北師大版九年級數(shù)學(xué)上冊 專題3.32 圓的綜合題-圓與相似（專項練習(xí)）

專題3.32圓的綜合題-圓與相似（專項練習(xí)）◆中考動態(tài)縱觀近幾年各省市中考題中，圓的綜合題是必考題型,主要體現(xiàn)在圓與全等三角形、相似三角形、三角函數(shù)的綜合，有的設(shè)置兩個小問,有的設(shè)置三個小問,類型比較多,難度比較大?！糁R點圓的綜合題涉及到的知識點比較多,主要有圓的基本性質(zhì)、圓心角定理、圓周角定理及其推論、垂徑定理及其推論、圓內(nèi)接三角形的性質(zhì)、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、三角形內(nèi)切圓及三角形內(nèi)心的概念、全等三角形的判定定理及性質(zhì)定理、相似三角形的判定定理及性質(zhì)定理、勾股定理及其逆定理、切線的判定定理及性質(zhì)定理?！艚忸}策略及方法雖然圓的綜合題難度比較大,但是,只要我們熟記圓的各個性質(zhì)和判定定理,還有輔助線的各種作法,這類題是可以突破的圓作為一個載體,常與三角形、四邊形結(jié)合,考查切線的性質(zhì)及判定、相似三角形的性質(zhì)及判定、解直角三角形、求線段長或圖形面積等.解題需要先分析題干中的條件,然后從圖形中挖掘出隱含條件常用方法:①利用垂徑定理,通過在由半弦、半徑、弦心距組成的直角三角形,運用勾股定理或銳角三角函數(shù)進行計算:②利用圓周角相等轉(zhuǎn)移角的等量關(guān)系;③利用直徑構(gòu)造直角三角形;④發(fā)現(xiàn)并構(gòu)造相似,利用全等和相似、銳角三角函數(shù)、勾股定理進行證明和計算;⑤在計算面積時,可以利用面積的和差進行。1．如圖，已知，在ABC中，O為AB上一點，CO平分∠ACB，以O(shè)為圓心，OB長為半徑作⊙O，⊙O與BC相切于點B，交CO于點D，延長CO交⊙O于點E，連接BD，BE．（1）求證：AC是⊙O的切線．（2）若tan∠BDE，BC=6，求⊙O的半徑．2．如圖，為的直徑，與相切，以、為邊的平行四邊形交于點D，連．（1）求證：是的切線；（2）連，若，，求的值．3．已知：如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于圓，延長AD、BC相交于點E，點F是BD的延長線上的點，且DE平分∠CDF．（1）求證：AB＝AC；（2）若AC＝5cm，AD＝3cm，求DE的長．4．已知是圓直徑，點為圓上一點，于，過作切線，交延長線于．（1）求證：為圓切線；（2）連接并延長交于，若為弧中點，，求．5．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB邊上一點，作△BCD的外接圓⊙O，CE是⊙O的直徑，且CE與AB交于點G，DF∥EC交AC于點F．（1）求證：DF為⊙O的切線；（2）若，AC＝5，求⊙O的半徑長．6．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，F(xiàn)H是⊙O的切線，切點為F，F(xiàn)H∥BC，連結(jié)AF交BC于E，∠ABC的平分線BD交AF于D，連結(jié)BF．（1）求證：AF平分∠BAC；（2）若EF＝4，DE＝3，求AD的長．7．如圖，在中，，是的外接圓，過點作的直徑，交于點，點是上的一個動點，連結(jié)并延長交于點，交于點，連結(jié)，，已知，．（1）______，______；(直接寫出結(jié)果)（2）求證：平分；（3）當(dāng)時，求的長；（4）是否存在點使是等腰三角形，若存在，求出所有符合條件的的長；若不存在，說明理由．8．如圖所示，AB是的直徑，CB，CE分別切于點B、點D，CE與BA的延長線交于點E，連接OC，OD．已知，，，請選用以上適當(dāng)?shù)臄?shù)據(jù)，設(shè)計出計算的半徑r的一種方案．（1）你選用的已知數(shù)據(jù)是__________．（2）寫出求解過程（結(jié)果用字母表示）．9．如圖所示，已知直線l與相離，于點A，交于點P，點B是上一點，連接BP并延長，交直線l于點C，使得．（1）求證：AB是的切線；（2）若，，求的半徑和線段PB的長．10．如圖，在中，，平分交于點，是邊上一點，以點為圓心，長為半徑的圓經(jīng)過點，作于點，延長交于點，連接并延長交于點．（1）求證：是的切線；（2）求證：；（3）若，，求與的面積之比．11．如圖，AB為⊙O的直徑，點C是⊙O上一點，且AC平分∠DAB，CD⊥AD于點D，連接BC．（1）求證：CD與⊙O相切；（2）若AD＝x，AC＝x＋2，AB＝x＋5，求CD的長．12．如圖，點C在以AB為直徑的☉O上，BD平分∠ABC交☉O于點D，過D作BC的垂線，垂足為E．（1）求證：DE與☉O相切；（2）請用線段AB、BE表示CE的長，并說明理由；（3）若AB=5，BE=4，求BD的長．13．如圖，是的直徑，、是上兩點，且，過點的直線交的延長線于點，交的延長線于點，連結(jié)、交于點．（1）求證：是的切線；（2）若，的半徑為2，求陰影部分的面積；（3）連結(jié)，在（2）的條件下，求的長．14．如圖，以△ABC的邊AC為直徑的⊙O與BC相切于點C，⊙O與AB相交于點D，E是BC的中點．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若⊙O的直徑為5，，求DE的長．15．如圖，內(nèi)接于半圓，是直徑，過作半圓切線．（1）求證：；（2）設(shè)是弧的中點，連接交于，過作于，交于．求證：；（3）在（2）的條件下，的面積為4.5，且，，求的面積．16．如圖：已知⊙M經(jīng)過O點，并且⊙M與x軸，y軸分別交于A，B兩點，線段OA，OB（OA＞OB）的長是方程的兩根．（1）求線段OA，OB的長；（2）已知點C是劣弧OA的中點，連結(jié)BC交OA于D．①求證：；②求點C的坐標；17．如圖，的直徑，C為上的一點，已知，垂足為D，并且，求的長．18．如圖，A，B，C，D是上的四個點，，交于點E，，求的長．19．如圖，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圓，點D在⊙O上，連接AD，過點B作BE∥AD，交⊙O于點E，延長DC、BE交于點F．求證：（1）DB＝DF；（2）四邊形AEFD是平行四邊形．20．如圖，與的邊相切于點，與、邊分別交于點、，，是的直徑．（1）求證：是的切線；（2）若的半徑是，，求的長．21．如圖，是的直徑，弦于點，點是上一點，且．連接，，交于點．（1）若，，求的半徑；（2）求證：；（3）連接并延長，交的延長線于點，過點作的切線，交的延長線于點．求證：．如圖所示，以點為圓心的圓與軸，軸分別交于點、、、直線與相切于點，分別交軸，軸于點、．（1）如圖1，求半徑；（2）如圖2，連接，弦交軸于點，若，求的值；（3）如圖3，在射線上取一點，連接交于，連接交軸于，若，求點坐標．23．如圖，已知在四邊形中，，以為直徑的交于點，(點在點上方)，連結(jié)，，，與交于點．（1）求證：；（2）若，，．①求的長；②求．24．在中，，以為直徑的交于點．

（1）如圖①，以點為圓心，為半徑作圓弧交于點，連結(jié)，若，求；（2）如圖②，過點作的切線交于點，求證：；（3）如圖③，在（1）（2）的條件下，若，求的值．25．已知四邊形內(nèi)接于，．（1）如圖1，求證：點到兩邊的距離相等；（2）如圖2，已知與相交于點，為的直徑．①求證：；②若，，求的長．26．如圖1，在直角坐標系中，直線與、軸分別交于點、兩點，的角平分線交軸于點．點為直線上一點，以為直徑的經(jīng)過點，且與軸交于另一點．（1）求證：軸是的切線；（2）請求的半徑，并直接寫出點的坐標；（3）如圖2，若點為上的一點，連接，且滿足，請求出的長？27．如圖，矩形ABCD是⊙O的內(nèi)接矩形，⊙O半徑為5，AB＝8，點E、F分別是弦CD、BC上的動點，連結(jié)EF，∠EAF始終保持等于45°．（1）求AD的長度．（2）已知DE＝，求BF的長度．（3）試探究△AEF的面積是否存在最小值，若存在，請求出它的最小值；若不存在，請說明理由．28．如圖，內(nèi)接于，，為直徑，與相交于點，過點作，垂足為，延長交的延長線于點，連接．（1）求證：與相切：（2）若，求的值；（3）在（2）的條件下，若的半徑為4，，求的長．29．在平面直角坐標系xOy中，作⊙O分別交x軸y軸于點A、B，點C在第三象限且在圓上，D是弦AB的中點，OD的長為．（1）如圖1所示，求半徑的長度；（2）如圖1所示，若圓心O到弦BC的距離OE=，求C點的坐標；（3）如圖2所示，C點坐標同第（2）問，P是x軸下方的一個動點，使得∠BPC：∠BOC=1：2，四邊形OBPC的面積是否存在最大值？若存在請算出面積，并直接寫出P點坐標；若不存在，請說明理由．30．如圖，已知AB是⊙O的弦，OB＝1，C是弦AB上的任意一點（不與點A、B重合），連接CO并延長CO交⊙O于點D，連接AD．設(shè)∠B＝α，∠ADC＝β．（1）求∠BOD的度數(shù)（用含α，β的代數(shù)式表示）；（2）若α＝30°，當(dāng)AC的長度為多少時，以點A、C、D為頂點的三角形與B、C、O為頂點的三角形相似？請寫出解答過程．（3）若α＝β，連接AO，記△AOD、△AOC、△COB的面積分別為S1，S2，S3，如果S2是S1和S3的比例中項，求OC的長．31．定義：若拋物線的圖象恒過定點，則稱為拋物線L的“不動點”．已知：若拋物線．（1）求拋物線L的不動點坐標；（2）如圖1，已知平面直角坐標系中、、，以點B為圓心，為半徑作⊙B，點P為⊙B上一點，將點C繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)得到點，當(dāng)點P在⊙B上運動時，求線段長度的最大值；（3）在（2）的條件下，若拋物線L的對稱軸是直線﹔①求拋物線L的解析式；②如圖2，若直線交拋物線L于點、，交y軸于點Q，平面內(nèi)一點H坐標為，記，當(dāng)點P在⊙B上運動時，求的取值范圍．32．如圖1，內(nèi)接于，弦交于點，連接，且．（1）求證：；（2）如圖2，點在弧上，連接、，交于點，若，求證：；（3）如圖3，在（2）的條件下，，若，時，求弦的長．參考答案1．（1）見解析；（2）4.5【分析】（1）作OF⊥AC于F，利用角平分線的性質(zhì)證明OF=OB，即可證明AC是⊙O的切線．（2）利用圓周角定理證明△CBE∽△CDB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．（1）證明：作OF⊥AC于F，∵⊙O與BC相切于點B，∴OB⊥BC，∵CO平分∠ACB，∴OF=OB，又OB是半徑，OF⊥AC于F，∴AC是⊙O的切線．（2）解：∵DE是直徑，∴∠DBE=90°，又tan∠BDE，∴，由（1），知∵OE=OB，OB⊥BC，∴∠OBC=90°，∴∠DBC=∠OBE，∴∠E=∠OBE，∴∠E=∠DBC，又∠C=∠C，∴△CBE∽△CDB，∴，∵BC=6，∴，∴，∴DE=9，∵OD=4.5，即⊙O的半徑是4.5．【點撥】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正切函數(shù)，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．2．（1）見解析；（2）【分析】（1）如圖1，連接，可證，得到即可；（2）如圖2，連接交于點H，連接CD交AO于點M，通過平行四邊形和勾股定理求出AO的長，再根據(jù)條件和垂徑定理證明點M為CD的中點，推出OM為的中位線，再利用等面積法求出CM，再根據(jù)勾股定理求出OM，得到BD，最后根據(jù)，可求出DH，即可得到的值．解：（1）證明：如圖1，連，為的直徑，與相切，，四邊形為平行四邊形，在和中，，，，是的切線；（2）如圖2，連接交于點H，連接CD交AO于點M，，，在平行四邊形中，，，在中，，點M為CD的中點，為的中位線，，，∵，∴，∴，∴，，∴．【點撥】本題主要考查圓的性質(zhì)綜合，涉及勾股定理，全等三角形，相似三角形，銳角三角函數(shù)，比較綜合，也有一定難度，熟練掌握圓的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（1）見解析；（2）cm【分析】（1）由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，可求得∠ABC＝∠2；由于∠1＝∠2＝∠3＝∠4，故∠ABC＝∠4，由此得證．（2）證△ABD∽△AEB，通過相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求出AE及DE的值．（1）證明：如圖：∵∠ABC＝∠2，∠2＝∠1＝∠3，∠4＝∠3，∴∠ABC＝∠4，∴AB＝AC；（2）解：∵∠3＝∠4＝∠ABC，∠DAB＝∠BAE，∴△ABD∽△AEB，∴，∵AB＝AC＝5cm，AD＝3cm，∴AE＝，∴DE＝（cm）．【點撥】本題綜合考查了角平分線，相似三角形，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，是中學(xué)階段的常規(guī)題目．4．（1）見詳解；（2）【分析】（1）連接OC，先證明△COE≌△BOE，可得∠OBE=∠OCE=90°，即可求證；（2）過點D作DH⊥AB于點H，根據(jù)是圓直徑，，可得∠ACB=90°，AB=2OB=20，又由為弧中點，可得到△ABC是等腰直角三角形，進而△DOB是等腰直角三角形，從而DH=OH=OB=5，再證明△ADH～△AFB，利用相似三角形的性質(zhì)，即可求解．（1）證明：如圖1，連接OC，∵CE是圓切線，∴∠OCE=90°，∵OC=OB，，∴∠COE=∠BOE，∵OE=OE，∴△COE≌△BOE，∴∠OBE=∠OCE=90°，∴為圓切線；（2）如圖，過點D作DH⊥AB于點H，∵是圓直徑，，∴∠ACB=90°，AB=2OB=20，∵為弧中點，∴AC=BC，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC=45°，∵，∴△DOB是等腰直角三角形，∵DH⊥AB，∴DH=OH=OB=5，∴AH=AO+OH=15，∵BE⊥AB，∴DH∥BF，∴△ADH～△AFB，∴，即，解得：BF=．【點撥】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、切線的判定與性質(zhì)、圓周角定理、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定等知識，熟練掌握切線的判定與性質(zhì)，證明△COE≌△BOE，△ADH～△AFB是解題的關(guān)鍵．5．（1）見解析；（2）⊙O的半徑長為．【分析】（1）由∠ACB=90°，AC=BC得∠B=∠A=45°，再由圓周角定理得∠DOC=90°，再由DF∥EC，即可證DF為⊙O的切線；（2）先證明∠CDF=∠A=45°，由∠CDF=∠A和∠ACD=∠DCF可證△ACD∽△DCF，從而有，再由、DF∥EC、AC=5得CF=3、AC=5，由此求出CD，再用勾股定理求出OC即可．（1）證明：連接OD，∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠B=∠A=45°，∴∠DOC=2∠B=90°，∴OD⊥CE，∵DF∥EC，∴OD⊥DF，∴DF為⊙O的切線；（2）解：由（1）知，∠DOC=90°，OD=OC，∴∠DCO=45°，∵DF∥EC，∴∠CDF=∠DCO=45°，∴∠CDF=∠A，∵∠ACD=∠DCF，∴△ACD∽△DCF，∴，即CD2=AC?CF，∵，DF∥EC，∴AF：CF=2：3，∵AC=5，∴CF=3，AC=5，∴CD=，∵CO2+OD2=CD2，∴OC=，∴⊙O的半徑長為．【點撥】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定、切線的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是證明△ACD∽△DCF、求出CD．6．（1）證明見詳解；（2）AD=．【分析】（1）連結(jié)OF，由FH是⊙O的切線，可得OF⊥FH，由FH∥BC，可得OF垂直平分BC，根據(jù)垂徑定理可得，根據(jù)圓周角性質(zhì)可得∠1=∠2即可；（2）根據(jù)∠ABC的平分線BD，可得∠4=∠3，可證∠FDB=∠FBD，可得BF=FD，再證△BFE∽△AFB，根據(jù)性質(zhì)可得，再求BF=DF=7，可求，即可求AD．（1）證明：連結(jié)OF，∵FH是⊙O的切線，∴OF⊥FH，∵FH∥BC，∴OF垂直平分BC，∴，∴∠1=∠2，∴AF平分∠BAC，（2）解∵∠ABC的平分線BD交AF于D，∴∠4=∠3，∠1=∠2，∴∠1+∠4=∠2+∠3，∵∠5=∠2，∴∠1+∠4=∠5+∠3，∴∠FDB=∠FBD，∴BF=FD，

在△BFE和△AFB中，∵∠5=∠2=∠1，∠AFB=∠EFB，∴△BFE∽△AFB，∴，∴，∴，∵BF=DF=EF+DE=7，∴，∴AD=AF-DF==．【點撥】本題考查圓的切線性質(zhì)，平行線性質(zhì)，垂徑定理，圓周角性質(zhì)，等腰三角形判定，三角形相似判定與性質(zhì)，線段的和差，掌握圓的切線性質(zhì)，平行線性質(zhì)，垂徑定理，圓周角性質(zhì)，等腰三角形判定，三角形相似判定與性質(zhì)，線段的和差是解題關(guān)鍵．7．（1）4，；（2）見解析；（3）；（4）存在，或或【分析】（1）連接OC，由，可求出OC和HC的長度，然后利用勾股定理即可求出OH的長度，再加上AO的長度即AH的長，然后在△AHC中利用勾股定理即可求出AC的長度．（2）根據(jù)圓周角的性質(zhì)得到，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，即可證明平分；（3）連接EO，并延長交圓于點G，連接CG，可證△CEG是等腰直角三角形，然后可求出的長；（4）根據(jù)等腰三角形的概念分，，三種情況討論，分別求解即可．（1）解：如圖所示，連接OC，∵，AD是的直徑，∴AD⊥BC，又∵，，∴，∴在△ODC中，，∴；在△ADC中，．故答案為：4，；．（2）證明：是的外接圓的直徑，，是的中垂線，，．，，．，，平分．（3）解：如圖，連接EO，并延長交圓于點G，連接CG，，，是等腰直角三角形，，∵∠CGE=∠CBE=45°，∠ECG=90°，∴是等腰直角三角形，．（4）解：當(dāng)時，如圖：，，是直角三角形，點與點重合，；當(dāng)時，如圖：平分，，．，．又，，，，，；當(dāng)時，過點作于點，如圖：，，，，平分，．，，，，，，．綜上所述，存在，的長是或或．【點撥】此題考查了圓周角，圓心角等圓的綜合性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理等內(nèi)容，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意分析出邊角之間的關(guān)系．8．（1）a，b；（2），其他情況見解析；【分析】方案一：選用的已知數(shù)據(jù)是a，b，根據(jù)題意，是直角三角形，所以在中，利用勾股定理得到：，就可以求出半徑的長度；方案二：選用的已知數(shù)據(jù)是a，b，c，利用，得到，由此可得到半徑的長度；方案三：選用的已知數(shù)是a，b，c，在種，利用勾股定理得到：，就可以求出半徑的長度；方案四：選用的已知數(shù)是a，b，c，根據(jù)角的關(guān)系，得到，所以，由此推出，即可求出半徑的長度．解：方案一（1）選用的已知數(shù)據(jù)是a，b．（2）求解過程：∵CE分別切于點D，∴．在中，，，，且，即，解得（舍負值）．方案二（1）選用的已知數(shù)據(jù)是a，b，c．（2）求解過程：∵CB，CE分別切于點B、點D，∴，，∴．又∵，∴，∴，即，解得（舍負值）．說明：在和中，分別表示，也可得到上述方程（或等價形式）．方案三（1）選用的已知數(shù)是a，b，c．（2）求解過程：∵CB，CE分別切于點B、點D，∴，．在中，，，，且，即，解得（含負值）．方案四（1）選用的已知數(shù)是a，b，c．（2）求解過程：如圖，連接AD．CB，CE分別切于點B、點D，∴，，．∴，．∵，∴．∴，∴，∴，即，∴．9．（1）見解析；（2）3；【分析】（1）連接OB，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出∠ABC=∠ACB，∠OBP=∠OPB，求出∠ABC+∠OBP=90°，根據(jù)切線的判定推出即可；（2）方法1：延長AO交⊙O于D，連接BD，設(shè)⊙O半徑為r，則AP=5-r，OB=r，根據(jù)勾股定理得出方程，求出r即可．求出，再證明，得出代入求出BP即可；方法2：同理求出，，根據(jù)三角形面積公式求出BD，再由勾股定理求出OD得到DP，即可求出BP的長；方法3：同理求出，，，然后證明，求出PD，再利用垂徑定理求出PB的長；方法4：，同理求出，，，，利用面積法求出，即可利用勾股定理求出，，再由三線合一定理求出PB即可．解：（1）證明：如圖所示，連接OB．，．，．，，．，，即．點B為半徑OB的外端點，AB是的切線．（2）方法1如圖所示，延長AP交于點D，連接BD，OB．設(shè)的半徑為r，則由，得，．在中，，在中，．由，得，解得．．PD是直徑，．，．，即，解得．方法2如圖所示，連接OB，過點B作于點D．同理求出，，∵∴，∴,∴∴．方法3如圖所示，連接OB，過點O作于點D．同理求出，，，∴，∴∠ODP=∠PAC=90°，又∵∠DPO=∠APC∴，∴，即∴，∴（垂徑定理）．方法4如圖所示，過點A作于點F，同理求出，，，∴，同理利用面積法可以得到，，∴，，又∵AC=AB，AF⊥BC，∴∴．10．（1）見解析；（2）見解析；（3）．【分析】（1）連接OD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ODA＝∠OAD，根據(jù)角平分線的定義得到∠OAD＝∠CAD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到OD⊥BC，于是得到結(jié)論；（2）先證明，得到，，再根據(jù)半徑相等即可證明求解；（3）連接，，設(shè)，則，利用在中,利用列出方程求出半徑，再根據(jù)即可求解．（1）證明：如圖，連接，經(jīng)過，，，平分，，，，，，，是的切線；（2）證明：，，，又，，，，，；（3）連接，，平分，，，，，設(shè)，則，在中，，，，，，，，．【點撥】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，切線的判定和性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．11．（1）見解析；（2）．【分析】（1）如圖，連接OC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠CAO＝∠ACO，根據(jù)角平分線的定義可得∠DAC＝∠OAC，即可得出∠DAC＝∠ACO，根據(jù)CD⊥AD可得∠DAC+∠DCA=90°，即可得∠DCO=90°，即可得結(jié)論；（2）根據(jù)圓周角定理可得∠ACB＝90°，可得∠ADC=∠ACB=90°，即可證明△DAC∽△CAB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出x的值，利用勾股定理即可得答案．（1）如圖，連接OC，∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠ACO．∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠OAC，∴∠DAC＝∠ACO，∵CD⊥AD，∴∠DAC+∠DCA=90°，∴∠ACO+∠DCA=90°，即∠DCO=90°，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切線．（2）∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠ADC=∠ACB=90°，∵∠DAC＝∠BAC，∴△DAC∽△CAB，∴，即，解得：x＝4，經(jīng)檢驗x＝4是原方程的根，∴AD＝4，AC＝x+2=6，∴在Rt△ADC中，CD＝＝＝2．【點撥】本題考查切線的判定、圓周角定理及相似三角形的判定與性質(zhì)，經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；直徑所對的圓周角是90°；如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似；熟練掌握相關(guān)判定定理是解題關(guān)鍵．12．（1）見解析；（2）CE＝AB﹣BE，理由見解析；（3）【分析】（1）連接OD，先證OD∥BE，再根據(jù)BE⊥DE，可得OD⊥DE，即可得證結(jié)論；（2）過點D作DH⊥AB于H，根據(jù)HL證Rt△BED?Rt△BHD，再根據(jù)AAS證△ADH?△CDE，再利用等量代換即可得出CE=AB-BE；（3）證△ABD∽△DBE，根據(jù)線段比例關(guān)系即可求出BD的長度．解：（1）連接OD，∵OD=OB，∴∠ODB=∠OBD，∵BD平分∠ABC，∴∠OBD=∠CBD，∴∠ODB=∠CBD，∴OD∥BE，∵BE⊥DE，∴OD⊥DE，∴DE與⊙O相切；（2）CE=AB-BE，理由如下：過D作DH⊥AB于H，∵BD平分∠ABC，DE⊥BE，∴DH=DE，在Rt△BED與Rt△BHD中，，∴Rt△BED?Rt△BHD（HL），∴BH=BE，∵∠DCE=∠A，∠DGA=∠DEC=90°，∴△ADH?△CDE（AAS），∴AH=CE，∵AB=AH+BH，∴AB=BE+CE，∴CE=AB-BE；（2）∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，∵BE⊥DE，∴∠ADB=∠BED=90°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBE，∴△ABD∽△DBE，∴，∴，∴BD=2．．【點撥】本題主要考查了切線的判定和性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．（1）見解析；（2）；（3）【分析】（1）根據(jù)同圓中等弧所對的圓周角相等得到∠CAD=∠DAB，根據(jù)等邊對等角得到∠DAB=∠ODA，則∠CAD=∠ODA，即可判定OD∥AE，進而得到OD⊥DE，據(jù)此即可得解；（2）連接BD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出AE=3，AD=2，解直角三角形得到∠DAB=30°，則∠EAF=60°，∠DOB=60°，DF=2，再根據(jù)S陰影=S△DOF-S扇形DOB即可得解；（3）過點E作EM⊥AB于點M，連接BE，解直角三角形得到AM=，EM=，則MB=，再根據(jù)勾股定理求解即可．解：（1）證明：如圖，連接，，，，，，，，，是的半徑，是的切線；（2）解：，，，，的半徑為2，，，如圖，連接，是的直徑，，，，，，即，，在中，，，，，，，，；（3）如圖，過點作于點，連接，在中，，，，．【點撥】此題是圓的綜合題，考查了切線的判定與性質(zhì)、扇形的面積、相似三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形，熟練掌握切線的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)并證明△OGD∽△EGA求出AE是解題的關(guān)鍵．14．（1）見解析；（2）5．【分析】（1）連接OD．欲證ED與⊙O相切，只需證明OD⊥DE；（2）通過相似三角形△ADC∽△CDB的對應(yīng)邊成比例知，由此可以求得線段BC的長度，根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)即可求得．（1）證明：連接OD．∵BC是⊙O的切線，AC是直徑，∴∠ACB＝90°，∵AC是直徑，∴∠ADC＝90°，∴∠CDB＝90°，又∵EB＝EC∴DE為直角△DCB斜邊的中線，∴DE＝CE＝BC．∴∠DCE＝∠CDE，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∴∠ODC+∠CDE＝∠OCD+∠DCE＝∠ACB＝90°，∴∠ODE＝90°∴DE是⊙O的切線．（2）∵，∴設(shè)AD＝x，CD＝2x，∵AC＝5，AD2+DC2＝AC2，∴x2+（2x）2＝52，∴x＝，即AD＝，CD＝2，在Rt△BDC和Rt△ADC中，∠ADC＝∠BDC＝90°，∠ABC＝90°，∴∠ABC+∠A＝90°，∠ABC+∠BCD＝90°，∴∠A＝∠BCD，∵△ADC∽△CDB，∴，即，∴BC＝10．∴DE＝BC＝5．【點撥】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、切線的判定與性質(zhì)．圓心到一條直線的距離等于該圓的半徑，則該直線就是圓的一條切線．15．（1）見解析；（2）見解析；（3）【分析】（1）根據(jù)直徑所對的圓周角是直角推出，再根據(jù)切線的定義得到，由此得到結(jié)論；（2）連接交于，證明，得到，由此得到結(jié)論；（3）連接，證明，得到，再推出，得到，求出，根據(jù)，得到，代入數(shù)值計算即可．（1）證明：∵是直徑，∴，∴，∵是切線，∴，∴，∴．（2）解：如圖連接交于．∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∴．（3）證明：連接．∵，∴，∵是直徑，∴，∴，∵是弧的中點，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∵的面積為9，且，，∴．【點撥】此題考查圓周角定理，全等三角形的判定及性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，等角對等邊的證明，切線的定義，熟記各知識點是解題的關(guān)鍵．16．（1）；（2）①見解析；②（6，-4）【分析】（1）依題意解一元二次方程即可求得線段OA，OB的長；（2）①由題意得，根據(jù)同弧所對的圓周角相等可得∠OBC=∠DOC，結(jié)合公共角，進而證明△OCB∽△DCO，即可證明；②根據(jù)點C是劣弧OA的中點，連接MC交OA于點E，由垂徑定理可得，，由直角所對的弦是直徑，勾股定理求得，進而求得，即可求得點的坐標．（1）OA＞OB（2）①∵點C是劣弧OA的中點，∴∴∠OBC=∠DOC，又∵∠C=∠C，∴△OCB∽△DCO．∴即；②連接MC交OA于點E，連接,∵點C是劣弧OA的中點，ME⊥OA，，∵OA=12，OB=5，∠BOA=90°，∴AB是⊙M的直徑，由勾股定理得AB=13，根據(jù)勾股定理，得∴CE=6.5-2.5=4，即C（6，-4）；【點撥】本題考查了解一元二次方程，相似三角形的性質(zhì)與判定，同弧所對的圓周角相等，勾股定理，垂徑定理及其推理，掌握以上知識并靈活運用是解題的關(guān)鍵．17．．【分析】由AB是⊙O的直徑，得到∠ACB＝90°，由于CD⊥AB，于是得到∠ADC＝∠BDC＝90°，推出∠A＝∠BCD，證得△ACD∽△BCD，得到比例式，代入數(shù)據(jù)即可得到結(jié)果．解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∴∠ACD＋∠BCD＝∠ACD＋∠A＝90°，∴∠A＝∠BCD，∴△ACD∽△BCD，∴，∵AB＝13cm，CD＝6cm，∴BD＝AB?AD，∴CD2＝AD（AB?AD），

即：36＝AD（13?AD），解得：AD＝4，BD＝9，∵AD＜BD，∴AD＝4．【點撥】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．18．．【分析】根據(jù)圓周角定理可得∠ACB＝∠ABC＝∠D，再利用三角形相似△ABD∽△AEB，即可得出答案．解：∵∠ABC＝∠D，∠BAE＝∠DAB，∴△ABE∽△ADB，∴，即AB2＝AE?AD＝2×6＝12．∴．【點撥】此題主要考查了圓周角定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意得出△ABD∽△AEB是解決問題的關(guān)鍵．19．（1）見詳解；（2）見詳解【分析】（1）先證∠DBE=∠ACB，結(jié)合∠BDC=∠BAC，可得，進而即可得到答案；（2）先證∠F=∠ACB，結(jié)合∠AEB=∠ACB，可得AE∥DF，進而即可得到結(jié)論．解：（1）∵AD∥BE，∴∠ADB=∠DBE，又∵∠ADB=∠ACB，∴∠DBE=∠ACB，∵∠BDC=∠BAC，∴，∵AB＝AC，∴DB＝DF；（2）∵DB＝DF，AB＝AC，，∠F=∠ACB，∵∠AEB=∠ACB，∴∠F=∠AEB，∴AE∥DF，又∵BE∥AD，∴四邊形AEFD是平行四邊形．【點撥】本題主要考查圓周角定理的推論，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定定理，掌握弧，弦，圓周角之間的等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．20．（1）見解析；（2）3．【分析】（1）連接，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，進而證明，由全等三角形的性質(zhì)解得，據(jù)此解題；（2）由勾股定理解得AE=1，AB=4，繼而證明，由相似三角形的性質(zhì)解得，最后由（1）中結(jié)論解得．（1）證明：連接，與的邊相切于點，是的直徑，，，，，，，，在與中，，，，是的切線；（2）解：，，設(shè)或（舍去），，，，，由（1）知，，．【點撥】本題考查切線的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，是重要考點，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．21．（1）5；（2）見解析；（3）見解析．【分析】（1）連接AC，BC，BD，通過證明△BCE∽△CAE，可得，可求AE的長，即可求⊙O的半徑；（2）通過證明△BDE≌△NDE，可得∠DBN＝∠DNB，即可證AN＝AF，可得△ANF為等腰三角形；（3）通過證明△ODE∽△ODM，可得DO2＝OE?OM，通過證明△PCO∽△CNO，可得CO2＝PO?ON，即可得結(jié)論．解：（1）如圖，連接AC，BC，BD，∵CD⊥AB，AB是直徑∴∴∠BCD＝∠BAC，且∠BEC＝∠CEA∴△BCE∽△CAE∴,即,∴AE＝9∴AB＝AE+BE＝10∴⊙O的半徑為5；（2）∵，∴∠BCD＝∠BDC＝∠CDF，且DE＝DE，∠BED＝∠NED＝90°∴△BDE≌△NDE（ASA）∴∠DBN＝∠DNB，BE＝EN∵∠DBA＝∠DFA，∠BND＝∠FNA∴∠FNA＝∠DFA∴AN＝AF；（3）如圖，連接NC，CO，DO，∵MD是切線，∴MD⊥DO，∴∠MDO＝∠DEO＝90°，∠DOE＝∠DOE∴△MDO∽△DEO∴，∴OD2＝OE?OM∵AE＝EN，CD⊥AO∴∠BNC＝∠CBN，∴∠CBP＝∠CNO，∵，∴∠BOC＝∠BAF∵CO//AF∴∠PCO＝∠PFA∵四邊形BCFA是圓內(nèi)接四邊形∴∠PBC＝∠PFA∴∠PBC＝∠PFA＝∠PCO＝∠CNO，且∠POC＝∠COE∴△CNO∽△PCO∴，∴CO2＝PO?NO，∴ON?OP＝OE?OM．【點撥】本題屬于圓的綜合題，考查了圓周角定理、垂徑定理、全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識．注意準確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．22．（1）2；（2）；（3）【分析】（1）連接HM，先求出點P、L的坐標，再求出LO、PO的長度，繼而由勾股定理求得LP，再通過證明△LOP

∽△MHP，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例求出HM，即r的長度；（2）連接DE、CE，通過證明，再利用相似比求出DH，CE的長度，繼而即可求出cos∠EHD的值；（3）連接，根據(jù)圓周角可得進而可得，易證，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例性質(zhì)得，若，不妨設(shè)，代入解方程求得x，聯(lián)立方程即可求解．解：（1）連接，即為半徑，∴MH⊥LP，∴∠LOP＝∠MHP＝90°，,∴△LOP

∽△MHP，∴，∵直線∴，，即LO＝、PO＝5，在Rt△LOP中，由勾股定理可得：，即，解得：，∵，，∴MP＝4，∴，解得：，即．（2）連接，．∵，，∴，∴，∵在Rt△MHP中，MD＝MH＝2＝，∴DH是△MHP斜邊中線，DH＝2，∴∴．（3）連接∵（同弧所對的圓周角相等），∴∵垂直平分∴∴，∴∴∴∴若，不妨設(shè)，∴，∴或－4（舍）∴，∴，聯(lián)立解得：∴．【點撥】本題考查了圓的綜合問題，掌握一次函數(shù)的性質(zhì)、圓的性質(zhì)、余弦的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)以及判定定理是解題的關(guān)鍵．23．（1）見解析；（2）①；②1：5．【分析】（1）由直徑所對的圓周角是90°，得到，再由同弧所對的圓周角相等得到，據(jù)此證明；（2）①過點作于點，由勾股定理解得CD的長，再證明，由相似三角形的對應(yīng)邊成比例解得，，由勾股定理解得DE的長，再根據(jù)（1）中，由相似三角形的性質(zhì)解得；②連接，證明，，由相似三角形的對應(yīng)邊成比例解題即可．（1）證明：是的直徑，．，．與都是所對的圓周角，，．（2）解：①過點作于點，如圖．，，，，，．，，．，，．，．，點在點上方，，，．由（1）知，，，即，．②連接，如圖．，，，，．，，，，．，，，．，，，，，．【點撥】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、直徑所對的圓周角是90°、勾股定理等知識，是重要考點，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．24．（1）見解析；（2）見解析；（3）【分析】（1）由三角形內(nèi)角和角的計算問題；（2）證明，則，得到，即可求解；（3）設(shè)，，，則，由，得到，同理可得：，即可求解．解：（1）由題意知，，，，又，；（2）如圖2，為圓的切線，連接，則，，，，，，，且．．，；（3）過作的垂線交于，過作的垂線交于，連接，，，，設(shè)，，，則，而，，則，，則，，，同理可得：，則，所以．【點撥】本題為圓的綜合題，主要考查圓的有關(guān)性質(zhì)以及圓中切線性質(zhì)的應(yīng)用，題目難度不大．25．（1）見解析；（2）①見解析；②【分析】（1）連接，由等弦對等弧，等弧對等角得，即可得證；（2）①由，得到，由直徑所對的圓周角是直角，可推得；過點作，交延長線于點，根據(jù)角的關(guān)系證明，又由，得到，進一步等量代換得，即可得證；（2）②由第一小問知，，設(shè)，則，由條件求出BD的值，建立等量關(guān)系，分別求出DE的值，再證明，根據(jù)相似三角形線段成比例得，代入相關(guān)數(shù)值求解即可．（1）證明：如圖1，連接，，，，點到兩邊的距離相等；（2）①，，為直徑，，，如圖2，過點作，交延長線于點，，，又由（1）知：，，，，，，②如圖，由（2）①得：，則，設(shè)，則，為直徑，，，，，解得：，，，又，，，，，，．【點撥】本題考查三角形的相似的性質(zhì)和判定，等弦對等弧，等弧對等角，平行線分線段成比例等相關(guān)知識點，牢記知識點是解題關(guān)鍵．26．（1）見解析；（2）；的坐標為（1，4）；（3）．【分析】（1）要證明軸是的切線，只需要連接后證明即可．（2）由（1）可知，則，設(shè)半徑為后，利用對應(yīng)邊的比相等列方程即可求出半徑的值，再證明，由此可求得點C的坐標．（3）由于，所以可以連接、構(gòu)造直角三角形．再過點作，然后利用勾股定理即可求出的長度．（1）證明：如圖，連接，的角平分線交軸于點，，，，，，，為半徑，軸是的切線；（2）解：，，，，在中，由勾股定理可得：，設(shè)半徑，則，，，，，，，∴，如圖，過點C作CM⊥y軸于點M，則，∴，，，解得：，，∴，的坐標為；（3）解：如圖，過點作于，連接、，是直徑，，，，，在中，由勾股定理可知：，∴，∴（舍負），∴，設(shè)，則，∵，∴，，，，，∵在中，由勾股定理可知：，，解得：或（不合題意，舍去），，∵，，∴，∴，∵在中，由勾股定理可得：，∴，∴（舍負），∴，在中，由勾股定理可知：，．【點撥】此題屬于圓的綜合題，涉及了切線的判定、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用等相關(guān)知識，綜合性較強，解答本題需要我們熟練掌握各部分的內(nèi)容，對學(xué)生的綜合能力要求較高，一定要注意將所學(xué)知識貫穿起來，靈活運用．27．（1）AD＝6；（2）BF＝2；（3）△AEF的面積存在最小值，最小值48﹣48．【分析】（1）連接BD，根據(jù)矩形性質(zhì)及圓周角定理可得答案；（2）過點E作EG⊥AE交AF的延長線于點G，過點G作MN⊥AB，分別交直線DC、AB點M、N，由矩形性質(zhì)及余角性質(zhì)得∠EGM＝∠AED，然后由全等三角形的性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)可得答案；（3）過點E作EH⊥AB于H，交AF于點P，作△APE的外接圓⊙I，連接IA、IP、IE，過I作IQ⊥CD于點Q，設(shè)⊙I的半徑為r，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)及三角形面積公式可得答案．解：（1）如圖，連接BD，在矩形ABCD中，∠DAB＝90°，∴BD是⊙O的直徑，∵⊙O半徑為5，∴BD＝10，∴AD＝＝6；（2）如圖，過點E作EG⊥AE交AF的延長線于點G，過點G作MN⊥AB，分別交直線DC、AB點M、N，在矩形ABCD中，∠D＝∠DAB＝90°，∴∠EMG＝∠D＝90°，∴四邊形ADMN是矩形，∴∠EGM+∠MEG＝90°，∴∠AED+∠MEG＝90°，∴∠EGM＝∠AED，在△AEG中，∠EAF＝45°，∴∠EAF＝∠EGF＝45°，∴AE＝EG，∴△AED≌△EGM（AAS），∴MG＝DE＝，EM＝AD＝6，∴AN＝DE+EM＝，NG＝MN﹣MG＝，∵MNADBC，∴△ABF∽△ANG，∴，解得BF＝2；（3）△AEF的面積存在最小值，理由如下：過點E作EH⊥AB于H，交AF于點P，作△APE的外接圓⊙I，連接IA、IP、IE，過I作IQ⊥CD于點Q，設(shè)⊙I的半徑為r，∵∠EAF＝45°，∴∠EIP＝90°，∠IEP＝45°，∠IEQ＝45°，∴EP＝r，IQ＝r，∵IA+IQ≥AD，∴r+r≥6，∴r≥12﹣6，∴S△AEF＝AB?EP＝4r，∴S△AEF≥4（12﹣6），∴S△AEF﹣48，∴△AEF的面積存在最小值，最小值48﹣48．【點撥】此題考查了矩形的性質(zhì)、圓的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，正確作出輔助線是解決此題關(guān)鍵．28．（1）見解析；（2）；（3）．【分析】（1）要證PG與⊙O相切只需證明∠OBG=90°，由∠BAC與∠BDC是同弧所對圓周角且∠BDC=∠DBO可得∠CBG=∠DBC，結(jié)合∠DBC+∠OBC=90°即可得證；（2）求需將BE與OC或OC相等線段放入兩三角形中，通過相似求解可得，作OM⊥AC、連接OA，證△BEF∽△OAM得，由AM=AC、OA=OC知，結(jié)合即可得；（3）Rt△DBC中求得BC=4、∠DCB=30°，在Rt△EFC中設(shè)EF=x，知EC=2x、FC=x、BF=4﹣x，繼而在Rt△BEF中利用勾股定理求出x的，從而得出答案．（1）證明：如圖，連接，∵，，、，，是的直徑，∴∠DBC=90°，，，，與相切；（2）解：過點作于點，連接，∵OC=OA，，∴，，，∴∠EBF=∠AOM，又，，，，，，又，；（3）解：，，，在中，，又，是等邊三角形，，，，，∴EC=2EF，由勾股定理FC=設(shè)，則、，，，且，，在中，，，整理得△=242-16×23=208＞0解得：，，舍去，，．【點撥】本題主要考查圓的綜合問題，涉及圓周角定理、圓心角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，一元二次方程的解法等知識，熟練掌握和運用相關(guān)的性質(zhì)與定理進行解題是關(guān)鍵.29．（1）5；（2）C（-4，-3）；（3）存在，四邊形OBPC面積最大值為；P（，）【分析】（1）利用直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)即可求解；（2）設(shè)C為（x，y），由B（0，-5），求得E（，），再利用兩點之間的距離公式列方程求解即可；（3）分點P在⊙O上和點P在與⊙O等半徑同BC弦的⊙M上，利用四邊形的面積公式以及相似三角形的判定和性質(zhì)即可求解．解：（1）∵OA=OB，∠AOB=90°，∴∠OAB=45°，∴OA=AB，∵OD經(jīng)過圓心O點，D是AB的中點，∴OD⊥AB，AB=2OD，∴OA=AB=OD=5；（2）∵OE⊥BC，∴E是BC的中點，∴B（0，-5），設(shè)C為（x，y），則E為（，），∵OC=5，∴x2+y2=25，∵OE=，∴，∴，∴，∴，解得，，因為C在第三象限，∴C（-4，-3）；（3）∵∠BPC：∠BOC=1：2，①當(dāng)P點在⊙O上，此時不構(gòu)成四邊形OBPC，不符合題意，②P點在如圖所示的⊙M上（⊙M與⊙O是等圓），當(dāng)點P在OM的延長線上時，四邊形OBPC面積最大，此時，OP垂直平分BC，∵OE=，∴ME=OE=，∴，∵C（-4，-3），∴BC=，∴四邊形OBPC面積最大值為，綜上所述四邊形OBPC面積最大值為，過點P作PG⊥軸于點G，在Rt△OEB中，OE=，BO=5，∴EB=，∵∠BOE=∠POG=90°，∠OEB=∠OGP=90°，∴△OEB∽△OGP，∴，∴，∴，，∴P（，）．【點撥】本題考查了坐標與圖形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，30．（1）∠B