第3章復(fù)變函數(shù)的積分

第一節(jié)復(fù)變函數(shù)的積分一、復(fù)變函數(shù)積分的定義二、復(fù)積分存在的條件及其計(jì)算法三、復(fù)積分的基本性質(zhì)四、小結(jié)與思考1一、積分的定義1.有向曲線:

設(shè)C為平面上給定的一條光滑(或按段光滑)曲線,如果選定C的兩個(gè)可能方向中的一個(gè)作為正方向(或正向),那么我們就把C理解為帶有方向的曲線,稱為有向曲線.如果A到B作為曲線C的正向,那么B到A就是曲線C的負(fù)向,2簡(jiǎn)單閉曲線正向的定義:

簡(jiǎn)單閉曲線C的正向是指當(dāng)曲線上的點(diǎn)P順此方向前進(jìn)時(shí),鄰近P點(diǎn)的曲線的內(nèi)部始終位于P點(diǎn)的左方.與之相反的方向就是曲線的負(fù)方向.關(guān)于曲線方向的說(shuō)明:在今后的討論中,常把兩個(gè)端點(diǎn)中的一個(gè)作為起點(diǎn),另一個(gè)作為終點(diǎn),除特殊聲明外,正方向總是指從起點(diǎn)到終點(diǎn)的方向.32.積分的定義:4(5關(guān)于定義的說(shuō)明:6二、積分存在的條件證正方向?yàn)閰?shù)增加的方向,78根據(jù)線積分的存在定理,9當(dāng)n

無(wú)限增大而弧段長(zhǎng)度的最大值趨于零時(shí),10在形式上可以看成是公式11三、復(fù)積分的基本性質(zhì)復(fù)積分與實(shí)變函數(shù)的定積分有類似的性質(zhì).估值不等式12性質(zhì)(4)的證明兩端取極限得[證畢]13例解根據(jù)估值不等式知1415四、復(fù)積分的計(jì)算方法16在今后討論的積分中,總假定被積函數(shù)是連續(xù)的,曲線C是按段光滑的.17例3-1

解直線方程為18這兩個(gè)積分都與路線C無(wú)關(guān)19例3-2

解(1)積分路徑的參數(shù)方程為y=x20(2)積分路徑的參數(shù)方程為y=x21y=x(3)積分路徑由兩段直線段構(gòu)成x軸上直線段的參數(shù)方程為1到1+i直線段的參數(shù)方程為22例3-3

解積分路徑的參數(shù)方程為23重要結(jié)論：積分值與路徑圓周的中心和半徑無(wú)關(guān).24例

解積分路徑的參數(shù)方程為25五、小結(jié)與思考本課我們學(xué)習(xí)了積分的定義、存在條件以及計(jì)算和性質(zhì).應(yīng)注意復(fù)變函數(shù)的積分有跟微積分學(xué)中的線積分完全相似的性質(zhì).本課中重點(diǎn)掌握復(fù)積分的一般方法.26第二節(jié)柯西定理與柯西公式一、柯西定理二、牛頓-萊布尼茲公式三、復(fù)合閉路定理四、柯西積分公式五、高階導(dǎo)數(shù)公式27一、柯西定理觀察上節(jié)例1,此時(shí)積分與路線無(wú)關(guān).觀察上節(jié)例4,28觀察上節(jié)例5,由于不滿足柯西－黎曼方程,故而在復(fù)平面內(nèi)處處不解析.由以上討論可知,積分是否與路線有關(guān),可能決定于被積函數(shù)的解析性及區(qū)域的連通性.29定理3-2柯西－古薩基本定理定理中的C可以不是簡(jiǎn)單曲線.此定理也稱為柯西積分定理.30關(guān)于定理的說(shuō)明:(1)如果曲線C是區(qū)域B的邊界,(2)如果曲線C是區(qū)域B的邊界,定理仍成立.31例解根據(jù)柯西－古薩定理,有32例解根據(jù)柯西－古薩定理得3334定理3-3由定理3-2可知:解析函數(shù)在單連通域內(nèi)的積分只與起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān),(如下頁(yè)圖)二、復(fù)積分的牛頓萊布尼茲公式3536定理3-4證利用導(dǎo)數(shù)的定義來(lái)證.37由于積分與路線無(wú)關(guān),3839由積分的估值性質(zhì),40此定理與微積分學(xué)中的對(duì)變上限積分的求導(dǎo)定理完全類似.[證畢]41原函數(shù)的概念定義3-1:原函數(shù)之間的關(guān)系:證42那末它就有無(wú)窮多個(gè)原函數(shù),根據(jù)以上討論可知:[證畢]43不定積分的定義:定理3-5(復(fù)積分牛頓-萊布尼茲公式)44證根據(jù)柯西-古薩基本定理,[證畢]說(shuō)明:

有了以上定理,復(fù)變函數(shù)的積分就可以用跟微積分學(xué)中類似的方法去計(jì)算.45典型例題例解由牛頓-萊布尼茲公式知,46例解(使用了微積分學(xué)中的“湊微分”法)47三、復(fù)合閉路定理1.閉路變形原理︵︵48︵︵︵︵︵︵︵︵49得︵︵︵︵50解析函數(shù)沿閉曲線的積分,不因閉曲線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值.閉路變形原理說(shuō)明:在變形過(guò)程中曲線不經(jīng)過(guò)函數(shù)f(z)的不解析的點(diǎn).512.復(fù)合閉路定理3-6那末5253典型例題例解依題意知,54根據(jù)復(fù)合閉路定理,55例

解圓環(huán)域的邊界構(gòu)成一條復(fù)合閉路,根據(jù)閉路復(fù)合定理,56四、柯西積分公式根據(jù)閉路變形原理知,該積分值不隨閉曲線C

的變化而改變,求這個(gè)值.5758定理3-8證5960上不等式表明,只要R足夠小,左端積分的模就可以任意小,根據(jù)閉路變形原理知,左端積分的值與R無(wú)關(guān),所以只有在對(duì)所有的R積分值為零時(shí)才有可能.[證畢]柯西積分公式61關(guān)于柯西積分公式的說(shuō)明:(1)把函數(shù)在C內(nèi)部任一點(diǎn)的值用它在邊界上的值表示.(這是解析函數(shù)的又一特征)(2)公式不但提供了計(jì)算某些復(fù)變函數(shù)沿閉路積分的一種方法,而且給出了解析函數(shù)的一個(gè)積分表達(dá)式.(這是研究解析函數(shù)的有力工具)(3)一個(gè)解析函數(shù)在圓心處的值等于它在圓周上的平均值.62三、典型例題例解63由柯西積分公式64例解由柯西積分公式65例解由柯西積分公式66課堂練習(xí)答案67五、高階導(dǎo)數(shù)公式問(wèn)題:(1)解析函數(shù)是否有高階導(dǎo)數(shù)?(2)若有高階導(dǎo)數(shù),其定義和求法是否與實(shí)變函數(shù)相同?回答:(1)解析函數(shù)有各高階導(dǎo)數(shù).(2)高階導(dǎo)數(shù)的值可以用函數(shù)在邊界上的值通過(guò)積分來(lái)表示,這與實(shí)變函數(shù)完全不同.解析函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)的定義是什么?68定理3-9證69根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義,從柯西積分公式得707172再利用以上方法求極限73至此我們證明了一個(gè)解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是解析函數(shù).依次類推,利用數(shù)學(xué)歸納法可證[證畢]高階導(dǎo)數(shù)公式的作用:不在于通過(guò)積分來(lái)求導(dǎo),而在于通過(guò)求導(dǎo)來(lái)求積分.74典型例題例解7576根據(jù)復(fù)合閉路定理7778例解7980例解由柯西－古薩基本