域分析７－９章變換域分析*§1.2信號的基本概念一、什么叫信號

信號是反映信息變化規(guī)律的物理量

！注意兩點(diǎn)：一是信號一般是變化的其二信號是一個物理量，可以是電信號、光信號、聲音信號。*在電信號中，可以指電壓、電流、電荷、磁通。在力信號中，可以指位移、速度。二、信號的表示方法１、數(shù)學(xué)公式２、波形圖u(t)ti(t)t00*

！有兩點(diǎn)需要注意：一是自變量可以是時間t，亦可以不是時間t

二是自變量可以是一個，亦可以是二個或三個

三、信號的特征：信號的時域特性信號的頻域特性*tx(t)t(a)時域觀測(c)頻域觀測(b)*§1.3信號的分類１．按信號是否可以預(yù)知可分為確定性信號：信號是時間t的確定函數(shù)

隨機(jī)信號：信號不是時間t的確定函數(shù)，只知道在某一時刻的概率２．按信號的自變量是否連續(xù)來區(qū)分

連續(xù)時間信號：自變量t可以連續(xù)取值，除了若干個不連續(xù)的點(diǎn)外，任何時刻都有定義

離散時間信號：其自變量n不能連續(xù)取值，只能在一些離散的點(diǎn)上取值，記為x[n]*X(t)t0n離散信號用x[n]來表示連續(xù)信號用x(t)來表示X[1]X[-1]X[n]06-4-6428-2*3.按信號x(t)是否按一定的時間間隔重復(fù)出現(xiàn)a.周期信號：按一定的時間間隔重復(fù)變化為周期，它是使信號重復(fù)出現(xiàn)的最短時間間隔X(t)tA……*１－單個脈沖持續(xù)期有限２－持續(xù)期無限幅度有限３－持續(xù)期無限幅度無限非周期信號：

b.非周期信號：一般就是單個信號，不重復(fù)變化X(t)t0-222*例1：是周期函數(shù)嗎？若是，請求出周期。解：為和的最小公倍數(shù)例2：是周期信號嗎？不是周期信號。答：*４．按能量有限或功率有限來分類先談一下能量和功率的定義式信號的電壓或電流是x(t)，電阻是R=1瞬時功率是：或在所有的時間內(nèi)的能量在一個周期內(nèi)的功率

*1)能量信號：

2)功率信號：

周期信號：功率信號非周期信號：

1－單個脈沖持續(xù)期有限－>能量信號

２－持續(xù)期無限幅度有限－>功率信號３－持續(xù)期無限幅度無限－>

非功率、非能量信號*OX(t)tOX(t)tOX(t)t能量信號功率信號非功率、非能量信號５．按信號x(t)是否等于它的復(fù)共軛信號

實(shí)信號復(fù)信號*§1.4信號的基本運(yùn)算與波形變換１）加法運(yùn)算(離散）(連續(xù)）×２）乘法運(yùn)算∑*３）標(biāo)量乘法

a為常量

４）反轉(zhuǎn)自變量t以－t代替

x(t)x(-t)相當(dāng)于把x(t)的波形以縱軸為對稱軸反轉(zhuǎn)而得X(t)0-12t*３）標(biāo)量乘法

a為常量

４）反轉(zhuǎn)自變量t以－t代替

x(t)x(-t)相當(dāng)于把x(t)的波形以縱軸為對稱軸反轉(zhuǎn)而得X(t)0-12-21t0X(-t)t*５）延時把波形向右移動了的位置

把波形向左移動了的位置

x(t－)比x(t)延時了的時間x(t+)比x(t)超前了的時間x(t-2)x(2-t)是把x(t-2)以t=2為軸左右反轉(zhuǎn)而得。x(t-2)0214t*５）延時把波形向左移動了的位置

把波形向右移動了的位置

x(t－)比x(t)延時了的時間x(t+)比x(t)超前了的時間x(t-2)x(2-t)是把x(t-2)以t=2為軸左右反轉(zhuǎn)而得。x(2-t)023tx(t-2)0214t*例*例：*例：如何完成x(t)->x(2-t)*例：如何完成x(t)->x(2-t)*６）尺度變換性質(zhì)

x(t)->x(at)相當(dāng)于x(t)信號壓縮了a倍，周期是原來的1/a倍例：x(t)=sintu(t)0t此時x(t)當(dāng)x(t)->x(2t)=sin2tu(t)0x(t)*當(dāng)x(t)->x(1/2t)u(t)0x(t)t所以當(dāng)x(t)x(at)時，如果|a|>1時，則信號壓縮為原來的１/|a|倍如果|a|<1時，則信號擴(kuò)展為原來的1/|a|倍*７）綜合變換方法一：反轉(zhuǎn)擴(kuò)展平移例1.1已知連續(xù)時間信號x(t)-10123t12x(t)(a)１）反轉(zhuǎn)：將t-t

得x(t)的反轉(zhuǎn)波形x(t)２）擴(kuò)展：將x(-t)中的tt/3

得x(-t)的擴(kuò)展波形x(-t/3)３）平移：將x(-t/3)中的tt-6

得x(-(t-6)/3)*-3-2-10112tx(-t)(b)x(-t/3)t-9-6-30312(c)t-3036912x(2-t/3)-1(d)*方法二：擴(kuò)展反轉(zhuǎn)平移-10123t12x(t)(a)x(-t/3)t-9-6-30312(c)t-31369x(t/3)(b)*補(bǔ)充方法例１：１.x(t)x(2-t/3)-10123t12x(t)(a)t-3036912x(2-t/3)-1(d)*

第一步x(t)x(m)-10123m12x(m)第二步m=2-t/3

標(biāo)出相應(yīng)t坐標(biāo)的數(shù)值-101239630-3mt=3(2-m)*9630-312369-30-12第三步把原x(t)圖畫在新的坐標(biāo)上第四步從負(fù)到正把新的x(2-t/3)畫出來1*例２：已知x(2-t/3),求x(t)=?解：m=-3m=0m=3m=6m=9

t=3t=2t=1t=0t=-1２）2-m/3=t4)-10123t12x(t)１）x(2-t/3)x(2-m/3)369-30-1m12x(2-t/3)

3)3210-1t12-1x(t)*８）微分將x(t)在信號沿時間軸對時間變量求導(dǎo)，得x'(t)tx(t)2682268tx’(t)1-1*９）積分將x(t)在區(qū)間

內(nèi)沿時間軸對積分

記為例1：12tx(t)2t20012x(t)=202其它*例2：122tx(t)x(t)=2(t-1)0其它t121其它*１０）分解與疊加信號可以分解為一系列基本信號的加權(quán)疊加而系統(tǒng)對第n個基本信號的響應(yīng)為,則系統(tǒng)對x(t)的響應(yīng)為*§1.5基本連續(xù)時間信號一.復(fù)指數(shù)信號連續(xù)時間復(fù)指數(shù)信號的形式為式中c和a一般為復(fù)數(shù)１、實(shí)指數(shù)信號

x(t)ta>0a<0a=0C0*１）a<0因?yàn)閍在指數(shù)上，它小于０，說明

x(t)隨t指數(shù)衰減２）a>0

x(t)隨時間t而指數(shù)增加３）a=0此時x(t)==c為一直流信號２、虛指數(shù)信號

這時這種信號具有如下特點(diǎn)１）它是周期為的周期信號*這是因?yàn)?）它是復(fù)信號有實(shí)部，也有虛部3）它的實(shí)部和虛部都是實(shí)數(shù)信號，而且具有相同基波周期*3、復(fù)指數(shù)信號這時，c和a都是復(fù)數(shù)r代表振蕩的包絡(luò)r>0幅度增加r<0幅度減小代表振蕩的角頻率*這是我們經(jīng)常用到的二、單位階躍和單位沖激信號1、單位階躍函數(shù)1）定義式u(t)=0t<01t>010tu(t)t10*此函數(shù)在t=0處不連續(xù)，它從0跳變到1，此點(diǎn)未定義或定義為同時延時的單位階躍函數(shù)定義為1t>0t<*Au(t)表示信號A在t=0處接入電路A表示信號A在時刻接入電路例：tu(t-2)tu(t-2)2t2)u(t)函數(shù)的作用（1）通常把u(t)表示為信號作用的起始時間*（2）常用u(t)加權(quán)和來表示一些階梯信號20468246x(t)tx(t)=4u(t-2)+2u(t-6)-6u(t-8)*2、單位沖激函數(shù)（1）定義t(1)t(1)或00*0t當(dāng)時，形成一個幅度為無窮而寬度為0的窄脈沖而*(2)的用途描述一個理想的信號源，使電容的電壓和電感的電流可以突變～°°°°＋－KC＋－伏C=1法拉安L=1亨沖激電流源沖激電壓源*（3）函數(shù)的性質(zhì)(a)階躍函數(shù)為的積分即1t>00t<0=u(t)(b)函數(shù)是階躍函數(shù)的導(dǎo)數(shù)即(c)的采樣性質(zhì)而*×(d）函數(shù)是t的偶函數(shù)即這是因?yàn)?(e)這個結(jié)果，以代入計(jì)算(4)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)當(dāng)即沖激的強(qiáng)度越來越大，其極限即為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)***(5)函數(shù)的性質(zhì)1)對時間的積分就是單位沖激函數(shù)*或2)是奇函數(shù)3)包含的面積為零4)的采樣性質(zhì)*§1.6基本離散時間信號1、單位階躍序列連續(xù)單位階躍信號是定義為u(t)=0t<01t>0離散的單位階躍序列定義為u[n]=0n=-1,-2…1n=0,1,2…不同的是序列只在離散的點(diǎn)n=0,1,2…上有離散的數(shù)值，而不是在連續(xù)的點(diǎn)上有值*2、單位抽樣序列1)定義式1n=00其它1n=k0其它-220n264n*2)與的比較不同點(diǎn)：在n=0時取值為1，而在t=0處取值為類似點(diǎn)：(1)n012…n012…33*(2)在連續(xù)系統(tǒng)中在離散系統(tǒng)中我們亦可用的抽樣序列來表示微分->差分積分->求和n012…3*3、復(fù)指數(shù)序列標(biāo)準(zhǔn)形式：1)實(shí)指數(shù)序列：當(dāng)均為實(shí)數(shù)*2)虛指數(shù)序列在中，c為實(shí)數(shù)，為復(fù)數(shù)時，設(shè)則*3)復(fù)指數(shù)序列此時，皆為復(fù)數(shù)，即代入x[n]式中得到*4、復(fù)指數(shù)序列的周期性質(zhì)連續(xù)離散1）愈高，振蕩頻率加快愈小，振蕩頻率減慢對沒有周期性對有周期性2）對任何都是t的周期函數(shù)1）對等復(fù)指數(shù)序列是完全相等的即是以為周期的2）對不同的不一定都是n的周期函數(shù)，只有為有理數(shù)時，才使為周期（因?yàn)槿魏味际侵芷诤瘮?shù))*2)對頻率是具周期性的變化周期為*2)對不同的值不一定都是n的周期函數(shù)為有理數(shù)時才是周期的基波頻率數(shù)字頻率基波周期整數(shù)*§1.7系統(tǒng)的基本概念1、系統(tǒng)的意義：實(shí)現(xiàn)某種特定要求的裝置的集合連續(xù)系統(tǒng):微分器積分器乘法器*離散時間系統(tǒng)倍乘器單位延遲器相加器*2、子系統(tǒng)1)級聯(lián)2)并聯(lián)*§1.8系統(tǒng)的特性與分類

PropertiesandClassificationofSystems

線性性質(zhì)齊次性 疊加性齊次性：*疊加性：*2、增量線性系統(tǒng)1）系統(tǒng)滿足分解特性2）零輸入線性：僅由初態(tài)激勵引起的響應(yīng)滿足線性性質(zhì)。3）零狀態(tài)線性：僅由輸入激勵引起的響應(yīng)亦必須滿足線性性質(zhì)*

只有當(dāng)系統(tǒng)同時滿足以上三個條件時，此系統(tǒng)為線性系統(tǒng)，否則就是非線性系統(tǒng)。有時稱這樣的線性系統(tǒng)為增量線性系統(tǒng)。例：為線性系統(tǒng)嗎？解：

∴不是線性系統(tǒng)。3、時變和時不變系統(tǒng)*x(t)t

y(t)ttt系統(tǒng)系統(tǒng)時不變系統(tǒng)：系統(tǒng)的輸出波形僅取決于輸入波形和系統(tǒng)的特性而與輸入信號接入系統(tǒng)的時間無關(guān)即系統(tǒng)的參數(shù)不隨時間而變化，該系統(tǒng)就具有時不變性質(zhì)。例如變?nèi)菰腃*4、因果系統(tǒng)和非因果系統(tǒng)

因果系統(tǒng)：它的輸出僅取決于現(xiàn)在與過去的輸入，而與將來的輸入無關(guān)。

非因果系統(tǒng)：系統(tǒng)的輸出與未來的輸入有關(guān)， 即沒有原因就產(chǎn)生結(jié)果。*

如果系統(tǒng)滿足輸入有界，輸出也有界，則此系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)，反之如果系統(tǒng)滿足輸入有界，輸出無界（無限值），則此系統(tǒng)叫做不穩(wěn)定系統(tǒng)5、穩(wěn)定與不穩(wěn)定系統(tǒng)*6、記憶性、可逆性*第一章小結(jié)1信號的時域描述方法及基本運(yùn)算2三種基本的連續(xù)/離散時間信號復(fù)指數(shù)信號階躍信號沖激（抽樣）信號3系統(tǒng)的基本概念及互聯(lián)方式4系統(tǒng)的六個基本性質(zhì)只研究線性時不變系統(tǒng)（連續(xù)和離散）作業(yè)：7、12、13、21*第二章連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析83§2.1引言本章解法時域解法微分方程法古典法奇次通解特解零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)卷積積分零狀態(tài)響應(yīng)奇異函數(shù)用奇異函數(shù)表示任意時間信號沖激響應(yīng)h(t)的求法卷積積分的定義式卷積積分的圖解法卷積積分的數(shù)值法84§2.2LTI系統(tǒng)的微分方程描述

§2.3零輸入、零狀態(tài)響應(yīng)的求法85§2.4用沖擊函數(shù)表示任意信號卷積積分1、用沖擊函數(shù)表示任意信號信號可以分解為一系列基本信號的加權(quán)疊加而系統(tǒng)對第n個基本信號的響應(yīng)為,則系統(tǒng)對x(t)的響應(yīng)為86tx(t)tx(t)t87當(dāng)連續(xù)變量，在時域中，把任意函數(shù)分解為無限多個沖激函數(shù)的疊加積分表示式88多點(diǎn)抽樣一點(diǎn)抽樣2、卷積積分輸入零狀態(tài)響應(yīng)89討論幾個問題1、以上卷積公式如果的信號是一個有始信號，從零開始90中，當(dāng)即時，當(dāng)即時，2、卷積意義的進(jìn)一步說明激勵函數(shù)作用于電路的時間反映了在軸上移動的距離響應(yīng)與輸入的持續(xù)時間是重設(shè)的自變量，t是參變量它是從0開始到t對輸入函數(shù)的加權(quán)積分91§2.5卷積積分的運(yùn)算和圖解例11tx(t)h(t)1t進(jìn)行卷積積分運(yùn)算9293例3任意函數(shù)與函數(shù)卷積的結(jié)果t-TT01-TT0求94解：t1T2T-T95例2：已知和的圖形如圖示，試計(jì)算卷積積分17t2t225?96

τ2t-7t-12）平移1）翻轉(zhuǎn)解：2-1-7

τ973）分步相乘、積分(a)若t-1<2,即t<3t-7t-1252?98(b)若2<t-1<5即3<t<6t-72t-152?99(c)若t-1>5t-7<2即6<t<9t-725t-11002t-75t-1(d)若2<t-7<5即9<t<12101(e)若t-7>5,即t>12s(t)=02t-75t-12?1020t<3t-33<t<636<t<912-t9<t<120t>12s(t)=336912ts(t)103§2.6單位沖激響應(yīng)的算法一、定義：所謂單位沖激響應(yīng)h(t)是系統(tǒng)在單位沖激激勵的情況下的零狀態(tài)響應(yīng)所謂單位階躍響應(yīng)s(t)是系統(tǒng)在單位階躍激勵的情況下的零狀態(tài)響應(yīng)！注意三點(diǎn)：1。單位2。零狀態(tài)，即初態(tài)為零3。h(t)104§2.7卷積積分的性質(zhì)1。卷積運(yùn)算滿足交換律，即x(t)與h(t)的位置可以交換2、結(jié)合律105對于兩個串聯(lián)的系統(tǒng)1）兩系統(tǒng)級聯(lián)的沖激響應(yīng)x(t)w(t)y(t)x(t)y(t)x(t)w(t)y(t)單位沖激響應(yīng)的卷積即2）級聯(lián)的單位沖激與子系統(tǒng)連接的次序無關(guān)1063、分配律對于一個并聯(lián)系統(tǒng)而言y(t)x(t)107兩個并聯(lián)子系統(tǒng)構(gòu)成的系統(tǒng)，其單位沖激響應(yīng)為兩個子系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)之和4、微積分性質(zhì)微分性質(zhì)：如果則對于n階導(dǎo)數(shù)有108積分性質(zhì)：則有推廣之則有例：求109見下圖11011t112tt-11t1111t12(-2)(1)t123t112§2.10連續(xù)時間系統(tǒng)的模擬一、模擬圖的意義h(t)y(t)x(t)我們設(shè)法用實(shí)驗(yàn)來模擬它實(shí)驗(yàn)?zāi)M方法的好處在于其響應(yīng)的變化很容易通過實(shí)驗(yàn)來進(jìn)行觀察，以便調(diào)正。而我們要講的模擬圖還不是實(shí)驗(yàn)的安裝，而是指數(shù)學(xué)意義上的模擬。113二、模擬圖的種類1、時域頻域2、功能加法器乘法器a積分器114y(t)x(t)y(0)三、連續(xù)時間系統(tǒng)微分方程的模擬圖步驟:1)把輸出函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)放在左邊其余項(xiàng)目都放在右邊2)經(jīng)過若干個積分器，可得到y(tǒng)(t)115116∫輸入特性與級聯(lián)次序無關(guān)，將兩個積分器合并為一個。++∫++∫117∫∫118直接Ⅱ型所用的積分器最少，所以也稱為正準(zhǔn)型，將正準(zhǔn)型的加法器相加即得簡化的模擬圖。直接Ⅰ型和直接Ⅱ型的模擬圖見下頁119∫∫∫∫∫∫直接Ⅰ型++++++++120∫∫∫直接Ⅱ型++++++++121第二章小結(jié)1卷積積分的物理意義、公式、運(yùn)算及其性質(zhì)；2單位沖激響應(yīng)的物理意義；3連續(xù)時間系統(tǒng)的模擬。作業(yè)：5(a)(b)(c),6(a)(b),18,21第三章LTI離散時間系統(tǒng)的時域分析123§3.1引言

連續(xù)系統(tǒng)離散系統(tǒng)表示方法：微分方程差分方程解的分析：完全響應(yīng)=零輸入+零狀態(tài)完全響應(yīng)=零輸入+零狀態(tài)系統(tǒng)的特性：h(t)單位沖激響應(yīng)h(n)單位脈沖響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)：卷積積分卷積和124§3.2LTI離散時間系統(tǒng)的差分方程一、從微分方程到差分方程y(n)和y(n-1)代表前后兩點(diǎn)y坐標(biāo)的數(shù)值125為一階后向差分為一階前向差分一階后差二階后差相當(dāng)于連續(xù)系統(tǒng)相當(dāng)于126三階后差說明：連續(xù)系統(tǒng)中是微分方程，在離散系統(tǒng)中就是差分方程二、從實(shí)際的離散問題列寫差分方程127例1、有人在銀行存款，在t=kT時存入為f(k)T為一固定的時間間隔，這里為一個月，銀行的月息為，每月的利息不取出，使用差分方程寫出第K月初的本利y(k)解：設(shè)原有存款y[0]第一個月：第二個月：第K個月：設(shè)第K月初的本利y(k)128例2：由一個電阻的梯形網(wǎng)絡(luò)，每一串臂電阻值為R，每一并臂電阻值為aR,a為某一正實(shí)數(shù)U(0)=EU(n)=0求任一節(jié)點(diǎn)的電壓U(k)=?+-129解：取出此電路的一個T型結(jié)構(gòu)雙方乘以R得130討論幾點(diǎn)1）差分方程的自變量可以是時間n，亦可以是其他的離散變量。2）差分方程的一般形式后向差分方程響應(yīng)輸入131前向差分方程表示y[n]與y[n+1]，y[n+2]….之間的關(guān)系我們一般用后向差分的形式3）差分方程如果同時加減一個數(shù)，差分方程所描寫的的輸入-輸出關(guān)系不變。表示的形式不一樣，實(shí)質(zhì)是一樣的。1324）方程如想得到確定唯一解，必須給出初始條件，這與連續(xù)系統(tǒng)是一樣的四、差分方程的解法一共有三種方法：遞推法、經(jīng)典法和零輸入、零狀態(tài)響應(yīng)法。1）遞推法：就是用手算，逐次代入求解例1：初始條件y(-1)=c輸入133求：系統(tǒng)的響應(yīng)y[n]其中c和k都是常數(shù)解：以n=0為起點(diǎn)方程可寫成134優(yōu)點(diǎn)：方法簡便缺點(diǎn)：不便于得到解析式子135§3.4用抽樣序列表示任意序列單位抽樣響應(yīng)136(2)h(t)的求法微分方程法零狀態(tài)→零輸入(3)y(t)=x(t)*h(t)在離散系統(tǒng)中按這三個步驟進(jìn)行運(yùn)算1、用抽樣序列表示任意序列137…n與連續(xù)的類似不同點(diǎn)：1）連續(xù)系統(tǒng)中是積分，離散系統(tǒng)中是求和2）連續(xù)系統(tǒng)是單位沖激函數(shù)，離散系統(tǒng)中是單位函數(shù)，它的幅度為1x[0]x[1]x[-1]-3-20132-11382、單位抽樣響應(yīng)h(n)的求法：定義式：h[n]是離散時間系統(tǒng)在輸入為單位抽樣序列的情況下的零狀態(tài)響應(yīng)！要注意兩點(diǎn)：1）單位抽樣2）零狀態(tài)響應(yīng)139§3.5LTI離散時間系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)卷積和卷積和公式利用系統(tǒng)線性時不變性質(zhì)140與連續(xù)系統(tǒng)的卷積積分公式相比相似點(diǎn)：1）在離散系統(tǒng)中為而在連續(xù)系統(tǒng)中為2）對有始信號和因果系統(tǒng)而言K的上下限為1413）與連續(xù)系統(tǒng)一樣，可以交換位置，即2、卷積和的計(jì)算方法1）利用等比級數(shù)求和的公式進(jìn)行計(jì)算例2、設(shè)求：卷積和解：142根據(jù)等比級數(shù)求和的公式y(tǒng)[n]=當(dāng)時當(dāng)時0n<01432）用查表的方法公式10為把上面兩式代入公式11為當(dāng)a=b時1443）圖形卷積求和法設(shè)時要進(jìn)行它的步驟是：01230123321145a.把一個圖形翻轉(zhuǎn)h[k]→h[-k]翻轉(zhuǎn)01233210123146a.把一個圖形翻轉(zhuǎn)h[k]→h[-k]32101230-1-2-3147b.平移h[-k]→h[n-k]3210-110123148c.相乘x[k]h[n-k]0123012301233456734149d.求各個和x[n]與h[n]不是有限數(shù)列，它的卷積和為無窮多項(xiàng)1023456391518150x[k]的序列長度為序列的長度則卷積和y[n]的長度為4）矩陣計(jì)算法y[n]=x[n]*h[n]y[0]=1y[1]=1+1/2=3/2y[2]=1+1/2+1/4=7/4x(0)x(1)x(2)x(3)y(0)y(1)y(2)y(3)151§3.6

反卷積及其應(yīng)用實(shí)際問題中，已知輸入x[n]和輸出y[n]，求系統(tǒng)響應(yīng)h[n]例如，發(fā)射一個信號x[n]下去，又接收它的回波信號y[n]x[n]y[n]h[n]152x[n]和y[n]來測定系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h[n]對于有始信號，因果系統(tǒng)的響應(yīng)式可以取為現(xiàn)在分別令n=0,1,2……N代入153簡寫HX=Y...154y[0]=h[0]x[0]y[1]=h[1]x[0]+h[0]x[1]y[2]=h[0]x[0]+h[1]x[1]+h[0]x[2]...y[N]=h[N]x[0]+h[N-1]x[1]+……+h[0]x[N]一共N+1個方程可寫成155計(jì)算尺y[n]固定尺上方，從左到右，按增長的序列即有y[n]的值156x[n]固定尺下方，從左到右，按同樣的順序即有x[n]的值h[n]滑動尺從右到左，按n的順序即有h[n]的值例如157例x[n]={1,1,2}y[n]={1,-1,3,-1,6}求：h[n]=?158解：下一步159解：下一步160解：下一步161解：162同理可得時，h[n]=0163上尺為等數(shù)值下尺為等數(shù)值而中間尺就是x[0],x[1]……就是中間的數(shù)值，計(jì)算的方法與前面的一樣已知y[n],h[n],求x[n]=?164§3.7用單位抽樣響應(yīng)表示系統(tǒng)的性質(zhì)我們要說明h[n]必須滿足什么條件，才能使系統(tǒng)是因果的、穩(wěn)定的、記憶的或可逆的，必須給出它的判別公式。1、LTI系統(tǒng)的穩(wěn)定性165即和的絕對值小于絕對值乘積之和166例1、設(shè),試判斷此系統(tǒng)的穩(wěn)定性系統(tǒng)穩(wěn)定例2、再設(shè)系統(tǒng)不穩(wěn)定1672、LTI系統(tǒng)的因果性因果系統(tǒng)的意思就是，輸出只與現(xiàn)在與過去的輸入有關(guān)，而與未來的輸入無關(guān)。h[n]=0當(dāng)n<0時當(dāng)當(dāng)168例3、試判斷下面的一些LTI離散時間系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)，哪些是因果的，哪些不是因果的169解：因果系統(tǒng)因果系統(tǒng)只有才有輸出系統(tǒng)為非因果系統(tǒng)系統(tǒng)為非因果系統(tǒng)1703、LTI系統(tǒng)的記憶性非記憶系統(tǒng)是指即時系統(tǒng)記憶系統(tǒng)除了與當(dāng)時的輸入有關(guān)，還與以前的輸入有關(guān)

是系統(tǒng)是無記憶系統(tǒng)的條件171如果k=1則y[n]=x[n],系統(tǒng)為恒等系統(tǒng)此時非記憶系統(tǒng)記憶系統(tǒng)h[n]=0可能例：的系統(tǒng)為記憶系統(tǒng)否？(1)從h[n]來看，當(dāng)n不等于0時[如n=1時，h[n]=1]，即系統(tǒng)為記憶系統(tǒng)172(2)因?yàn)檩敵霾粌H與當(dāng)時的輸入有關(guān)，而且還與以前的輸入有關(guān)。系統(tǒng)為記憶系統(tǒng)練習(xí)題：P1043.201734LTI系統(tǒng)的聯(lián)接級聯(lián)：級聯(lián)系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)等于各子系統(tǒng)單位抽樣響應(yīng)的卷積。并聯(lián)：并聯(lián)系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)等于各子系統(tǒng)單位抽樣響應(yīng)的和。174§3.8離散時間系統(tǒng)的模擬175第三章小結(jié)1差分方程的解法；2單位抽樣響應(yīng)的物理意義；3卷積和的物理意義、計(jì)算方法及性質(zhì)；4離散時間系統(tǒng)的模擬。作業(yè)：8(a)(d)，9(b)(c)(d)，13，17，

19(a)(c)，20連續(xù)時間信號的付里葉分析

第四章177§4.1引言時域分析連續(xù)信號卷積積分以為基準(zhǔn)信號離散信號卷積和以為基準(zhǔn)信號頻域分析連續(xù)信號付里葉分析以為基準(zhǔn)信號連續(xù)系統(tǒng)付里葉分析離散信號與系統(tǒng)付里葉分析178變換域分析連續(xù)信號拉氏變換法以為基準(zhǔn)信號離散信號Z變換法以為基準(zhǔn)信號以作為基準(zhǔn)信號的原因:P106要求必須滿足正交性，完備性§4.2復(fù)指數(shù)函數(shù)的正交性1、矢量的正交179兩個矢量的點(diǎn)乘積當(dāng)時點(diǎn)積為零矢量正交當(dāng)重合時點(diǎn)積為常數(shù)與1802、函數(shù)的正交如果在區(qū)間內(nèi)，一個復(fù)函數(shù)集中的各個復(fù)函數(shù)間，滿足如下條件0k181即在函數(shù)互乘時積分為零，而在自乘時積分為一個常數(shù)k,則稱n=0,1,2…N為正交函數(shù)集！注意幾點(diǎn)：a、一個實(shí)函數(shù)，則正交公式將變?yōu)?k182b、以上式中，如果k=1,則稱，n=0,1,2…3為歸一化的正交函數(shù)集c、當(dāng)在區(qū)間內(nèi)，對于正交函數(shù)集如果我們再也找不到一個函數(shù)使能滿足m=0,1,2,…N則稱此函數(shù)集n=0,1,2,…是完備的183d、系數(shù)的計(jì)算由兩邊積分由于和滿足正交條件所以除了m=n以外，其余項(xiàng)皆為零1843、復(fù)指數(shù)函數(shù)的正交性對于復(fù)指數(shù)信號0185！注意幾點(diǎn)a、以上復(fù)指數(shù)函數(shù)是周期性的，角頻率為，周期為b、把以上復(fù)指數(shù)函數(shù)用歐拉公式展開成和兩項(xiàng)，他們滿足正交條件01860對所有的m和n§4.3用付里葉級數(shù)表示周期信號1、用復(fù)指數(shù)形式的付里葉級數(shù)表示周期信號187而！注意：如果是正弦將是如何？2、用三角形式的付里葉級數(shù)表示周期信號三角級數(shù)當(dāng)時亦是一組正交函數(shù)集，從復(fù)指數(shù)付里葉級數(shù)亦可亦分解成三角付里葉級數(shù)188在此設(shè)189190可以證明比較：(a)復(fù)指數(shù)付里葉級數(shù)展開式綜合公式分析公式191平均值三角付里葉級數(shù)展開式綜合分析192(b)比較二者n從有正負(fù)頻率項(xiàng)n從只有正頻率項(xiàng)(c)三角級數(shù)中，要計(jì)算出和才能代表諧波的幅度和相位，只需計(jì)算一次因?yàn)橛?jì)算出的是復(fù)數(shù)，它既有模又有相位所以比較方便193(4)兩者系數(shù)的關(guān)系例1：已知x(t)是一個周期性的鋸齒波如圖試求其付里葉級數(shù)t1/2-1/20194幅譜圖-2-1012195§4.4波形的對稱性和付里葉級數(shù)196§4.5周期信號的頻譜一、頻譜的意義和特點(diǎn)綜合分析1971981991）離散性：是一根根離散的線譜2）諧波性：（一根線就代表一次諧波的1/2）每根線所在的位置是處于各諧波處3）收斂性：隨著n的增大，譜線的幅度愈來愈降低，對于高次諧波它的幅度幾乎為零4）幅譜是n的偶函數(shù)對稱于縱軸，而相譜則是的奇函數(shù)而200即相譜對來說是奇函數(shù)，二、周期方波的頻譜分析1、頻譜分析x(t)t對稱于原點(diǎn)。A201P1134-50式改寫一下202畫出其頻譜圖如右2031）幅度當(dāng)當(dāng)n=0時當(dāng)n=1時當(dāng)n=2時204當(dāng)n=n時隨著n的增大，其包絡(luò)是按的規(guī)律在變化此時叫做抽樣函數(shù)，是非常重要的2）間隔一個間隔就等于一個基波周期函數(shù)2053）節(jié)點(diǎn)即的分子時當(dāng)時206特點(diǎn)：2072082092102112122132143、關(guān)于相譜問題4、頻帶寬度問題~215§4.7非周期信號的付里葉變換一、公式的推導(dǎo)周期信號的付里葉級數(shù)使周期信號非周期化216217推導(dǎo)反變換公式218不同點(diǎn)：219三、常用信號的付里葉變換例1、單邊指數(shù)信號220221例2、門函數(shù)A0比較單個脈沖的頻譜與周期信號的頻譜，我們可以看到2221)頻譜的形狀是相同的，都是按的規(guī)律變化2)它們的節(jié)點(diǎn)一樣都是只與脈沖寬度有關(guān)3)它們的信號頻帶可以定義為一樣，即4)它們的幅頻譜都是頻率的偶函數(shù)，相譜是頻率的奇函數(shù)不同點(diǎn)：(1)周期信號為離散線譜，而非周期信號為連續(xù)的帶譜223(2)周期方波的最大幅度是例3、求單位沖激函數(shù)，的頻譜解：0t1224例4、已知求x(t)=?解：0t10225§4.8付里葉級數(shù)與付里葉變換的關(guān)系狄里赫利條件就是(1)x(t)絕對可積，即(2)在任何有限區(qū)間內(nèi)，x(t)只有有限個極大值和極小值226(3)在任何有限區(qū)間內(nèi)，x(t)不連續(xù)點(diǎn)個數(shù)有限，而且在不連續(xù)點(diǎn)處x(t)的值是有限的解：227周期信號的付氏變換公式，特點(diǎn)就是有的存在…………228229230§4.9連續(xù)時間付里葉變換的性質(zhì)1)線性性質(zhì)說明我們研究的是線性變換2)共軛對稱性231可見其實(shí)部是頻率的偶函數(shù)其虛部是頻率的奇函數(shù)232(1)當(dāng)x(t)為一般實(shí)函數(shù)時，3)時移性質(zhì)證：233注意：幅譜不變、相譜變化例如2344)尺度變換性質(zhì)2352362372385）反轉(zhuǎn)性質(zhì)239例：畫出調(diào)制信號的頻譜調(diào)制波信號2407)對偶性質(zhì)例2418)函數(shù)下的面積2422439)時域微分性質(zhì)同理可證明例2、求三角脈沖的付里葉變換式244步驟：1）先把f(t)連續(xù)求導(dǎo)，使全部出現(xiàn)沖擊為止24510)頻域微分性質(zhì)它說明信號在頻域中對頻譜函數(shù)求導(dǎo)，等效于在時域中用-jt去乘它的時間函數(shù)同理例或24611)時域卷積定理求三角脈沖的頻譜函數(shù)247=.=24812)頻域卷積定理例1、已知 求249例2、解調(diào)，把 求相乘相乘低濾x(t)r(t)g(t)解：250wwww002)(-AR時間信號x(t)251為此解調(diào)的過程可以寫為H(ω)13)時域積分TimeIntegrantion時域的微分相當(dāng)于頻域乘上jω時域的積分相當(dāng)于頻域除上jω，并且后面多了一項(xiàng)252例3、求斜變信號的頻譜Y(ω)=?

解：25314)頻域積分254§4.10周期信號的功率譜、非周期信號的能量頻譜、帕塞瓦爾定理1、周期信號的功率譜255

周期信號的帕塞瓦爾定理，時域的功率之和與頻域的功率之和是恒等的。p2、能量頻譜 一個非周期信號的時域能量公式為256就稱為非周期信號的能量公式3、能量密度函數(shù)能譜G(ω)定義為以角頻率ω為中心的單位頻帶中的信號能量。 257258第四章小結(jié)1周期信號的傅立葉級數(shù)表示；2周期信號的頻譜及特點(diǎn)，常用信號的頻譜；3非周期信號的傅立葉變換及常用變換對；4傅立葉變換與傅立葉級數(shù)的關(guān)系，周期信號的傅立葉變換；5傅立葉變換的性質(zhì)及應(yīng)用。259第四章作業(yè)3(2)、6、11(a)、24、25(a,b,c)、27(a,b)、29260第五章離散時間付里葉變換

離散時間信號的譜分析261

§5.1引言本章主要內(nèi)容1、抽樣定理連續(xù)離散連續(xù)抽樣內(nèi)插2、周期序列的離散傅立葉級數(shù):DFS

非周期序列的離散時間傅立葉變換:DTFT離散傅立葉變換:DFT262

§5.2

抽樣定理

一、定理：如果x(t)的帶寬是有限的,即當(dāng)時X(ω)=0，則此信號可以由均勻間隔的采樣值唯一地確定.二個要點(diǎn):1.信號的帶寬必須有限. 2.采樣的時間間隔或263二、計(jì)算264265從上圖可以看到,

已知266可見必然包含了X()的頻譜，只不過幅度乘以267三、抽樣頻率的選擇為使兩個波形不重疊,必須 即而抽樣時間即要求結(jié)論:1、抽樣頻率必須大于信號最高頻率的 兩倍,

以上的頻率叫做奈奎斯特頻率。2682、抽樣時間必須小于,又叫奈奎斯特時間。四、如何由恢復(fù)出

X(t)

設(shè)低通濾波器的頻響為H(j)=

H(j)H(ω)269樣本函數(shù) 內(nèi)插抽樣函數(shù)270結(jié)論:經(jīng)過低通濾波器以后,無窮多個抽樣函數(shù)的疊加,其包絡(luò)就是原始信號

X(t)。0271§5.3周期離散時間信號的表示,

離散傅立葉級數(shù)一、離散傅立葉級數(shù)的表示式連續(xù)與離散信號的比較連續(xù)信號離散信號1.周期性x(t+T)=x(t)1.x[n+N]=x[n]N為周期性2.基準(zhǔn)信號2.

取當(dāng)為有理數(shù)時才是n的周期序列2723.復(fù)指數(shù)序列

無限多個獨(dú)立的復(fù)指數(shù)函數(shù)

3.

只有N個復(fù)指數(shù)序列是獨(dú)立的

是以2π為周期

4.分析公式

5.綜合公式2736.頻譜特點(diǎn)1)

是離散的諧波的收斂的,不是周期的1)

是離散的周期的，它是一個以N為周期的函數(shù)即和2742)從綜合公式可以看到無窮多項(xiàng)可以綜合出原來的時間信號，并且此級數(shù)必須是收斂的，所以有收斂性問題。2)只需用有限項(xiàng)之和可以綜合出原來的序列信號，所以沒有收斂性問題。275例1:已知，求頻譜系數(shù)？

當(dāng)為一個有理數(shù)時，是周期的。當(dāng)為一個無理數(shù)時(如），則就不是周期的。解:276a)當(dāng)是一個整數(shù)N時是一個基波頻率為的周期序列-10+146277b)當(dāng)時，即時與比較后可得以m=3N=5為例可以得到278又N=5

它的頻譜圖為-4-3-2-101234567894kN279二、離散付里葉級數(shù)其頻譜的特點(diǎn)：離散、周期、無收斂性問題！以離散的周期波為例x[n]n-NN01280書上例(6-3)已經(jīng)給出其付里葉級數(shù)的結(jié)果設(shè)N=9,N1=2N為基本周期在連續(xù)系統(tǒng)中，可以用1次，1+3次，1+3+5次諧波疊加出方波波形。在離散系統(tǒng)中，當(dāng)M=1,2,3,4時，請大家看P291的波形281999M=1M=2M=3n00282可見N=9周期不變，譜線的間隔不變，M的變化只說明參加疊加項(xiàng)數(shù)的增加當(dāng)M=4時，2M+1=9則與x(n)一樣。說明只要M=4就可以綜合出原信號x[n],而不需要無窮多項(xiàng)，因此也沒有收斂性問題，它肯定收斂。9M=4n283§5.4非周期離散時間信號的表示

離散時間傅立葉變換

284相同的道理：一個周期為N，寬度為的復(fù)指數(shù)信號。x(n)0n當(dāng)N

大時0n285和與連續(xù)時間情況一樣定義的包絡(luò)為則286定義則①②③④2πx(n)

Ω

Ω

dΩ287一個非周期序列可以表示為一組復(fù)指數(shù)序列的連續(xù)和，每一個復(fù)指數(shù)序列的幅度為無窮小量，但正比于X(Ω)?！郮(Ω)

仍表示它的頻譜密度,不過此頻譜是連續(xù)的，周期的，頻譜周期為2882、連續(xù)付里葉變換與離散時間付里葉變換的差別對比連續(xù)離散1)是否周期性X(ω)非周期X(Ω)是周期的，周期為2)從綜合公式來看從在一個周期2π內(nèi)積分

3)從X(ω)和X(Ω)的連續(xù)與否X(ω)連續(xù)連續(xù)包絡(luò)也是連續(xù)離散2894)X(ω)有可否存在的問題，一般要求滿足絕對可積條件（必要不是充要條件）周期級數(shù)無收斂性此為在2π區(qū)間內(nèi)∴無收斂問題2903收斂性

周期序列的付里葉級數(shù)，因?yàn)樵谝粋€周期內(nèi)只有有限個值，用綜合公式x(n)時沒有收斂性的問題，它是在N的區(qū)間內(nèi)求和，只要取到N個的區(qū)間就必然絕對可和，可以綜合出x(n)，以上是對周期序列而言。對于非周期序列：如果序列的長度有限，不存在收斂問題。如果序列的長度無限，則必須滿足序列絕對可和的條件，即<∞291§5.5離散付里葉級數(shù)和離散時間付里葉變換的關(guān)系1、非周期序列的付里葉變換的表示式-TT

τ0t當(dāng)T∞0tω292-NNnnΩΩ2π2π

π00當(dāng)N∞293連續(xù)離散線譜連續(xù)線譜離散離散連續(xù)294四種頻譜分析295四種頻譜分析2962、非周期序列付里葉變換的特點(diǎn)①與連續(xù)信號相比：信號離散化，頻譜周期化。

N為周期，為基頻。②與離散的周期信號相比：求和區(qū)間在N之內(nèi)和在無窮區(qū)間內(nèi)?！囝l譜連續(xù)。297問題：與比其頻譜為什么是周期的？ 它與連續(xù)的非周期信號離散化的結(jié)果必使頻譜周期化。問題：與比為什么它的頻譜是連續(xù)的？信號從周期變到非周期，頻譜從離散到連續(xù)，這也是一條不變的準(zhǔn)則。298結(jié)論：非周期序列離散付里葉級數(shù)的頻譜是連續(xù)的、周期的，其周期為2π。注意Ω的周期是2π，單位是弧度/次， 自動滿足絕對可和的條件<∞,所以它也不存在收斂問題。但是我們在實(shí)際應(yīng)用中仍嫌不夠，為什么？一個有限長的非周期序列，它的頻譜是連續(xù)的，我們在用計(jì)算機(jī)進(jìn)行處理時，都需要處理離散的數(shù)字信號，為此我們必須了解另外一種信號的變換，這就叫做離散付里葉變換。299§5.6

離散付里葉變換(DFT)1、DFT的引入周期離散時間信號的DFS離散周期非周期離散時間信號的付里葉變換連續(xù)周期有限長非周期的付里葉變換離散付里葉變換

DFT 它的特點(diǎn)：頻譜必須是離散的，可以只取它的一個周期，那么如何構(gòu)造出這樣的變換呢？如何保持輸入的x(n)是有限長，而得到的響應(yīng)也是一個離散的并有限長的響應(yīng)。3002、DFT的形成 設(shè)已經(jīng)給了我們有限長序列x(n)x(n)nnN-1N-1N第一步把x(n)作周期開拓，它變?yōu)橐粋€周期信號開拓后的周期選為N，他只要比x(n)和響應(yīng)y(n)的持續(xù)期長一些即可301第二步：對周期序列求它的DFS離散付里葉級數(shù)，則有則有取的一個周期k=0,1,2…N-1k=0,1,2…N-1

以上一組系數(shù)就構(gòu)成了x(n)的DFT離散付里葉正變換，叫做有限長序列x(n)的離散付里葉變換(DFT),X(k)叫做N點(diǎn)的DFT302第三步：把X(k)進(jìn)行反變換，就是周期離散序列取其一個周期，即為x[n]n=0,1,2,…N-1n=0,1,2,…N-1k=0,1,2,…N-1以上，首先把有限長序列開拓成周期序列求DFS,再求其一個周期的離散付里葉變換值X(k)，然后對其求反變換，應(yīng)當(dāng)也是一個周期序列，再取一303個周期的值，這樣就保證了輸入信號是非周期的有限長序列，而響應(yīng)是離散的序列，以上有二點(diǎn)要注意：以上的區(qū)間叫主值區(qū)間，N取的比相應(yīng)y(n)的區(qū)間大一些，另一點(diǎn)X(k)取的N個點(diǎn)，X(k)為N

點(diǎn)離散付里葉變換。離散付里葉變換離散付里葉級數(shù)離散時間付里葉變換有限長序列、離散線譜、取N的區(qū)間周期序列、離散線譜、周期非周期序列、連續(xù)帶譜、周期3043、重要性1）在時域和頻域都以離散的形式進(jìn)行分析和綜合運(yùn)算2）它具有快速有效的FFT算法4、計(jì)算舉例n=0,1,2…N-1k=0,1,2…N-1305解為，則306例1、求矩形脈沖序列 的DFT?0123n1為N=4個點(diǎn)的矩形脈沖有定義式以k=0,1,2,3代入上式可得設(shè)N=4307X(0)=1 X(1)=0 X(2)=0 X(3)=0∴X(k)=δ(k)另一方法：308309例2、利用上面的矩陣表示式，求X(k)={1,0,0,0}的反變換。解：當(dāng)N=4時310這就是前面的x(n)方波N=4的序列∴證明前面計(jì)算的DFT是正確的。311

§5.7離散時間付里葉變換的性質(zhì)DFS,DFT,DTFT的性質(zhì)匯總于表6.1~6.3中1、周期性：對Ω總是周期的，其周期為2π，同理 也是周期的，其頻率周期為2π∴離散序列周期頻域3122、線性性質(zhì)：

和為兩個常數(shù)，則3、共軛對稱性①X(Ω)是復(fù)數(shù)②如x(n)是一個實(shí)數(shù)序列，則

實(shí)部為Ω

的偶函數(shù) 虛部為Ω

的奇函數(shù) 313離散時間信號頻譜的實(shí)部和頻譜的模是Ω的偶函數(shù)，虛部和它的相位是Ω的奇函數(shù)，X(Ω)的模是Ω的偶函數(shù)，而X(Ω)的相位是Ω的奇函數(shù)。④4、位移性①連續(xù)：如314②若則序域位移相當(dāng)于頻域增加相移項(xiàng)③DFS:④DFT:5、頻移性若 則在DFS中也有類似的性質(zhì)，即若 則3156、時域差分連續(xù)說明在時域中求一項(xiàng)差分等效于在頻域中用去乘它的頻譜7、時域求和若且則316這是因?yàn)闀r域求和相當(dāng)于頻域乘以317例：求單位階躍序列y(n)=u(n)的頻譜解：根據(jù)上面的求和公式=1318

8、反轉(zhuǎn)性質(zhì)若 連續(xù)系統(tǒng)是：則在DFS中有：若 則同理：若 則 9、尺度變換性質(zhì)若設(shè)法定義x(at)：在連續(xù)系統(tǒng)是319則

n是k的倍數(shù)

n不是k的倍數(shù)

就是即擴(kuò)展k倍，在x(n)的值中間插入(k-1)個零而得到的，可以看作是減慢了的x(n)320例如x(n)如圖，則為中間插入兩個點(diǎn)

00213-1-2-3-3-636nn相當(dāng)于3211n1n1n50-ππ055322當(dāng)k>1時，相當(dāng)于在時域展寬了，為此在頻域就壓縮了，x(n)的頻譜X()是周期的，其周期為2，則的頻譜X(k)也是周期的，其周期為它表示了時寬與頻寬成反比的規(guī)律在離散時間系統(tǒng)也是同樣適用的。10、頻域微分在連續(xù)系統(tǒng)中是一樣的。32311、帕色伐爾定理12、時域卷積定理它說明時域中兩序列的卷積等效于頻域之中兩個序列離散時間付里葉變換的乘積。324為此求非周期序列通過離散系統(tǒng)求響應(yīng)時

h(n)H(Ω)﹡例如：已知一個LTI系統(tǒng)325解：326

用以上付里葉變換法只有在系統(tǒng)滿足穩(wěn)定條件下才能進(jìn)行。它保證了付里葉變換收斂13、頻域卷積定理及其應(yīng)用與連續(xù)時間系統(tǒng)是對應(yīng)的。327頻譜相卷積、即時域中的乘積運(yùn)算等效于頻域中的卷積運(yùn)算。主要運(yùn)用就是調(diào)制上面，所謂調(diào)制就是一個信號的幅度受另一個信號的牽制，亦即時間域（或序域）的幅度相乘相當(dāng)于頻域的卷積。14、周期卷積定理不適用兩個都是周期序列的情況。因?yàn)樗貌坏揭粋€穩(wěn)定的周期解。信號的周期都相同的時候就形成了圓周卷積。328兩周期序列的周期卷積對應(yīng)著周期離散付里葉級數(shù)乘N

倍。用途最廣的在于兩個DFT的有限長序列的卷積。329第五章小結(jié)1抽樣定理，抽樣信號頻譜的特點(diǎn)；2周期離散時間信號的傅立葉級數(shù)DFS；3非周期離散時間信號的傅立葉變換（DTFT）；4離散傅立葉變換DFT；5DFS、DTFT、DFT的性質(zhì)。330作業(yè)1（a,c,e,g)，5，9(a,c)，11(a,b)，12(a,c)，15離散時間系統(tǒng)的頻域分析第八章Z變換§8.1引言§8.2Z變換及收斂域§8.3Z變換的性質(zhì)§8.4常用序列的Z變換表§8.5反Z變換§8.1引言，§8.2Z變換及收斂域一、引言時域變換域連續(xù)：微分方程 卷積積分離散：差分方程 卷積和付里葉變換、拉氏變換離散付里葉變換Z變換二、z變量和s變量之間的關(guān)系三、Z變換的定義式提問？拉氏變換式

單邊Z變換雙邊Z變換四、收斂域及其性質(zhì)在拉氏變換中討論收斂域僅與σ有關(guān)，與ω?zé)o關(guān)。在Z變換中，影響收斂域的主要是r，而與Ω無關(guān)。例1、設(shè)①先求右邊序列的Z變換：要想使它收斂，即它的收斂域?yàn)榘霃綖榈膱A以外，∴右邊序列對應(yīng)的是一個內(nèi)邊界。②再求左邊序列∴對應(yīng)于左邊序列，其收斂域是一個外邊界。③對此雙邊信號，其

右邊信號內(nèi)邊界>圓外左邊信號外邊界<圓內(nèi)雙邊信號可能存在、可能不存在。對雙邊信號，上例中，對右邊信號，收斂域?yàn)閮?nèi)邊界，對左邊信號，收斂域?yàn)橥膺吔?，收斂域的性質(zhì)性質(zhì)1：x(z)的Roc，在Ｚ平面內(nèi)是以原點(diǎn)為中心的圓環(huán)。性質(zhì)2：Roc內(nèi)不包含任何極點(diǎn)，顯而易見。性質(zhì)3：若x(n)是有限持續(xù)期序列，則Roc為整個

Z平面。(z=0和z=∞可能不包含在內(nèi)）性質(zhì)4：若x(n)為一雙邊序列，且的圓位于

Roc內(nèi)，則該Roc一定是由包括的圓環(huán)所組成?！?.4常用序列的Z變換

P414的表同一個F(z)不同的收斂域，則有不同的序列函數(shù)§8.3Z變換的性質(zhì)1、線性性質(zhì)

表示：相交的部分，但不一定變小，亦可能擴(kuò)大。例1、求序列的Z變換。解：可見，線性疊加以后零極點(diǎn)抵消，收斂域從擴(kuò)大到全平面。2、時移性質(zhì)如果則（原點(diǎn)或無窮遠(yuǎn)點(diǎn)可能增加或者除掉）3、Z域的尺度變換和頻移定理Z域中，時域被一個復(fù)指數(shù)函數(shù)相乘之后相當(dāng)于Z域的全部極點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個角度例1、解：則可以得到其收斂域?yàn)橛疫呅蛄?，即顯然結(jié)果與列表相同。4、時間反轉(zhuǎn)性質(zhì)5、卷積定理如果他們的零極點(diǎn)相抵消的話，則收斂域可能進(jìn)一步擴(kuò)大。例：求下列兩單邊指數(shù)序列的卷積解：6、Z域微分

例：如果求解:應(yīng)用微分性質(zhì)7、初值和終值定理若n<0x(n)=0,則序列的初值為：終值定理：若n<0x(n)=0，則序列的終值為：從以上可見要想是x(∞)存在，要求X(Z)的收斂域包括單位圓。8、單邊Z變換的性質(zhì)（時移性質(zhì)）在雙邊的情況下：,而在單邊情況下①右移序列當(dāng)m=1，2的情況下當(dāng)x(n)為因果序列時，即n<0、x(n)=0，則上面①式的第二項(xiàng)為零，因此右移序列的單邊Ｚ變換和雙邊Ｚ變換相同。②

超前序列當(dāng)m=1和2時，可寫成為此經(jīng)常用到的是以下二種情況下的時移性質(zhì)：例：求周期序列的Z變換

則方括號內(nèi)的幾何級數(shù)收斂，它等于把以上的所有性質(zhì)列于表8.1中P413§8.5Z反變換1、冪級數(shù)展開法——長除法例1、寫成通式：優(yōu)點(diǎn)：方便迅速，缺點(diǎn)：只能寫出前幾項(xiàng)的系數(shù)不易得到通項(xiàng)。2、部分分式展開法拉氏變換的基本形式是，而Z變換中的基本形式是例1、將展成部分分式解：可見用部分分式法與冪級數(shù)展開法比較結(jié)果一樣。例2、設(shè)有X(z)為解：a.當(dāng)收斂域Roc位于最外層極點(diǎn)的外邊∴x(n)必然是一個右邊序列。b.當(dāng)上面的例子Roc變成時，求c.當(dāng)上面的例子Roc變成時，求三、曲線積分法——留數(shù)法 根據(jù)復(fù)變函數(shù)的留數(shù)定理

X(z)的反變換x(n)為：曲線c的選擇應(yīng)保證收斂域（即包含所有的極點(diǎn)），以原點(diǎn)為中心，以r為半徑的圓。亦就是用各極點(diǎn)的留數(shù)來計(jì)算例1、對用留數(shù)法進(jìn)行計(jì)算解：§8.6Z變換分析法在連續(xù)系統(tǒng)中可以把微分方程代數(shù)方程拉氏變換在離散系統(tǒng)中可以把差分方程代數(shù)方程Z變換可見用三種方法計(jì)算的結(jié)果一樣。用Z變換法求離散時間系統(tǒng)的響應(yīng)，亦可以分為零輸入和零狀態(tài)兩種，它們分開求亦可以和在一起求。一、求零輸入響應(yīng)例如一個二階齊次差分方程兩邊進(jìn)行Z變換得可以看出：分母是差分方程的特征方程，分子是系統(tǒng)的初始條件，初始條件代入就得到零輸入響應(yīng)。例、二、零狀態(tài)響應(yīng)

1、H(z)的求法而h[k]是系統(tǒng)在輸入為的情況下的零狀態(tài)響應(yīng)設(shè)差分方程兩邊Z變換由于是零狀態(tài)三、用Z變換法求解零狀態(tài)響應(yīng)例1、一離散系統(tǒng)的差分方程為若激勵起始值y(-1)=0求響應(yīng)y(n)解：初始條件y(-1)=0極點(diǎn)位于z=a

和z=b兩邊進(jìn)行Z變換例2、對上述的差分方程，若激勵不變，但起始值不等于零，而y(-1)=2求：系統(tǒng)的完全響應(yīng)y(n)解：此時的響應(yīng)為零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)之和總結(jié)以上Z變換分析法1、記住Z變換的時移性質(zhì)。2、記住常用函數(shù)的Z變換表示式3、熟練部分分式法§8.7離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)

一、系統(tǒng)函數(shù)H(z)的定義都是反映系統(tǒng)特性的物理量二、H(z)的求法

1、從差分方程求 例如一個LTI系統(tǒng)的差分方程2、從系統(tǒng)的模擬圖求H(z)

a頻域模擬圖2、從時域模擬圖來求D三、系統(tǒng)的穩(wěn)定性與因果性

1、h[n]和H(z)都反映了系統(tǒng)的固有特性。

2、h[n]代表因果系統(tǒng)時，必須h(n)=0當(dāng)n<0時 或，即h(n)是一個右邊序 列，為此其H(z)的收斂域極點(diǎn)以外，就得保證h[n]是因果的。3、當(dāng)h[n]代表一個穩(wěn)定系統(tǒng)時，必須 絕對可和。亦就是h[n]必須是一個衰減函數(shù)，為此

a必然小于1，則H(z)的極點(diǎn)都在單位圓內(nèi)4、當(dāng)系統(tǒng)又因果又穩(wěn)定時，則H(z)的極點(diǎn)全在單位圓內(nèi)且收斂域包含單位圓。1§8.9Z變換和拉氏變換的關(guān)系

1、z變量與s變量的關(guān)系為對應(yīng)關(guān)系：s平面z平面1）原點(diǎn)σ=0，ω=0r=1，Ω=0,z=12）虛軸σ=0，a點(diǎn)

ω為任意的數(shù)值單位圓上3）左半平面σ<0，c點(diǎn)單位圓內(nèi)4）右半平面σ>0b點(diǎn)r>1單位圓外5）實(shí)軸ω=0正實(shí)軸Ω=0

圖示cdebab16）d,c,e各點(diǎn)之間有相同的實(shí)部，頻率間隔對應(yīng)于Z平面是同一個點(diǎn)。 虛軸代表單位圓，左平面是單位圓內(nèi)，右平面是單位圓外2、X(s)與X(z)的關(guān)系 拉氏變換公式第八章小結(jié)1z變換、收斂域及性質(zhì)；2z反變換、常用z變換對；3單邊z變換及性質(zhì)（時移性質(zhì)：延時，超前）4z變換分析法、系統(tǒng)函數(shù)；5z變換與拉普拉斯的關(guān)系。作業(yè)：1(a,c,e)、2(a,b,c)、3、6(a,b)、7、17、18(a,b)、20、21、34387系統(tǒng)的狀態(tài)變量分析第九章連續(xù)時間與離散時間388§9.1引言

輸入——輸出法h(t)1）輸入—輸出法只適用于線性時不變系統(tǒng)，對于時變和非線性系統(tǒng)是不